24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时 课件 2024-2025学年人教版九年级数学上册

24.2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的性质和判定 直线与圆的 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 圆心到直线距离 d>r d=r d<r 复习引入 转动雨伞时飞出的雨滴 用砂轮磨刀时擦出的火花 都是沿切线方向飞出的. 直观感受 自主探究 思考：如图，在 中，经过半径OA的外端点A作直线 ， （1）圆心O到直线 的距离是多少？ （2）直线 和 有什么位置关系？ O A 思考2：已知 上一点A，如何过点A作 的切线？ O l A 自主探究 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线. 几何语言： 思考：这条判定定理和前面的定义法，数量关系法判定的条件有什么区别与联系？ O A 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ 概念辨析 圆的切线的判定方法： 1.定义法 直线和圆只有一个公共点 2.数量关系法 圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r) 3.位置关系 经过半径的外端并且垂直于这条半径 例1：如图，AB是 的直径，∠ABT=45°且AT=AB 求证：直线AT与 相切。 B O A T 例2：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 例3：已知：如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 分析：由于AB与⊙O有没有公共点还不确定，所以 过点O作OC⊥AB ，只要证明OC是半径，则AB就是切线. 1.已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C且OA＝OB,CA=CB 求证：直线AB是⊙O的切线. 2.已知：如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. 方法归纳 已知直线与圆无公共点 作垂直、证半径 C 已知直线与圆有公共点 连半径、证垂直 例4 如图，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． E 根据切线的定义我们可以得到切线的如下性质： （1）切线l和⊙O有且只有一个公共点A; （2）圆心O到切线l的距离等于圆的半径 探索性质 l O A 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. O A 探索性质 问题1：如图，已知直线l是⊙O的切线，切点为A,连接OA,直线l⊥OA吗？ l O A 已知：如图，直线l是⊙O的切线，切点为A,连接OA, 求证：直线l⊥OA 证明：假设OA与直线l不垂直，则过点O作OM⊥l，垂足为M, 这与直线l是⊙O的切线矛盾 根据垂线段最短，得OM<OA， 即圆心O到直线l的距离OM<半径OA, 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 O A 几何语言： 例1：如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， 腰AB与⊙O相切于点D 求证：AC是⊙O的切线 A B C O D 例2：如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D是 的中点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E (1)求证：AC∥ED; (2)若OA=AE=4，求弦AC的长。 A B O D C E 1.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 2.经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 切线的性质推论 3.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P, PE⊥AC于E. 求证：PE是⊙O的切线. 问题研讨 问题1：已知直线l与⊙O交于点A，直线 l一定是⊙O切线吗？ l O A $$