1.1 集合的概念（第2课时 集合的表示）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2课时　集合的表示 第一章　1.1　集合的概念 学习目标 1、通过实例了解集合的含义，理解集合、元素的概念． 2、掌握集合中元素的三个特性，记住常用数集及其记法． 3、掌握元素与集合的关系，并能用符号表示． 4、掌握集合的表示方法--------列举法与描述法． 1．元素与集合的概念： 一般地， (1)我们把___________统称为______，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． (2)我们把一些元素组成的总体叫做_______(简称集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 研究对象 元素 集合 2.元素与集合的从属关系： 学案P1 3．集合中元素的三个特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是___________． (2)互异性：一个给定集合中的元素是_________． (3)无序性：集合中的元素是________，如{a，b，c}与{c，b，a}是同一集合． 只要构成两个集合的元素相同，我们就称这两个集合是相等的． 确定的 无序的 互不相同的 学案P1 全体自然数组成的集合，即【自然数集】 N 全体正整数组成的集合，即【正整数集】 N*或N+ 全体整数组成的集合，即【整数集】 Z 全体有理数组成的集合，即【有理数集】 Q 全体实数组成的集合，即【实数集】 R （注意写法） 常用数集及其记法 4 学案P1 例1　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； 一、列举法表示集合 解　因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思， 所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}. (2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； 解　方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2， 所以方程的解组成的集合为{0,2}. (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； 解　将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)， 故交点组成的集合是{(0,1)}. (4)由所有正整数构成的集合. 解　正整数有1,2,3，…， 所求集合为{1,2,3，…}. 反思感悟 跟踪训练1　用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； 解　因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}. (2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B； 解　方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}. (3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D. 所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}. 二、描述法表示集合 例2　用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； 解　偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*， 所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}. (2)被3除余2的正整数集合； 解　设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数， 故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}. (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合. 解　坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0， 故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}. 反思感悟 跟踪训练2　下列三个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}. (1)它们是不是相同的集合？ 解　不相同. (2)它们各自的含义分别是什么？ 解　集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R， 所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R； 集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1， 所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}. 集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对. 可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的. 三、集合表示法的综合应用 例3　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成 的集合. 解　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； (2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素， 则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意. 综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}. 延伸探究 1.本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合. 解　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根， 故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0. 所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}. 2.本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围. 解　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根. ①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意； ②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根， 则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0. 综合①②可知，实数k的取值范围为{k|k≤1}. 反思感悟 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题. (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想. 谢谢观看！ $$