24.2.2 直线和圆的位置关系第1课时 课件-2025-2026学年人教版九年级数学上册

人教版数学九年级上册 第二十四章 圆 24.2.2 直线和圆的位置关系 第一课时 切线的判定定理、性质定理 教学目标 复习回顾 直线与圆的 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 公共点名称 切点 交点 直线名称 离线 切线 割线 圆心到直线距离 d>r d=r d<r 新知探究 转动雨伞时飞出的雨滴 用砂轮磨刀时擦出的火花 都是沿切线方向飞出的. 直观感受 新知探究 定理学习 几何语言： 切线判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 概念辨析 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ × √ × × 概念辨析 1.判断下列命题是否正确. ⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.( ) ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线.( ) ⑶ 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线.( ) ⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.( ) ⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.( ) × × × √ √ 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直. 要点归纳 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切. 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.本条最常用。 l l O l r d 新知探究 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？ l .O . A 由判定定理可知作法： 第一步：连接OA;（形成半径） 第二步：过A点作OA的垂线l.（满足垂直） 例题解析 例1：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC.OC是⊙O的半径 在△OAB中，OA＝OB，CA＝CB ∴ OC⊥AB.（等腰三角形三线合一 ） ∴AB是⊙O的切线. 判定方法逆向思维 O A L 改变切线判定定理的题设与结论： 如果直线l是⊙O的切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ 判定方法逆向思维 证明：（1）假设AB与CD不垂直,我们过点O另做作一条直线垂直于CD，垂足为M；（假设不成立） （2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾；（得出矛盾） C D B O A （3）所以⊙O的半径OA与直线CD垂直.（得出结论） M 如图，直线CD与⊙O相切， 求证： ⊙O的半径OA与直线CD垂直. 反证法证明切线的性质 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 简单记为：是切线就垂直。 ∵直线l是⊙O的切线 ∴OA⊥l 几何符号表达： 例题解析 . O A D B C E 方法1 证明：连接OD,作OE⊥AC 于E . ∴∠OEC=90°. ∵ AB是⊙O的切线, ∴OD⊥AB.（连接用垂直） ∴∠ODB=90 ° =∠OEC. ∵AB=AC ,∴∠B=∠C. ∵O是BC的中点， ∴OB=OC . ∴△OBD≌△OCE(AAS), ∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.（做垂直，证等于半径） 例2.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 例题解析 . O A D B C E 例2.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 方法2：证明：如图，过O 作OE ⊥AC,垂足为E, 连接OD，OA, ∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OD ⊥ AB. 又∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC， ∴OE ＝OD， 即OE 是⊙O 半径. ∴AC 是⊙O 的切线．（做垂直，证等于半径） 方法总结：无交点，作垂直,证半径. 方法归纳 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 对比思考 ？ 作垂直 证半径 连接半径 证垂直 方法归纳 l为⊙O的切线 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. O l A ◎第一步： ◎第二步： 有公共点 连半径 作垂直 ◎第三步： 证垂直 证半径 无公共点 例题感受 例3 如图，线段AB是☉O的直径，直线AC与AB交于点A， ∠ABC=45°，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AC即可. 证明：∵AB=AC ∠ABC=45 ° ∴∠ACB=∠ABC=45° ∴∠BAC=90° 即AB⊥AC ∵AB是⊙O的直径 ∴AC与⊙O相切. 证垂直 例题感受 例4 如图，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D． 求证：AC是⊙D的切线． E 证明：作DE⊥AC 于E . ∵∠ABC=90° ∴DB⊥AB ∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DB⊥AB ∴DE=DB（角平分线的性质） ∵BD是⊙D的半径 ∴AC是⊙D的切线. 作垂直，证半径 当堂检测 1.如图，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与☉O的位置关系是___________. 相切 思路：勾股定理逆定理得垂直，由垂直的相切 当堂检测 2.如图，点D在⊙O 的直径AB的延长线上，点C在⊙O 上， AC=CD,∠D=30。 求证：CD 是⊙O 的切线 O A B C D 证明：连接OC. ∵AC=CD， ∴∠CAB=∠D=300. ∴∠ACD=1200 ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠CAB=300. ∴∠OCD=900. ∴OC⊥CD. ∵OC为⊙O半径 ∴CD为⊙O的切线. 当堂检测 3.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P, PE⊥AC于E. 求证：PE是⊙O的切线. 证明：连接OP. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB. ∴∠OPB=∠C. ∴OP∥AC. ∴∠OPE=∠PEC. ∵PE⊥AC，∴∠OPE=∠PEC=900. ∴PE⊥OP. ∵OP为⊙O半径 ∴PE为⊙O的切线. A B E D C O F 当堂检测 解：直线CD与⊙O相切， 理由：连接OC. ∵C为 的中点，∴ ∴∠DAC＝∠BAC. ∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA. ∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD. ∵AD⊥CD，∴∠OCF＝∠ADC=900 ∴OC⊥CD. ∵OC为⊙O半径 ∴CD是⊙O的切线． 4.如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为 的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC，BC.试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由. 当堂检测 例：AB为⊙O的直径，C为⊙O的一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB O A B C D 课堂小结 $$