精品解析：福建省莆田市哲理中学2024-2025学年上学期数学九年级第三次综合训练卷

2024－2025学年上学期数学九年级第三次综合训练卷 一、选择题 1. 下列分别为福州，成都，武汉，银川四个城市电视台的平面图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中的事件，属于随机事件的是（ ） A. 任意选择某一电视频道，它正在播放广告 B. 人在月球上所受重力比在地球上小 C. 在一个只有白球的袋中，摸出白球 D. 两个负数相加和是负数 3. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、三象限 4. 如图，是由绕点顺时针旋转锐角得到，下列各角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 5. 若反比例函数在每个象限内的函数值随的增大而增大，则（　　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 9. 已知是方程的实数根，则直线不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题 10. 已知点，点在反比例函数图像上，则________． 11. 某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 _________．（结果精确到0.01） 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 12. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为________． 13. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状为正六边形，如图是部分巢房的横截面图，则_______°． 14. 某班开展“垃圾分类”知识竞赛，若从甲、乙、丙3位同学中随机选2位同学参加，则丙被选中的概率是_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是______． 三、解答题 16. 计算： 17. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，已知的半径为，，求的度数？ 18. 如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． （1）若，在图象上，且，则 ； （2）点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求k的值． 19. 将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地，颜色等其他方面完全相同，若背面上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y． （1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果． （2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． （1）求线段的长； （2）若的面积与的面积相等，求点的坐标． 21. 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） （1）求入射角的度数； （2）若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 22. 关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的帕特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数满足：，，且，求的值． 23. 【项目式学习】 项目主题：合理设计 智慧泉源 项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一 测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二 推理分析 （2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之间的数量关系式； 任务三 设计方案 （3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米． 24. 如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． （1）求证：； （2）若为直径，如图2，求的值； （3）若，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年上学期数学九年级第三次综合训练卷 一、选择题 1. 下列分别为福州，成都，武汉，银川四个城市电视台的平面图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形：一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据此概念即可作出判断． 【详解】解：选项A中的图标能够找到一点，使图标绕此点旋转后能够与原来的图标重合，其它三个选项中的图标则不能找到一点，使图标绕此点旋转后不能够与原来的图标重合，即选项A中的图标是中心对称图形； 故选：A． 2. 下列选项中的事件，属于随机事件的是（ ） A. 任意选择某一电视频道，它正在播放广告 B. 人在月球上所受重力比在地球上小 C. 在一个只有白球的袋中，摸出白球 D. 两个负数相加和是负数 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、任意选择某一电视频道，它正在播放广告，是随机事件，符合题意； B、人在月球上所受重力比在地球上小，是必然事件； C、在一个只有白球的袋中，摸出白球，是必然事件； D、两个负数相加和是负数，是必然事件； 故选：A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，k＝−2＜0， ∴函数图象过二、四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟知比例系数的符号与函数图象的关系是解题的关键． 4. 如图，是由绕点顺时针旋转锐角得到，下列各角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可直接求解． 【详解】解：∵以点A为中心，把顺时针旋转，得到， ∴旋转角为， 故选：A． 5. 若反比例函数在每个象限内的函数值随的增大而增大，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k＜0时，在每个象限内y随x增大而增大列不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数在每个象限内的函数值y随x增大而增大， ∴k-2＜0，解得k＜2． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数中k的正负对函数增减性的影响． 6. 如图，四边形内接于，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接四边形对角的对角互补成为解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补以及圆周角定理逐项判断即可． 【详解】解：根据图形发现：，故A、B项错误； ∵四边形内接于， ∴，故项正确； ∵，， ∴，故D项错误． 故选：C． 7. 如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用所学知识求解是解题的关键． 如图：连接，根据圆与正多边形的性质可知是等边三角形，则，，然后再运用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意得圆的内接正六边形的半径为2， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 故选B． 8. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； 故选：D． 9. 已知是方程的实数根，则直线不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】方程的实数根，实际就是抛物线，与双曲线交点的横坐标，通过画两个函数的图象，确定的取值范围，再根据的取值范围确定直线所经过的象限，从而确定位置，做出选择． 【详解】设，， 抛物线，与双曲线的图象如图所示： 方程的实数根，实际就是抛物线，与双曲线交点的横坐标， 抛物线，与轴的交点为O（0，0），A（4，0）， 由两个图象可得，交点B的横坐标一定要大于4，即：， 当时，，直线的图象过一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，利用图象法比较直观的得出结论，是常用的解题方法． 二、填空题 10. 已知点，点在反比例函数图像上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，将代入得，再将代入，即可求解． 【详解】解：将代入得， 将代入，得， 故答案为：． 11. 某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 _________．（结果精确到0.01） 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 【答案】0.96 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：观察上表，可以发现，合格工件的频率稳定在0.960附近，合格的概率约为0.96． 故答案为：0.96． 12. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：根据题意，与关于原点位似，且相似比为， 则， ∵点A的坐标为， 则的坐标为 故答案为：． 13. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状为正六边形，如图是部分巢房的横截面图，则_______°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的性质，如图，先求出，根据证明，得，由三角形内角和定理可得，从而可求出． 【详解】解：∵正六边形边相等，每个内角为， ∴如图， ∴ ∵在同一条直线上， ∴ 同理可得， 根据题意得，且 ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴， 故答案为：120 14. 某班开展“垃圾分类”知识竞赛，若从甲、乙、丙3位同学中随机选2位同学参加，则丙被选中的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． 