第二章 一元二次方程第7课　一元二次方程根的判别式 课件 -2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第二章　一元二次方程 第7课　一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 (1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝ ⁠ ，求根公式是x＝ (Δ≥0). (2)Δ 0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ 0⇔方程有两个 相等的实数根；Δ 0⇔方程没有实数根. b2－ 4ac　 　 ＞　 ＝　 ＜　 1经典例题 (易错题)不解方程，判断方程2x2－6x＝7的根的情况是 (　C　) A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 a＝ ，b＝ ，c＝ ，Δ 0. ∴方程 实数根. C 2　 －6　 －7　 ＞　 有两个不相等的　 计算判别式的值，判断方程根的情况 2变式训练 下列一元二次方程有实数根的是(　D　) A. x2＋2＝0 B. 2x2－x＋1＝0 C. x2－2x＋2＝0 D. x2＋3x－2＝0 D 3经典例题 已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋k－1＝0有实数根， 求实数k的取值范围. 解：∵关于x的一元二次方程x2＋4x＋k－1＝0有实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(k－1)＝20－4k≥0. 解得k≤5， 即实数k的取值范围为k≤5. 根据方程根的情况，计算参数的值或取值范围 4变式训练 关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等 的实数根，则k的取值范围是(　C　) A. k≥－2 B. k＜2 C. k＜2且k≠1 D. k＞2且k≠1 拓展提问：若题中方程有两个相等的实数根，则k的值是 ；若 题中方程没有实数根，则k的取值范围是 ⁠. C 2　 k＞2　 5经典例题 关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)若此方程的一个根为－1，求m的值； 解：把x＝－1代入方程，得1＋(m＋2)＋(2m－1)＝0. 解得m＝－ . (2)求证：方程恒有两个不相等的实数根. 证明：∵Δ＝(m＋2)2－4(2m－1)＝(m－2)2＋4＞0， ∴方程恒有两个不相等的实数根. 计算判别式，证明方程根的情况 6变式训练 已知关于x的一元二次方程x2－(m－2)x＋2m－8＝0.求 证：方程总有两个实数根. 证明：∵Δ＝(m－2)2－4(2m－8)＝m2－12m＋36＝(m－6)2≥0， ∴方程总有两个实数根. (1)Δ＝m2＋正数＞0→方程有两个不相等的实数根； (2)Δ＝m2≥0→方程有两个实数根. 　基础过关 1. (2024·上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　D　) A. x2－6x＝0 B. x2－9＝0 C. x2－6x＋6＝0 D. x2－6x＋9＝0 D 2. 若关于x的一元二次方程kx2－2x＋ ＝0有实数根，则实数k的取 值范围是(　D　) A. k≤2 B. k＜2 C. k＜2且k≠0 D. k≤2且k≠0 D 3. (2023·广州荔湾区期末)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0 无实数根，则一次函数y＝mx＋m的图象不经过(　D　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D 4. 关于x的方程x2－2cx＋a2＋b2＝0有两个相等的实数根，若a， b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是(　B　) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 B 　能力过关 5. 已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m＋1＝0. (1)求证：不论m取何值，该方程总有实数根； 证明：根据题意，得Δ＝[－(m＋2)]2－4(m＋1)＝m2≥0， ∴不论m取何值，该方程总有实数根. (2)如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围. 解：∵x＝ ， ∴x1＝m＋1，x2＝1. ∵该方程有一个根小于0， ∴m＋1＜0.解得m＜－1. ∴m的取值范围为m＜－1. 　思维过关 6. 【创新意识、推理能力】(2024·深圳宝安区期中)阅读下列素材， 解决相应问题. 素材 对于一个关于x的二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)，利用根的 判别式可以求该多项式的最值.比如：求x2＋2x＋3最小值， 令y＝x2＋2x＋3，则x2＋2x＋3－y＝0.将其视作x的方 程，y视为常数，则必有Δ＝b2－4ac＝4－4(3－y)＝－8＋ 4y≥0，即y≥2，从而确定x2＋2x＋3的最小值为2.这种利 用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法. 问题 解决 感受新知：(1)用判别式法求二次三项式3x2＋4x－2的最小 值； 解：设y＝3x2＋4x－2，则3x2＋4x－2－y＝0. ∴Δ＝b2－4ac＝16－4×3(－2－y)＝40＋12y≥0. ∴y≥－ ，即二次三项式3x2＋4x－2的最小值为－ . 解：令y＝x2－ax＋3，则x2－ax＋3－y＝0. ∴Δ＝a2－4(3－y)＝a2－12＋4y≥0. ∴y≥3－ a2. 又∵y的最小值为－1， ∴3－ a2＝－1，即a2＝16.解得a＝±4. 问题 解决 探索新知：(2)若关于x的二次三项式x2－ax＋3(a为常数)的 最小值为－1，求a的值； 证明：设矩形的面积为y，其中一边长为x，则另一边长为( a－x). ∴y＝x( a－x)＝ ax－x2，则－x2＋ ax－y＝0. ∴Δ＝ a2－4y≥0.∴y≤ a2，即y的最大值为 a2. ∵当该矩形为正方形时，有x＝ a－x＝ a，此时的面积为最大值 a2，∴周长为a的矩形中，正方形的面积最大. 问题 解决 应用新知：(3)利用已有知识经验，求证：周长为a的矩形 中，正方形的面积最大. $$