精品解析：广东省湛江市寸金培才学校2024-2025学年下学期八年级级期末学情调研数学科试卷

湛江市寸金培才学校2024-2025学年第二学期 初二级期末学情调研数学科试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中自变量的值可以是（　　） A. B. 0 C. 2 D. 4 3. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班51名同学视力检查数据如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 7 4 4 7 11 10 5 3 这51名同学视力检查数据的众数是（ ） A. 4 B. 4.7 C. 7 D. 4.6或4.3 4. 二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣5的最大值是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 5. 如图，直线过点，，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 关于一元二次方程根的情况，以下说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 8. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 9. 已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 直角三角形或钝角三角形 10. 如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变）．从而改变千斤顶的高度（即之间的距离）．在手柄转动过程中，千斤顶的高度随的长度的变化规律如图2所示，则图2中从点到点，千斤顶下降的高度为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 一组数据3，4，2，3，5的中位数是___________． 12. 已知函数，当时，y随x的增大而________．（填“增大”或“减小”） 13. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则关于x的不等式的解集为________． 14. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的同学是_____．（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”） 15. 若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 16. 在一场物理实验中，研究小球从高处自由下落到地面的情况，小球离地面高度为（单位：，落到地面所用时间为（单位：，已知与成正比例关系，当时，．现在小球离地面高度时，那么小球落地所用时间____． 三、解答题（本大题共3小题，每小题6分） 17. 用配方法解方程2x2-4x-3=0. 18. 一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ 19. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当方程的一个根是1时，求的值． 21. 农作物出苗率是指在农作物种植过程中，种子在一定条件下能够成功发芽并长出嫩苗的比例．它是农作物种植成功与否的重要指标之一，对于保障农作物的产量和质量具有重要意义．经有关部门研究发现，某农作物出苗率（单位：）与播种后20天累计降雨量（单位：）的关系如图所示． （1）求当时，与之间的函数表达式； （2）当该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时，该农作物的出苗率是多少？ 22. 如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． （1）求该抛物线的函数关系式和对称轴； （2）求的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 24. 【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市寸金培才学校2024-2025学年第二学期 初二级期末学情调研数学科试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：A． 2. 函数中自变量的值可以是（　　） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围．根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 观察四个选项，自变量x的取值可以是4； 故选：D． 3. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班51名同学视力检查数据如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 7 4 4 7 11 10 5 3 这51名同学视力检查数据的众数是（ ） A. 4 B. 4.7 C. 7 D. 4.6或4.3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义，在一组数据中出现最多的数，叫做众数，根据众数的定义进行判断即可． 【详解】解：这51名同学视力检查数据中，4.7出现的次数最多，因此众数是4.7． 故选：B． 4. 二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣5的最大值是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣5），由a＝﹣2＜0可知：当x＝﹣1时，函数有最大值﹣5． 【详解】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣5中；a＝﹣2＜0， ∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣5），有最大值﹣5， 即当x＝﹣1时，函数有最大值﹣5． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 5. 如图，直线过点，，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，运用数形结合的思想是解此题的关键．根据直线过点，即可得解． 【详解】解：直线过点， 关于的方程的解是． 故选：B． 6. 关于一元二次方程根的情况，以下说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根，进行解答即可． 【详解】解：， ，，， ， 方程没有实数根， 故选：C． 7. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，原说法错误； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； D.令，解得，则当时，，说法正确； 故选：D． 8. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 9. 已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 直角三角形或钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键．先求出方程的解，结合第三边，得到第三边的边长，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】解：， ∴， ∴，， 解得：，， 一个三角形两边的长是3和5， 第三边， ∴三角形的第三边为， ， 该三角形的形状是直角三角形． 故选：C． 10. 如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变）．从而改变千斤顶的高度（即之间的距离）．在手柄转动过程中，千斤顶的高度随的长度的变化规律如图2所示，则图2中从点到点，千斤顶下降的高度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、函数的图象、勾股定理，从函数的图象获取信息是解题的关键．连接交于点O，由图象可知，当时，，利用菱形的性质计算出菱形的边长，再计算出当时的长，即可得出a的值． 【详解】解：如图，连接交于点O， 四边形是菱形， ，，， 由图象可知，当时，， 此时，， ， 当时，， ， ， ． 则 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 一组数据3，4，2，3，5的中位数是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：把这些数从小大排列为2，3，3，4，5， 则中位数是3． 故答案为：3． 12. 已知函数，当时，y随x的增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧随的增大而增大，在对称轴的左侧随的增大而减小是解题的关键． 