1.3《全等三角形的判定》复习题 2025--2026学年苏科版八年级数学上册

1.3《全等三角形的判定》复习题 考点一、用ASA证全等 1．如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，点D是∆ABC的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 3．如图，，，，求证：． 考点二、用AAS证全等 1．如图．已知是∆ABC边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与∆BDF全等的理由． 2．如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 3．如图，．求证：． 考点三、用SSS证全等 1．如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 2．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 3．如图，在∆ABC中，，，为延长线上一点，点在上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)若，，求的度数． 考点四、用HL证全等 1．如图，．求证：． 2．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 3．如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 考点五、特殊的SSA证全等 1．【问题呈现】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点C，使，这样的点C有____________个，说明符合条件的三角形有____________种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形____________全等； 【拓展思考】如图2，已知，若且，那么一定是____________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 2． 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．   把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? (1)【操作】如图，，请你用圆规在的另一边找到点，使； (2)【发现】（1）中的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填一定或不一定）； (3)【思考】如图，已知，若，则下列判断不正确的是（   ）    A．一定是钝角三角形     B．     C．     D．的面积与的面积相等 3．如图，已知两条线段和一个角， 以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形． 　　　 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时符合条件的角形有几种？ (1)[操作发现] 如图（1），通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． (2)[探究证明]阅读并补全证明 已知：如图（2），在∆ABC和中，，，． 求证：． 证明：在上取一点G，使， ∵， ∴______， 又∵，而， ∴______， ∵， ∴______， 又∵______， ∴（______）， ∴（______）． 考点六、全等模型———线三等角 1．如图，在∆ABC中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 3．已知，∆ABC中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 考点七、全等模型——手拉手 1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．    2．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 3．如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 考点八、全等模型——倍长中线 1．安安同学遇到这样一个问题：如图，∆ABC中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 2．（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 3．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在∆ABC中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是∆ABC的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 考点一、用ASA证全等 1．（1）证明：∵， ∴， 在∆ABC与中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在∆ABC和中 ， ∴． 考点二、用AAS证全等 1．解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．证明：， ， ， ， ， 在∆ABC和中，， ． 3．证明：， ， ， ，即， ∵， ， 在∆ABC与中， ， ． 考点三、用SSS证全等 1．（1）证明：， ， 即， 在和中， （2）证明：由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ， 即． 2．（1） 在∆ABC与中 （2） 3．（1）证明：在和∆CBF中， ， ； （2）解：， ． ∵， ∴． 又， ． ， ， ； （3）解：，，，， ， ， ， ， ， ． 考点四、用HL证全等 1．证明：， ， 即． ， 和都是直角三角形， 在和中，， ∴． 2．（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 3．（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 考点五、特殊的SSA证全等 1．解：[问题探究] 如图，这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等； [拓展思考] ∵是钝角三角形，， ∴一定是钝角三角形； 故答案为：[问题探究]2，2，不一定；[拓展思考]钝角． 2．（1）解：如图所示：   点及即为所求； （2）解：由（1）中所作图形可知，这样的点有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等， 故答案为：2，2，不一定； （3）解：，是钝角三角形， 一定是钝角三角形， 故选：A． 3．（1）解：如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等， 故答案为：不一定； （2）证明：在上取一点G，使， ∵， ∴， 又∵，而， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）， 故答案为：，，，，，全等三角形对应边相等． 考点六、全等模型———线三等角 1．（1）证明：，， . 在和中， ， . ∵∠EAC+∠ACE=90°， ， 即. （2）解：， . 又，， . 2．（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 3．（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 考点七、全等模型——手拉手 1．（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合， ∴BD＝BE，∠EBD＝120°， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°， ∴∠DBC＝∠ABE， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD； （2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°， ∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°， ∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE ＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 2．解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵， ∴， 又∵, ∴（SAS）， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：，； 拓展探究：成立． 理由如下：设与相交于点，如图1所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，依然成立． 3．解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形， ，，， ， ，， 即． 在和中， ， (SAS)． ． 即AE=BD， （2）成立；理由如下： 如图2中，、均为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ． 考点八、全等模型——倍长中线 1．（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 2．（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 在和中， ∴(SAS)， ∴DE=MF=3， ∵DF -MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3， 即4＜DM＜10， ∵， ∴4＜2DG＜10， ∴2＜DG＜5； （2）AD=CD+AB，理由如下： 解：延长AE，DC相交于点F， ∵， ∴∠BAE=∠F， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在和中， ∴（AAS）， ∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE， ∴∠F=∠DAF， ∴AD=FD， ∵FD=CD+CF，CF=AB， ∴AD=CD+AB． 3．（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， ∴正确选项的序号是：②④； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4），， ，，， ， ∵∠AOB=∠COD=90°， ， ， ， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$