第二章 一元二次方程 微专题　十字相乘法、解法综合 课件 -2025—2026学年北师大版数学九年级上册

微专题2　十字相乘法、解法综合 第二章　一元二次方程 (※选学)十字相乘法 用十字相乘法解一元二次方程x2＋(p＋q)x＋pq＝0： 步骤 图解 特点 x2＋(p＋q)x＋pq＝0， (x＋p)(x＋q)＝0， x1＝－p，x2＝－q (1)系数为整数(通常情 况)； (2)可将常数项分解为两 数的乘积，且这两个数 的和恰好为一次项系数 1经典例题 用十字相乘法解方程： (1)x2－4x＋3＝0； 解：(x－1)(x－3)＝0， x－1＝0或x－3＝0， 解得x1＝1，x2＝3. 解：(x＋2)(x＋3)＝0， x＋2＝0或x＋3＝0， 解得x1＝－2，x2＝－3. (2)x2＋5x＋6＝0. 2变式训练 用十字相乘法解方程： (1)x2－4x－5＝0； 解：(x－5)(x＋1)＝0， x－5＝0或x＋1＝0， 解得x1＝5，x2＝－1. (2)x2＋3x－10＝0. 解：(x＋5)(x－2)＝0， x＋5＝0或x－2＝0， 解得x1＝－5，x2＝2. 用适当的方法解一元二次方程 3经典例题 解方程： 3x(x＋5)＝2(x＋5). 解：3x(x＋5)－2(x＋5)＝0， (x＋5)(3x－2)＝0， x＋5＝0或3x－2＝0， 解得x1＝－5，x2＝ . 4变式训练 解方程： 2x2＋4x－1＝0. 解：x2＋2x－ ＝0， x2＋2x＋1＝ ＋1，(x＋1)2＝ ， x＋1＝± ，x＝－1± ， 解得x1＝ ，x2＝ . 解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方法选择： (1)当b＝0，即ax2＋c＝0时，可用直接开方法； (2)当c＝0，即ax2＋bx＝0时，可用因式分解法； (3)当a＝1，b为偶数时，可用配方法； (4)十字相乘法(观察各项系数，看是否能适用)； (5)公式法(“万能法”，可解所有一元二次方程). 　基础过关 1. 方程x2＋4x＋3＝0的两个根为(　D　) A. x1＝1，x2＝3 B. x1＝－1，x2＝3 C. x1＝1，x2＝－3 D. x1＝－1，x2＝－3 2. 代数式5x(x＋1)和2(x＋1)互为相反数，则x的值为 ⁠. D － 或－1　 3. 解方程： (1)x2＝2x＋3；　　　 解：x2－2x－3＝0， (x－3)(x＋1)＝0， x－3＝0或x＋1＝0， 解得x1＝3，x2＝－1. (2)(x＋1)2－5x＝2. 解：原方程可化为x2－3x－1＝0. ∵a＝1，b＝－3，c＝－1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－1)＝13＞0. ∴x＝ . ∴x1＝ ，x2＝ . 4. (2024·深圳龙岗区期中)解方程：(x－1)2＝3x－3. 解：(x－1)2＝3(x－1)， (x－1)2－3(x－1)＝0， (x－1)(x－1－3)＝0， x－1＝0或x－4＝0， 解得x1＝1，x2＝4. 　能力过关 5. (阅读理解题)阅读下列解一元二次方程的方法，并解决问题： 解方程：x(x－2)＝3. 解：原方程可变形，得[(x－1)＋1][(x－1)－1]＝3.(x－1)2－12＝3. (x－1)2＝4. 方程两边同时开平方，得x－1＝±2.解得x1＝3，x2＝－1. 我们叫这种解法为“和差数法”. 应用：用“和差数法”解方程：(x＋1)(x＋5)＝12. 解：原方程可变形，得[(x＋3)－2][(x＋3)＋2]＝12. ∴(x＋3)2－22＝12.(x＋3)2＝16. 方程两边同时开平方，得x＋3＝±4，解得x1＝1，x2＝－7. 　思维过关 6. 【运算能力】(2024·江门新会区月考)阅读下列材料： 解方程：x4－6x2＋5＝0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特 点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变形为y2－6y＋5＝0，解得y1＝1，y2＝5. 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1.当y＝5时，x2＝5，∴x＝± . 所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝ ，x4＝－ . 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数 学思想. (1)在解方程 ＋4(x2－x)－12＝0时，如果设y＝x2－x，那 么可将原方程转化为 ，并求出x； 解：解方程y2＋4y－12＝0，得y1＝2，y2＝－6. 当y＝2时，x2－x＝2，解得x1＝－1，x2＝2； 当y＝－6时，x2－x＝－6， Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×6＝－23＜0，无解. 因此，原方程的解是x1＝－1，x2＝2. y2＋4y－12＝0　 (2)利用换元法解方程： － ＋2＝0. 解：设 ＝y，则 ＝ . ∴原方程可变为y－ ＋2＝0，即y2＋2y－3＝0.解得y1＝1，y2＝－3. 当y＝1时， ＝1，解得x1＝1＋ ，x2＝1－ ； 当y＝－3时， ＝－3，解得x3＝－3＋ ，x4＝－3－ . 经检验，x1，x2，x3，x4均是原分式方程的根. 因此，原方程的解为x1＝1＋ ，x2＝1－ ，x3＝－3＋ ，x4＝－3－ . $$