8.4《平行线的判定定理》课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

8.4 平行线的判定定理 1.学会利用公理“同位角相等，两直线平行”来证明定理“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线 平行”，并能应用这些结论解决问题. 2.了解证明的基本步骤和书写格式. 素养目标 1.直线的位置关系有哪几种？ 2.直线平行的定义： 相交、平行、重合 在同一平面内，不相交的两条直线平行. 3.我们学过平行线的哪些内容？ 平行（a∥c,b∥c→a∥b）. 有且只有一条直线与已知直线平行. 公理 复习回顾 ①平行于同一条直线的两条直线 ②过直线外一点， 你还记得如何用直尺和三角尺画平行线吗？ 用直尺和三角尺画直线CD，使其与直线AB平行. 回顾： 判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. 几何语言： ∵∠1=∠2（已知） ∴ AB∥CD(同位角相等，两直线平行) 思考：若果∠1=∠3，能否得到AB∥CD？ ⌒ 3 猜想：直线AB，CD被直线EF所截，若果∠1=∠3，那么AB∥CD 3 ⌒ 证明： ∵∠1=∠3（已知） ∠2=∠3（对顶角相等）， ∴∠1=∠2（等量代换） ∴ AB∥CD(同位角相等，两直线平行) 未知的新问题 已知（或已解决的）问题 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 几何语言： ∵∠1=∠3（已知） ∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行) ⌒ 3 猜想：∠1与∠4满足什么条件时，能得到AB∥CD？ ⌒ 4 ⌒ 3 ⌒ 4 证明：直线AB，CD被直线EF所截，若果∠1+∠4=180°，那么AB∥CD. 思路2 证明： ∵∠1+∠4=180°（已知） ∠3+∠4=180°（邻补角的定义） ∴∠1=∠3（同角的补角相等） ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. ∵∠1+∠4=180°（已知） 几何语言： ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） ⌒ 4 两条直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 同位角相等，两直线平行. 1 2 l2 l1 A B ①文字简述： ②符号语言： 公理 新课讲授 2.命题：两条直线被第三条直线所截 ,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 同旁内角互补，两直线平行. c 2 b a 1 3 ①文字简述： ②符号语言： 证明依据/理由： ①定义②公理③定理④已知⑤运算⑥性质 证明依据/理由： ①定义②已知条件 ③公理④事实⑤常识 ∵∠1和∠2互补 ∴∠1+∠2=180° ∵∠2+∠3=180° ∴∠1=∠3 ∴a//b 如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角且∠1和∠2互补. 两条直线被第三条直线所截 ,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 定理 已知： 求证： 证明: （已知） （互补的定义） （平角的定义） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） c b a 1 2 3 证明 a//b 证明一个命题的一般步骤： (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知,求证； (4)分析证明思路,写出证明过程. 小明利用两块同样的三角板，按下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？ 3.命题：两条直线被第三条直线所截 ,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 内错角相等，两直线平行. c 2 b a 1 3 ①文字简述： ②符号语言： 如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2. 两条直线被第三条直线所截 ,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 定理 已知： 求证： 证明: (已知） （对顶角相等） （等量代换） (同位角相等，两直线平行） c b a 1 2 3 证明 a//b ∵∠1=∠2 ∠2=∠3 ∴∠1=∠3 ∴a//b 证明：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行. c 2 b a 1 3 提升训练 如图，直线a,b都和直线c平行且a∥c,b∥c ∵a∥c ∴∠1=∠3 又∵b∥c ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠2 ∴a∥b 已知： 求证： 证明: a∥b． （已知） （两直线平行，同位角相等） （已知） （两直线平行，同位角相等） （同位角相等，两直线平行） （等量代换） 证明：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。 a b c 如图，直线a,b都和直线c垂直，则a⊥c,b⊥c ∵a⊥c,b⊥c ∴∠1=90°，∠2=90° ∴∠1=∠2 ∴a∥b 已知： 求证： 证明: 提升训练 a∥b． 1 2 （已知） （垂直的定义） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 1.如图，蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α=109°28′,∠β=70°32′.试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论 β β α α A 这个四边形对边平行 如图所示，理由如下： ∵∠α+∠β=109°28′+70°32′=180°（已知） ∴AB∥CD且AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） B C D 解: 随堂练习 2.如图,已知∠1=30°,则满足什么条件？使得a//b. ∠2＝150°或∠3＝30°或∠4=150° 2 1 3 a b c 4 AB∥CD.理由如下： ∵AC平分∠DAB（已知） ∴∠1=∠3（角平分线定义） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠2=∠3（等量代换） ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行) 1 2 A B C D 1 如图,∠1=∠2，AC平分∠DAB， ∠2和∠3是直线AB和CD被直线AC截出的内错角. 已知： 求证： 证明: 3.如图,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,你能判断哪两条直线平行吗?请证明它? AB//CD 4.如图,AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？说明理由. 1 2 解：AC∥BD，AE∥BF 理由如下： ∵∠1=35°，∠2=35°（已知） ∴∠1=∠2（等量代换） ∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行） ∵AC⊥AE，BD⊥BF（已知） ∴∠EAC=∠FBD=90°（垂直的定义） ∴∠EAC+∠1=∠FBD+∠2（等式的性质） 即∠EAB=∠FBM ∴EA∥FB（同位角相等，两直线平行） 5.如图,AF与BD相交于点C∠B=∠1，且CD平分∠ECF.试说明AB∥CE. 1 2 解： ∵CD平分∠ECF（已知） ∴∠2=∠3（角平分线的定义） ∵AF与BD相交于点C（已知） ∴∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠2=∠1（等量代换） ∵∠B=∠1（已知） ∴∠2=∠B（等量代换） ∴AB∥CE（同位角相等，两直线平行） 3 文字叙述 符号语言 图形 同位角相等，两直线平行 ∵∠1=∠2(已知),∴a∥b 内错角相等,两直线平行 ∵∠2=∠3(已知),∴a∥b 同旁内角互补,两直线平行 ∵∠2+∠4=180°（已知） ∴a∥b 判定两条直线平行的方法 a b c 1 2 4 3 课堂小结 1 同位角相等 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行。例如，若∠1 = ∠2，则a∥b。 2 内错角相等 当内错角相等时，两直线平行。如∠2 = ∠3，那么a∥b，这是重要的判定依据。 3 同旁内角互补 同旁内角互补，两直线平行。若∠3 + ∠4 = 180°，则a∥b，大家要牢记。 4 其他判定 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；两直线都平行于第三条直线，这两直线也平行。 平行线判定定理要点大揭秘 $$