第二章 一元二次方程第4课　解一元二次方程(2)——配方法 课件 -2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第4课　解一元二次方程(2)——配方法 第二章　一元二次方程 根据完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2填空： (1)x2＋6x＋9＝(x＋ )2；(2)x2－10x＋ ＝(x－ )2. 3　 25　 5　 用配方法解一元二次方程 “a＝1，b为偶数”型 1母题演变 (教材P37)用配方法解方程： x2＋6x＋5＝0. 解：移项，得x2＋6x＝ ⁠. 配方，得x2＋6x＋ ＝－5＋ ⁠， 即(x＋ )2＝ ⁠. 两边开平方，得x＋ ＝ ⁠， 即x＝ ± ⁠. ∴x1＝ ，x2＝ ⁠. －5　 32　 32　 3　 4　 3　 ±2　 －3　 2　 －5　 －1　 2变式训练 用配方法解方程： x2－11＝10x. 解：x2－10x＝11， x2－10x＋52＝11＋52， (x－5)2＝36， x－5＝±6，x＝5±6， x1＝11，x2＝－1. 3经典例题 用配方法解方程： x2－5x＋4＝0. 解：x2－5x＝－4，x2－5x＋()2＝－4＋()2， (x－ )2＝ ，x－ ＝± ， x＝ ± ，即x1＝4，x2＝1. “a＝1，b为奇数”型 4变式训练 用配方法解方程： x2＋3x＋2＝0. 解：x2＋3x＝－2，x2＋3x＋()2＝－2＋()2， (x＋ )2＝ ，x＋ ＝± ， x＝－ ± ，即x1＝－2，x2＝－1. 5母题演变 (教材P38)用配方法解方程： 5x2＋1＝6x. 解：5x2－6x＝－1，x2－ x＝－ ， x2－ x＋()2＝－ ＋()2，(x－ )2＝ ， x－ ＝± ，x＝ ± ，即x1＝1，x2＝ . 可以先将二次项系数化为1. “a≠1”型 6变式训练 用配方法解方程： 4x2－7x＋2＝0. 解：x2－ x＋ ＝0， x2－ x＝－ ，x2－ x＋ ＝ ， (x－ )2＝ ，x－ ＝± ， 即x1＝ ，x2＝ . 　　用配方法解一元二次方程的步骤：①移项：方程左边为二次项 和一次项，右边为常数项；②二次项系数化为1：方程两边都除以二 次项系数；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次 项系数一半的平方，化为(x＋m)2＝p的形式；④求解：用直接开方 法解一元二次方程(注意：当p＜0时，方程无实数根). 　基础过关 1. 用配方法解x2－4x－5＝0时，配方结果正确的是(　C　) A. (x－2)2＝5 B. (x－4)2＝5 C. (x－2)2＝9 D. (x－2)2＝1 2. (2023·肇庆怀集县期末)用配方法将方程x2－4x－1＝0变形为(x－ 2)2＝m，则m的值是(　D　) A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 C D 3. 解方程： x2－10x＋5＝0. 解：x2－10x＋25＝－5＋25， (x－5)2＝20，x－5＝±2 ， x1＝5＋2 ，x2＝5－2 . 4. 解方程： 2x2－4x－1＝0. 解：x2－2x＝ ，x2－2x＋1＝ ＋1， (x－1)2＝ ，x－1＝± ， x1＝1＋ ，x2＝1－ . 　能力过关 5. 用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2＝ b的形式，则 a＋b的值为(　B　) A. B. C. 2 D. 6. 已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边长，且满足a2＋b2－4b －6a＋13＝0，则△ABC的周长为 ⁠. 原方程可化为a2－6a＋9＋b2－4b＋4＝0，即(a－ )2＋(b－ )2＝0. B 7或8　 3　 2　 　思维过关 7. (2024·揭阳期中)阅读材料：我们知道x2≥0，(a±b)2≥0这一性质 在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式3x2＋6x－2的最小值 时，我们可以这样处理： 3x2＋6x－2＝3(x2＋2x)－2＝3(x2＋2x＋12－12)－2＝3[(x＋1)2－12] －2＝3(x＋1)2－5. ∵(x＋1)2≥0，∴3(x＋1)2－5≥0－5. ∴当x＝－1时，3(x＋1)2－5取得最小值－5. (1)求多项式2x2－8x＋3的最小值，并写出对应的x的值. 解：2x2－8x＋3＝2(x2－4x)＋3＝2(x2－4x＋4－4)＋3＝2[(x－2)2－ 4]＋3＝2(x－2)2－5. ∵(x－2)2≥0，∴2(x－2)2－5≥－5. ∴当x＝2时，2x2－8x＋3取得最小值－5. (2)求多项式x2－2x＋y2－4y＋7的最小值. 解：x2－2x＋y2－4y＋7＝(x2－2x＋1)＋(y2－4y＋4)＋2＝(x－1)2＋ (y－2)2＋2. ∵(x－1)2≥0，(y－2)2≥0， ∴(x－1)2＋(y－2)2＋2≥2. ∴当x＝1，y＝2时，x2－2x＋y2－4y＋7取得最小值2. $$