8.6《三角形内角和定理》课件-2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

8.6 三角形内角和定理 学习目标： 三角形内角和定理的证明. 三角形内角和定理的应用. 学习准备： 1.如图，∠A=60°，∠B=70°，∠C的度数是____ 根据________________________ 2.你还记得这个结论是如何得出的吗？ 50° 三角形内角和等于180° A B C 三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理：___________________ 已知: 求证： 证明： 思考：你能否由拼图得到启示，在△ABC上适当地添线，达到把三个角“凑”到一起的目的吗？ 三角形内角和等于180° △ABC ∠A+∠B+∠C=180° A B C 你有哪些添加辅助线的方法？试着说说你的思路。 多种方法证明 归纳证明方法：过某个顶点作对边的平行线 小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC，他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？ 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 情境引入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°。与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考：有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 锐角三角形 测量 48° 72° 60° 60°＋48°＋72°＝180°. （请同学们运用学科工具——量角器测量演示） 剪拼 A B C （小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表板演剪拼过程） 2 1 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角撕下来拼合在一起. 三角形的内角和定理的证明 验证结论 三角形内角的和等于 180°. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 证法1：过点 A 作 l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 1 2 证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，则∠A =∠1 (两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 试一试：请同学们按照上图中的辅助线，给出证明过程. B G C 2 4 A 3 E D F H 1 知识要点 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或同旁内角等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 知识要点 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 三角形的内角和定理的运用 二、 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 基本图形 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 总结归纳 4 A B C 证明：过点A作AE∥BC. E ∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠BAC+∠B=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠C+∠BAC+∠B=180° (等量代换) 已知：如图，△ABC。 求证：∠A+∠B +∠C=180° 求证：三角形的内角和等于180° 例1 如图，在△ABC 中，∠B =38°，∠C =62°，AD是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. ∴∠BAC =180°－38°－62°=80°（等式的性质） ∴∠ADB=180°－38°－40° =102°（等式的性质）. 解：在△ABC中， ∠B+∠C+∠BAC =180°（三角形内角和定理）. ∵∠B =38°, ∠C =62°(已知)， ∵AD平分∠BAC（已知）. 在△ADB中， ∠B+∠BAD+∠ADB=180° (三角形内角和定理). ∵∠B =38°(已知), ∠BAD=40°（已证） 定理应用 （角平分线的定义） （3）不知任何一个角的度数，只知道三个角之间的关系，一般根据“三角形内角和为180°”这个隐含的等量关系列方程（或方程组）求解. (1)若已知两个角的度数，求第三个角的度数， 直接利用三角形内角和定理求解； (2)若已知一个角的度数及另两个角之间的等量关系； 求三角形内角度数的方法： 方法总结 ∠A，∠B，∠C 是△ABC 的三个内角. （1）已知∠A=40°，∠B= ∠C，求∠B，∠C 的度数； （2）已知∠A- ∠B=16°，∠C=54°，求∠A，∠B 的度数； 导引：紧扣三角形内角和定理建立方程（组）求解. 解得x=70， ∴∠ B= ∠ C=70° . （2） 设∠ A=x°，∠ B=y°， ∵∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°， 随堂练习 ∴∠ A=71°，∠ B=55°. 解：（1）设∠ B= ∠ C=x°， ∵∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°， 即 40+x+x=180， 课堂小结 三角形内角和定理 三角形的内角和等于180° 内容小结： 方法小结： （3）不知任何一个角的度数，只知道三个角之间的关系， 一般根据“三角形内角和为180°”这个隐含的等量关系 列方程（或方程组）求解. (1)若已知两个角的度数，求第三个角的度数， 直接利用三角形内角和定理求解； (2)若已知一个角的度数及另两个角之间的等量关系； 数学思想： 转化思想 将角度相同问题转化为平行线问题. $$