根据其顶点式函数可知，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】解：由题意可知：函数，开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 又 ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 13. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系， 只需要找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 14. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的同学是_____．（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”） 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先分别对甲、乙、丙、丁四名同学方差作比较，找到较小的，然后即可求解； 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，且， ∴成绩最稳定的同学是丁， 故答案为：丁； 15. 若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程两根之间的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式因式分解，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ 故答案为：． 16. 在一场物理实验中，研究小球从高处自由下落到地面的情况，小球离地面高度为（单位：，落到地面所用时间为（单位：，已知与成正比例关系，当时，．现在小球离地面高度时，那么小球落地所用时间____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的应用，关键是利用待定系数法求解析式．根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量的值，可得函数值． 【详解】解：设， 由时，，得， 解得， 函数的解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，每小题6分） 17. 用配方法解方程2x2-4x-3=0. 【答案】x1=1+，x2=1-. 【解析】 【分析】借助完全平方公式，将原方程变形为，开方，即可解决问题． 【详解】解：∵2x2-4x-3=0， 点睛：用配方法解一元二次方程的步骤：移项（常数项右移）、二次项系数化为1、配方（方程两边同加一次项一半的平方）、开方、求解、定解 18. 一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ 【答案】一共有10个队参加比赛 【解析】 【分析】设应邀请x个球队参加比赛，根据每两队之间都赛两场，共有90场比赛，列出一元二次方程，解方程即可求解．． 【详解】解：设一共有x个队参加比赛， 由题意得，即， 解得或（舍去）， ∴一共有10个队参加比赛， 答：一共有10个队参加比赛． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 19. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1）， （2） （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 【小问2详解】 解：， 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当方程的一个根是1时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式判定即可； （2）将代入，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得：． 21. 农作物出苗率是指在农作物种植过程中，种子在一定条件下能够成功发芽并长出嫩苗的比例．它是农作物种植成功与否的重要指标之一，对于保障农作物的产量和质量具有重要意义．经有关部门研究发现，某农作物出苗率（单位：）与播种后20天累计降雨量（单位：）的关系如图所示． （1）求当时，与之间的函数表达式； （2）当该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时，该农作物的出苗率是多少？ 【答案】（1） （2）该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时的出苗率是 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，根据题意得出一次函数的表达式是解题的关键． （1）设当时，与之间的函数表达式为，再把当时，；当时，，代入函数关系式，求出k，b的值即可； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：设当时，与之间的函数表达式为， 由函数图象可知，当时，；当时，， ， 解得， 与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，值不变． 当时，． 该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时的出苗率是． 22. 如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． （1）求该抛物线的函数关系式和对称轴； （2）求的面积． 【答案】（1）函数表达式为，抛物线的对称轴为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键． （1）将，代入，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴； （2）由抛物线的轴对称性，先求出点的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积． 【小问1详解】 抛物线过点，， 将，代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为， ， 即抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 点与点关于对称轴对称，点， 点的坐标为， ，且轴． ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：； 任务2：解：不能，理由： 由题意得， 方程无解， 不能围成的长方形菜园． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 任务1：根据可以砌长的墙的材料，即总长度是，，则，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可； 任务2：利用根的判别式进行判断即可． 【详解】任务1：解：设的长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， 所以， 任务2：略 24. 【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①②8（2）（3）或 【解析】 【分析】（1）①根据解析式确定，，得到，解答即可． ②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，利用三角形全等判定证明，利用勾股定理解答即可． （2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，则四边形为矩形，根据一线三直角全等模型解答即可． （3）分在x轴的上方，下方，结合全等模型解答即可． 【详解】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点． ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． ②解：根据垂线段最短，得到时, 取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． （2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， 解得． ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）解：当在x轴的上方时，过点P作于点M， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 当在x轴的下方时，过点P作于点N， 同理可证， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 综上所述，所有符合条件的点的坐标或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂线段最短，待定系数法，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $