24.2.2(2) 切线的判定与性质（课件）-2025—2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级(上)数学教学课件 第24章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2(2) 切线的判定与性质 ①转动雨伞时飞出的雨滴, ②用砂轮磨刀时擦出的火花, 都是沿着什么方向飞出的? 都是沿切线方向飞出的. 判定直线与圆的相切位置关系的方法我们学过____种： 两 判定直线与圆的相切还有什么方法？ (1)根据定义,由直线与圆的公共点只有一个来判断； (2)根据性质,d=r来判断. 【探究1】已知圆O上一点A,怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线? 观察：(1)圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系? (2)二者位置有什么关系？为什么？ A B C O ∵OA⊥BC于点A 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 推导格式： ∴BC为⊙O的切线 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时,直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 【判断】下列各直线是不是圆的切线?如果不是,请说明为什么? A O (3) O A (1) O A B (2) (1)不是,因为没有垂直. (2)(3)不是,因为没有经过半径的外端点A. 例1：如图,∠ABC=45°，AB是☉O上的直径，直线AC交☉O点A,且AB=AC.求证：AC是☉O的切线. 解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. A O C B 【例1】如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB， 求证：直线AB是⊙O的切线. O B C A (有交点，连半径，证垂直) 证明：连接OC. ∴AB是⊙O的切线. ∵OA=OB,CA=CB, ∴AB⊥OC. 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 对比思考 作垂直 连接 方法归纳 (有交点，连半径，证垂直) (无交点，作垂直，证半径) 1.如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M.求证:DM与⊙O相切 O C D M B A 有交点,连半径,证垂直； ∴DM与⊙O相切． 证法一：连接OD. ∵AB=AC, ∵OB=OD, ∴∠BDO=∠C, ∵DM⊥AC, ∴∠B=∠C. ∴∠BDO=∠B. ∴OD∥AC. ∴DM⊥OD. 证法二：连接OD,AD. ∴DM是⊙O的切线. ∵AB是⊙O的直径, ∵AB=AC, ∵OB=OA, ∵DM⊥AC, ∴AD⊥BC. ∴BD=CD. ∴OD∥AC. ∴OD⊥DM. 【探究2】如图,在⊙O中,如果直线CD是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线CD是不是一定垂直呢？ 证明:假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD于M, ∴AB与CD垂直. ∴OM＜OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径, ∴CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾. M 圆的切线垂直于过切点的半径. ∵CD是⊙O的切线 推导格式： ∴OA⊥CD 切线的性质定理： D B O A C 【例2】如图,△ABC中,AB=AC,O是BC的中点,⊙O与AB 相切于E. 求证：AC是⊙O的切线． B O C E A 证法一：连接OE,过O作OF⊥AC. ∵⊙O与AB相切于E,∴OE⊥AB. ∴∠BEO=∠CFO=90º. ∴∠B=∠C. ∵O是BC的中点 ∴AC是⊙O的切线． ∵AB=AC. (无交点，作垂直，证半径) (见切点，连半径，得垂直) F ∴BO=CO. ∴△BOE≌△CFO. ∴OF=OE,即d=r. 证法二：连接OE,OA,过O作OF⊥AC. ∵⊙O与AB相切于E,∴OE⊥AB. ∵△ABC中,AB=AC,O是BC的中点. ∴AO平分∠BAC， ∴OE=OF. ∵OE是⊙O半径,OF=OE,OF⊥AC. ∴AC是⊙O的切线． ∵OE⊥AB,OF⊥AC. (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 要点归纳 性质 判定 直线和圆的位置关系 公共点的个数 d与r的数量关系 相离：0个 相切：1个 相交：2个 相离：d＞r 相切：d＝r 相交：d＜r 定义法 性质法 0个：相离 1个：相切 2个：相交 d＞r：相离d＝r：相切 d＜r：相交 特别提醒：在图中没有d要先做出该垂线段 $$