第二章 一元二次方程第6课　解一元二次方程(4)——因式分解法- 课件 -2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第6课　解一元二次方程(4)——因式分解法 第二章　一元二次方程 分解因式(和差形式→乘积形式)： (1)ax＋bx＝ ，x2－5x＝ ；(2)x(x－1)＋ 2(x－1)＝ ⁠. (a＋b)x　 x(x－5)　 (x＋2)(x－1)　 因式分解法的概念 (1)因式分解法：将一元二次方程化为一边是0、另一边是两个一次因 式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于0，进而求解. (2)因式分解法的主要依据：如果a·b＝0，那么a＝ 或b＝ ⁠. 0　 0　 1经典例题 解方程：(x－2)(x＋3)＝0. 解：x－2＝ 或x＋3＝ ⁠， x1＝ ，x2＝ ⁠. 0　 0　 2　 －3　 2变式训练 方程x(x－1)＝0的根是(　C　) A. x＝0 B. x＝±1 C. x1＝0，x2＝1 D. x1＝0，x2＝－1 C 用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边整理为0；(2)将方程左边进行因式分解；(3)解两个一 元一次方程. 3母题演变 (教材P47)用因式分解法解方程： (1)x2－2 024x＝0； 解：x(x－2 024)＝0， x＝0或x－2 024＝0， 解得x1＝0，x2＝2 024. (2)x－7－x(x－7)＝0. 解：(x－7)(1－x)＝0， x－7＝0或1－x＝0， 解得x1＝7，x2＝1. 提取公因式法不仅可以提取单项式，也可以提取一个 多项式，就是将某式看成一个整体进行提取. 4变式训练 用因式分解法解方程： (1)x2＝ x； 解：x2－ x＝0，x(x－ )＝0， x＝0或x－ ＝0，解得x1＝0，x2＝ . (2)x(3x＋2)＝6x＋4. 解：x(3x＋2)＝2(3x＋2)，x(3x＋2)－2(3x＋2)＝0， (3x＋2)(x－2)＝0，3x＋2＝0或x－2＝0， 解得x1＝－ ，x2＝2. 5母题演变 (教材P48)用因式分解法解方程： (2x＋1)2＝(x－3)2. 解：(2x＋1)2－(x－3)2＝0， (2x＋1＋x－3)(2x＋1－x＋3)＝0，即(3x－2)(x＋4)＝0， 3x－2＝0或x＋4＝0， 解得x1＝ ，x2＝－4. 先移项，将方程右边化为0，左边两个式子是平方差的 形式，优先考虑使用平方差公式. 6变式训练 用因式分解法解方程： (y＋2)2＝(3y－1)2. 解： (y＋2)2－(3y－1)2＝0， (y＋2＋3y－1)(y＋2－3y＋1)＝0，即(4y＋1)(2y－3)＝0， 4y＋1＝0或2y－3＝0， 解得y1＝－ ，y2＝ . 　基础过关 1. 若二次三项式x2＋px＋q能分解成(x＋3)(x－1)的形式，则方程x2＋px＋q＝0的两个根为(　A　) A. x1＝－3，x2＝1 B. x1＝－3，x2＝－1 C. x1＝3，x2＝－1 D. x1＝3，x2＝1 A 2. 已知一元二次方程的两根分别为x1＝－3，x2＝－4，则这个方程 为(　C　) A. (x－3)(x＋4)＝0 B. (x＋3)(x－4)＝0 C. (x＋3)(x＋4)＝0 D. (x－3)(x－4)＝0 C 3. 解方程：3x2＝x. 解：3x2－x＝0，x(3x－1)＝0， x＝0或3x－1＝0， x1＝0，x2＝ . 4. 解方程：(2x－1)2＝(x＋5)2. 解：(2x－1)2－(x＋5)2＝0， (2x－1＋x＋5)(2x－1－x－5)＝0，即(3x＋4)(x－6)＝0， 3x＋4＝0或x－6＝0，解得x1＝－ ，x2＝6. 　能力过关 5. 若代数式x(x－1)和3(1－x)的值互为相反数，则x的值为(　A　) A. 1或3 B. －1或－3 C. 1或－1 D. 3或－3 A 6. (易错题)若等腰三角形ABC的两边分别是方程(x－2)(x－3)＝x－2 的两根，则△ABC的周长为(　B　) A. 7 B. 10 C. 7或8 D. 8或10 B 7. 解方程：2(x－3)2＝x2－9. 解：2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0， (x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0， (x－3)(x－9)＝0，x－3＝0或x－9＝0， x1＝3，x2＝9. 8. 解方程：(x＋1)2－2(x＋1)(2－x)＋(2－x)2＝0. 解： ＝0， (2x－1)2＝0，x1＝x2＝ . a2－2ab＋b2＝(a－b)2 　思维过关 9. (类比思想)观察下面一元二次方程及其根： ①x2－ x＋ ＝0，(x－1)(x－ )＝0，解得x1＝1，x2＝ ； 由上式可得： ②x2－ x＋ ＝0的两个实数根是x1＝ ，x2＝ ； ③x2－ x＋ ＝0的两个实数根是x1＝ ，x2＝ ； …… (1)按规律在下面的横线上写出第4个一元二次方程及它的两个实 数根： ④ ⁠. x2－ x＋ ＝0的两个实数根是x1＝ ，x2＝ 　 (2)若(2x－1)2－ (2x－1)＋ ＝0，求x的值. 解：∵(2x－1)2－ (2x－1)＋ ＝0， ∴(2x－1)2－(＋ )(2x－1)＋ × ＝0. ∴2x－1＝ 或2x－1＝ . 解得x1＝ ，x2＝ . $$