第4章三角形 暑期巩固提升训练题 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

第4章三角形 一、单选题 1．若等腰三角形的两边长分别为3和6，则该三角形的周长为（    ） A．12 B．15 C．12或15 D．条件不够无法计算 2．如图，和的边、交于点、，添加一个条件，不能证明和全等的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知为小明根据所作的图形，若，则他作图的根据是（    ） A． B． C． D． 5．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，，且，，三点在一条直线上，，，，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点在线段上，，，使，还需添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 10．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图所示，，的对应角是 ，的对应角是 ，边的对应边是 ． 12．如图，已知，其中，则的度数是 ． 13．如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则 ．（用含有的式子表示） 14．如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为 ． 15．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为 秒时，和全等． 三、解答题 16．如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 17．如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 18．已知：的顶点在的外部，点在直线上，且，，． (1)如图1，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图2，当在线段上时，请写出线段之间的数量关系是_____； (3)如图3，当在线段的延长线上时，请写出线段之间的数量关系是_____． 19．如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． (1)如图1，连接，试说明． (2)如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 20．在中，，，，点是射线上一点，交射线于点． (1)如图，当点在线段上时，且，求的长； (2)如图，若，求的长； (3)如图，点在的延长线上，取中点，连接并延长交的延长线于，且，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 分两种情况讨论，根据三角形的三边关系进行取舍，再求解周长即可． 【详解】解：当三边为3，3，6时，，不能构成三角形，不符合题意； 当三边为3，6，6时，，符合题意， ∴该三角形的周长为， 故选：B． 2．D 【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 当添加，则， 又∵，， ∴，故选项A不符合题意； 当添加， 又∵，， ∴，故选项B不符合题意； 当添加， 又∵，， ∴，故选项C不符合题意； 当添加， 又∵，， ∴由不能证明和全等，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 3．B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 和中，已知的条件有，；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等，或或者即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的． 【详解】解：A、当时，符合的判定条件，故A不符合题意； B、当时，给出的条件是，不能判定两个三角形全等，故B错误,符合题意； C、当时，则，即，符合的判定条件，故B正确，不符合题意； D、当时，符合的判定条件，故D正确，不符合题意； 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据判定三角形全等即可． 【详解】解∶由作图知∶，，， ∴， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查三角形全等的判定定理、三角形三边关系等知识，判断能否唯一画出，需根据三角形全等的判定定理：或（直角三角形）验证所画三角形能否与所给条件的三角形全等，若条件不满足唯一性，则可能存在多种情况，就不满足题意，从而确定答案，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、仅知直角和斜边长度，缺少另一条边或角的信息，由直角三角形全等的判定定理可知，无法判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则不能唯一确定三角形，不符合题意； B、已知三角形两边及，不是的夹角，由三角形全等的判定定理可知，无法判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则不能唯一确定，不符合题意； C、已知三角形两边及边，边是的夹边，由三角形全等的判定定理，能判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则能唯一确定，符合题意； D、由可知，三条线段无法构成三角形，无法唯一确定，不符合题意； 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：， ，，，， 故选项C正确，不符合题意； ， ； 故选项A正确，不符合题意； ，， 故选项D错误，符合题意； 故选项B正确，不符合题意； 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质求得，即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 9．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定， A.由不能判断三角形全等，即可判断； B.由不能判断三角形全等，即可判断； C.由即可判断； D.由不能判断三角形全等，即可判断； 掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， A.，，不能判断，故不符合题意； B.， ， ，，，不能判断，故不符合题意； C. ， ， ，，， ()，故符合题意； D.， ，，，不能判断，故不符合题意； 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定、尺规作图作相等的角等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 通过其作图的步骤来进行分析可得，然后根据全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：由作图过程可得： 在与， ， ∴， ∴得出的依据是． 故选：B． 11． 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据图形确定对应边和对应角，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴的对应角是，的对应角是，边的对应边是边； 故答案为：，，． 12． 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据，可得，继而推导出，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 由根据三角形的高可得，得，，再根据三角形角平分线的定义可得，得，最后根据角的和差关系即可求解； 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形： 如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 由矩形的性质可得角度和线段长度，由三角形全等可得对应边相等，结合运动过程进行分类讨论，分别计算不同情形对应的运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵点在延长线上， ∴， 若，则， ∴运动时间， 若，则， ∴运动时间， 故答案为：或． 16．(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等． （1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：∵ ∴． 17．的长度为或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长度为或． 18．(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是关键． （1）证明，则，等量代换即可得到结论； （2）证明，则，等量代换即可得到结论； （3）证明，则，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∵， ∴ （2）线段之间的数量关系为：． ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）线段之间的数量关系为：． ∵，， ∴， ∴ ∵ ∵ 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）根据已知证明，，即得； （2）根据，，得，结合，证明； （3）由（2）可得，，得出，由（1）得，即得的面积为4． 【详解】（1）证明：， ， ∵ ， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ， ， ， ， 即； （2）全等，理由如下： 证明：，， ， 在和中， ， ； （3）解：如图，连接， ， ， ∴ ∵ ∴ 由（1） ∴ 20．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用勾股定理可得，再证明，即得，设，则，利用勾股定理解答即可求解； （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得，设，则，利用勾股定理求出即可求解； （3）取的中点，连接，则，可得为的中位线，得到，，进而可证，得到，再求出即可求证． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）证明：取的中点，连接，则， ∵， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∵ 点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$