第二十一章一元二次方程单元测试2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 单元测试 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 3．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（    ） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 9．期图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 10．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”，如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于x的一元二次方程，有以下两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有3个整数p满足要求，对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误 二、填空题 11．若是关于的一元二次方程，则 ． 12．关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 13．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为 ． 14．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于的方程 ． 15．若分式的值为，则实数的值为 . 三、解答题 16．解方程： (1) (2)（公式法） 17．已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 18．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 19．某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下： 项目 第一年的工资(万元) 一年后的计算方法 基本工资 2 每年增长率相同 工龄工资 每年增加万元 岗位工资 固定不变 (1)设基本工资每年增长率为x，用含x的代数式表示第三年的基本工资为 ； (2)某人在公司工作了3年，他这3年拿到的工龄工资和岗位工资的和正好是他这3年基本工资总额的，求基本工资每年的增长率是多少？ 20．阅读材料：我们把叫做一元二次方程根的判别式，用表示．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，的值是一个完全平方数，但是该方程的根不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是_______； ②若该全整根方程的“关爱码”是，则的值为________； (2)若关于的全整根方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十一章 一元二次方程 单元测试 2025--2026学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A D C D A B D 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1． 【详解】解：A、当时，方程才是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】本题考查一元二次方程的根，由题意可知，m是方程的根，因此．将代数式中的用该等式替换，即可化简求值． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴． ∴ 故选C． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把的值代入方程即可得到一个关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故选：A． 5．D 【分析】设有个球队参赛，每两队之间赛一场，总比赛场数为所有可能的组合数.每个球队需与其他个球队比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总场数为，根据总场数为15，列出方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛，根据题意，得， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．首先将常数项移到方程右边，再对左边进行配方，通过添加合适的常数使左边成为完全平方式，右边同步运算即可得到答案． 【详解】 移项得， 配方得， ∴． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到，可以写成，展开对应相等求出的值，利用配方法求出的最大值即可．熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程” ∴第二个方程可以写成的形式， ∴展开得： ∴，，， 解得：，， ∴， ∵ ∴ ∴能取的最大值是2026． 故选D． 8．A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 9．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故选：B． 10．D 【分析】本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得，或，，分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断②；理解新定义方程是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程为， 解得，， ∴， ∵，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，或，， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当，时， ∵， ∴， 解得， ∵有且仅有个整数满足要求， ∴此时的值不存在； 当，时，， 解得， 又∵， ∴此时满足要求的整数的值只有，两个，故②错误； 综上，结论①正确，②错误， 故选：D． 11． 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据定义可得且，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设方程的另一个根为m，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为， 故答案为；． 13． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 首先根据1月份售价为20万元，设月平均降价率是可x，得出2月份的售价为万元，3月份的售价为万元，据此根据3月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：设月平均降价率为x， 则 ． 解得：（不合题意，舍去） 2月份、3月份的平均月降价率为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，利用平移，得到草坪的长和宽分别为：米和米，根据草坪的面积为243平方米，列出方程即可． 【详解】解：设草坪的长和宽分别为：米和米， 由题意，得：； 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 方程两边乘以，得， 解得或， 检验：当时，；当时，， ∴分式方程的解为， 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解： 化为一般式得， 则， ∴， ∴， 解得． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式，方程有实数根可证得结论； （2）根据根与系数关系得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴不论取何值时，该方程总有实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根、， ∴，又， ∴，即， 解得． 18．(1)电动车车棚的长为，宽为； (2)不能围成占地面积为的电动车车棚，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【详解】（1）解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． （2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题成为解题的关键． （1）依题意，已知基本工资每年的增长率为x，那么第三年的工资为； （2）根据图表可知工龄工资与岗位工资，算出三年的费用后列出等式可求解． 【详解】（1）解：由已知基本工资每年的增长率为x，则第三年的基本工资为． 故答案为：． （2）解：由题意可得： ， 解得：（不合题意，舍去）． 答：基础工资每年的增长率为． 20．(1)①；②或 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握新定义和解一元二次方程是关键． （1）①根据新定义进行解答即可；（2）根据新定义和因式分解法解一元二次方程进行解答即可； （2）由新定义得到，由即可得到答案． 【详解】（1）①当时，， ∴ ∴或， 解得 ∴是“全整根方程”， ∵ 即当时，该全整根方程的“关爱码”是； ②∵该全整根方程的“关爱码”是， ∴，， 解得， 当时，， 当时，， 故答案为：或 （2）由题意可得， ∴ ∵均为正整数， ∴， ∴， 解得 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$