21.1二次根式 课件-2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

教学目标 1 理解二次根式的概念 2 会确定二次根式有意义时字母的取值范围(重点) 3 探索二次根式的性质(难点) 4 运用二次根式的性质进行化简计算(难点) 问 题 1 什么叫做一个数的平方根?如何表示? 一般地，若一个数的平方等于a, 则这个数就叫做a的平方根. 问题2 什么是一个数的算术平方根?如何表示? 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0. 用 √a(a≥0) 表示. 观察与思考 问 题 3 平方根的性质： 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0; 负数没有平方根. 问 题 4 所有实数都有算术平方根吗? 正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根. 观察下列代数式： (1) (2) √23 (3) √7.2 (4) (5)√m²-n²(m=13,n=12) 共同特征：都含有开方运算，并且被开 方数都是非负数 新知探究 归纳 一般形如 √a(a≥0) 的式子叫做二次根式. “ √ ”称为二次根号， a 叫做被开方数. 注 意 1.√a 既可表示开方运算，也可表示运算的结果. 2.二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3.a既可以是一个数，也可以是一个式子. ①外貌特征：含有 ②内在特征：被开数a≥0 ( 55 二次根式两个必备特征 例 1 下列各式是二次根式吗? (1) √21 √ (2) √-2 X (5)√a-2(a≥2) √ (7)√-x(x≤0) √ (3)6× (4)³ √8 X (6)√m-n(m≤n)× (8)√y²+1 √ 例 2 思考 (1)当x=1,9 时，求二次根式 √x-2 的值. 当x=1 时，原式无意当x;=9时，原式=√7 (2)当x取何值时， √x-2 在实数范围内有意义? x≥2 (3)要使式子 有意义，则x的取值范围是? x>2 变 式 ( 1 ) 若 |a-2|+√ b-3+(c-4)²=0, 求 a-b+c 的值.3 ( 2 ) 设y= √2-x+ √x-2+2021, 求x+y 的值.2023 (3)已知a,b 分别为等腰三角形的两条边长，且a,b 满足 b=4+ √3a-6+3 √2-a, 求此三角形周长10 (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A>0; (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A≥0且B≠0. 归纳 根式有意义的条件常见题型 (1)单个二次根式如 √A 有意义的条件：A> 0: 二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根. 易 知 ：(1) a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0; (2) √a 表示一个数或式的算术平方根，可知 √a≥0. 被开方数非负 No Image 二次根式的值非负 二次根式的性质 二次根式的 双重非负性 归纳 性质1 .(Na)²=a(a≥0) 文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数. 1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据. √ (-2)²= 2 √ (-3)²= 3 √ (-0.5)²= 0.5 √2²= 2 √32= 3 √0.52=0.5 √3²=√9=3,类似地，计算： 归纳 性质2 1.下列各式： √21, √x²-1,³8, √3a(a>0) 其中是二次根式的有( B ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2. 如果 是二次根式，则 x 的取值范围是 ( c) A.x≠ 一 5 B.x>-5 C.x<—5 D.x≤ 一 5 当堂练习 (1) √ 16 4 (2) √ (-5)² 5 (3)- √ (-7)² -7 (4) √3-2 4. (1)当x取何值时， √x-1 二次根式有意义? (2)当x=5时，求二次根式 √x-1 的 值 . 2 (3)y= √x-1+ √ 1-+3, 求x+ √y-² 的值. 3.化简 ≥1 一 3 1 定义： √ a (a≥0) 有意义的条件：被开方数为非负数 双重非负性 性质 性质1. ( √a²=a(a≥0) (a≥0) 性质2 √a =1a1={“ (a<0) 二次根式 小结 $$