画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出丙被选中的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中丙被选中的结果数为4， 所以则丙被选中的概率． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】①由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，设点，则，得到的长，再表示的长，利用菱形的性质列出方程求得的值，即可判断结论； ②当时，求得点的坐标，然后判断四边形是否为正方形； ③任取两个点的坐标，求得和的长，然后判断四边形的周长是否为定值； ④过点作轴于点，过点作轴于点，将四边形的面积转化为四边形的面积，进而利用反比例系数的几何意义判断四边形的面积是否为定值． 【详解】①如图，过点作轴于点， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点在函数图像上，点在函数图像上， 设，则， ∴， 又∵点的坐标是， 在中，， 当时，，， 此时，， ∴四边形可能是菱形， ∴①符合题意； ②由①得，当时，，， ∴， 此时， ∵点的坐标是， ∴轴， ∴， 由①知，四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形，但， ∴四边形不为正方形， ∴②不符合题意； ③由①得，当点的横坐标为时，，， ∴四边形的周长为：， 当点的横坐标为时，，则， ∴，， ∴四边形的周长为：， ∴四边形的周长不为定值， ∴③不符合题意； ④如图，过点作轴于点， 又∵， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形的面积为定值， ∴④符合题意． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟知反比例函数图像_上点的坐标特征． 三、解答题 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键；先化简各式，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，已知的半径为，，求的度数？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形，圆周角定理；首先在直角三角形中利用锐角三角函数求得的度数，然后利用同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系求得的度数即可． 【详解】解：直径垂直弦于点，， ， 的半径为， ， ， ． 18. 如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． （1）若，在图象上，且，则 ； （2）点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质、反比例函数系数的几何意义、三角形的面积、关于原点、对称轴的对称点的坐标等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据反比例函数图象的性质，即可判断； （2）点的坐标为，求出、的坐标，求出和的长，根据三角形的面积求出，即可求解； 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象的一支位于第一象限 ∴反比例函数的另一支在第三象限， 在每个象限内，随的增大而减小， ∴，在图象上，且， 故答案为：． 【小问2详解】 设点的坐标为，其中，， ∵点在该反比例函数位于第一象限的图象上，点与点关于轴对称，点与点关于原点对称， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵点在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴，解得：． 19. 将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地，颜色等其他方面完全相同，若背面上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y． （1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果． （2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P． 【答案】（1）6种等可能的结果：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；（2）取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P为 【解析】 【详解】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果； （2）由（1）中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果中数字之和为偶数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）画树状图得： 由树状图知共有6种等可能的结果：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）； （2）∵共有6种等可能结果，其中数字之和为偶数的有2种结果， ∴取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P=. 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． （1）求线段的长； （2）若的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先求出、的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）先求出顶点的坐标，直线解析式为，过作轴交轴于，轴交于，设，，得出，根据面积相等建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：令， ∴， 解得： ∴， ∴ ∴， 【小问2详解】 过作轴交轴于，轴交于，如图： ， ， 由，得直线解析式为， 设，， 在中，令得， ， ， ； 的面积与的面积相等， 而， ， 解得（舍去）或， 21. 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） （1）求入射角的度数； （2）若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】（1）入射角约为； （2）光斑移动的距离为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于的方程式，求得的值，进而求得答案． 【小问1详解】 如图，设法线为，则， ， ，， ， ， 入射角约为， ． 【小问2详解】 ，， ， ， 作， ， 设，，则， ， 解得：， ， ， 答：光斑移动的距离是． 22. 关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的帕特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数满足：，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意将代入，然后解一元二次方程即可得解； （2）根据题意将变形为，从而可以看作是一元二次方程的两个根，进而可以得解． 【小问1详解】 解：根据题意，将代入得， ， ， 黄金分割数大于， 黄金分割数为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 是一元二次方程的两个根， ， ． 23. 【项目式学习】 项目主题：合理设计 智慧泉源 项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一 测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二 推理分析 （2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之间的数量关系式； 任务三 设计方案 （3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，简单几何体的三视图，掌握待定系数法求二次函数的关系式是正确解答的关键． （1）根据题意可得第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线关系式的顶点式，代入计算即可； （2）根据抛物线的形状不变，即a的值不变，顶点坐标变为，抛物线与x轴的交点坐标变为，代入即可得出h与d的还是关系式； （3）根据勾股定理求出的长，进而得出d的值，再代入h与d的函数关系式进行计算即可． 【详解】（1）解： 由题意可知，第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的关系式为，将代入得， ， 解得， ∴第一象限中抛物线的关系式为； （2）由于喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，喷头竖直高度增加h米， 其抛物线的关系式为，过点， ∴， 即， （3）如图，延长交于点Q，则米，米，米，连接， 在中，米，米， ∴（米）， 即水柱落点形成的圆半径相应增加0.5米，， 将代入得， （米）， 故答案为：． 24. 如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． （1）求证：； （2）若为直径，如图2，求的值； （3）若，且，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，再根据同一个圆中，相等的圆心角所对的弦相等即可证明； （2）延长到点E，使得，连接，由四点共圆，可得，则，再由直径所对的圆周角为，得，，再由勾股定理可得，即可得出的值． （3）由题意可得，设，得出，证出，，再由求出，再由得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长到点E，使得，连接， ∵四点共圆， ∴， ∵， ∴； 又由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴，； ∵为直径， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ， ． 【小问3详解】 解：由题可知：，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 且，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得（负值已舍去）， ∵，， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了圆的综合性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $