第03讲 三角形的内角与外角 （知识清单+7大题型+好题必刷）（讲义）满分全攻略备课系列-2025-2026学年人教版(2024)八年级数学上册

第03讲 三角形的内角与外角 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形折叠中的角度问题 题型五 三角形内角和定理的应用 题型六 直角三角形的两个锐角互余 题型七 三角形的外角的定义及性质 知识清单 知识点1．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 例1．（2025春•宿豫区期末）在△ABC中，∠A＝100°，∠B﹣∠C＝20°，则∠B的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 知识点2．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 例2．（2025春•赣榆区期末）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 知识点3．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形性质：在直角三角形中，两个锐角互余． 例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB,AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB,垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型方法 【题型一】三角形内角和定理的证明 【例1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【举一反三】 1.现在通过平行线的性质于平角的定义证明“三角形的内角和等于180°”这个结论、 已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证明：过点A作直线l，使l//BC， ∵l//BC， ∴∠2＝∠4（         ） 同理∠3＝ ， ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（        ） ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（       ） 2．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【题型二】与平行线有关的三角形内角和问题 【例2】（山东临沂·一模）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 2．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，则的度数为 ．    3．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题 【例3】（2025·江苏盐城·三模）如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．如图，在中，，是的角平分线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ． 3．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，平分，，．求的度数． 【题型四】三角形折叠中的角度问题 【例4】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1.如图，把沿线段折叠，使点A落在点F处，，若（），则（   ） A． B． C． D． 2.如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，若∠1+∠2＝90°，则∠A的度数是（　　）        A．45° B．40° C．35° D．30° 3．（八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在三角形纸片ABC中，．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在内，如果，那么 ． 【题型五】三角形内角和定理的应用 【例5】在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．一个三角形的两个内角分别为和，那么这个三角形的第三个内角度数为 ． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）若的三个内角度数之比为，则的度数为 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 【题型六】直角三角形的两个锐角互余 【例6】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知中．，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，若，于点，则 ． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 【题型七】三角形的外角的定义及性质 【例7】（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 好题必刷 一、单选题 1．如图，若，，则（    ）． A． B． C． D． 2．将一副三角板如图放置，使点D落在AB上，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．根据图中的数据，可得的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，平分，矩形直尺的一边与垂直，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 5．图：∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，，∠P＝18°，则∠A的度数为（   ） A．50° B．46° C．48° D．80° 6．如图，将沿翻折，三个顶点恰好落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是 三角形． 8．如图，在中，D是延长线上一点，，，则等于 ． 9．如图，若，则 ． 10．如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠EDF的度数为 ． 11．一副直角三角尺如图1所示叠放，现将45°的三角尺ADE固定不动，如图2所示，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则的度数为 ． 12．如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 三、解答题 13．求出下列图形中的x的值． 14．如图，，，，垂足为P．如果，那么和分别等于多少？ 15．如图，在中，，点，在边上，平分，，求的度数． 16．如图，BE和BF三等分，CE和CF三等分，．求和的度数． 17．如图的三角形纸板中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD． （1）若AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，求△AED的周长； （2）若∠C＝100°，∠A＝70°，求∠BDE的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 三角形的内角与外角 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形折叠中的角度问题 题型五 三角形内角和定理的应用 题型六 直角三角形的两个锐角互余 题型七 三角形的外角的定义及性质 知识清单 知识点1．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 例1．（2025春•宿豫区期末）在△ABC中，∠A＝100°，∠B﹣∠C＝20°，则∠B的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【分析】由∠B﹣∠C＝20°，可得∠B＝∠C+20°，然后根据三角形内角和等于180°求解即可． 【解答】解：∵∠B﹣∠C＝20°， ∴∠B＝∠C+20°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴100°+∠C+20°+∠C＝180°， ∴∠C＝30°， ∴∠B＝∠C+20°＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和等于180°是解答本题的关键． 知识点2．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 例2．（2025春•赣榆区期末）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【分析】根据三角形外角的性质计算即可作答． 【解答】解：∠α＝30°+45°＝75°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 知识点3．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形性质：在直角三角形中，两个锐角互余． 例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB,AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB,垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE． 【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DF⊥AB，DF⊥AB, ∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B=90°， ∴∠C＝∠BDF＝∠BAD， ∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°， ∴∠C＝∠ADE， ∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3， 故选：A． 【点评】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余． 题型方法 【题型一】三角形内角和定理的证明 【例1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【详解】解：已知：如图，， 求证：； 证明：过点作，如图， ∵， ， ， ， 三角形内角和． 【举一反三】 1.现在通过平行线的性质于平角的定义证明“三角形的内角和等于180°”这个结论、 已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证明：过点A作直线l，使l//BC， ∵l//BC， ∴∠2＝∠4（         ） 同理∠3＝ ， ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（        ） ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（       ） 【答案】两直线平行，内错角相等；∠5；平角定义；等量代换 2．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 【详解】证明；由操作可知， 所以（依据：内错角相等，两直线平行）． 所以，（依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【详解】证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 证法2：如图，过点作，     ， ，，     ，     . 【题型二】与平行线有关的三角形内角和问题 【例2】（山东临沂·一模）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【举一反三】 1．（八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°， ∴∠A=∠ACD=40°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理等于180°是解题的关键． 2．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，则的度数为 ．    【答案】83 【知识点】两直线平行同位角相等、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形的内角和及平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ， 故答案为：83． 【点睛】本题考查了三角形的内角和及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与平行线有关的三角形内角和问题、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题 【例3】（2025·江苏盐城·三模）如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 【举一反三】 1．如图，在中，，是的角平分线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线定义和直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余得，由角平分线定义得，根据直角三角形两锐角互余得 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ． 【答案】/122度 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，并掌握整体法是解题的关键．利用角平分线定义得出，，再利用三角形内角和定理得出，则可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，平分，，．求的度数． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线，先根据角平分线的定义求出度数，然后在中，根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， 又， ∴． 【题型四】三角形折叠中的角度问题 【例4】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，由三角形内角和定理可求出的度数，进而由折叠的性质得到的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：A． 【举一反三】 1.如图，把沿线段折叠，使点A落在点F处，，若（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠性质得出，再由平行可知，进而得出与和的关系，根据平角的性质列出的等量关系式，求解即可得出答案． 【详解】由折叠的性质可知， 又， ∴． ∴， ∴     ， 故选B． 【点睛】本题考查的是折叠的性质、平行线的性质，三角形的内角和以及平角的性质，熟练掌握相关性质是解决本题的关键． 2.如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，若∠1+∠2＝90°，则∠A的度数是（　　）        A．45° B．40° C．35° D．30° 【答案】A 【分析】根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3+∠4，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处， ∴∠3+∠4=（180°-∠1）+（180°-∠2）=180°-（∠1+∠2）， ∵∠1+∠2=90°， ∴∠3+∠4=180°-×90°=180°-45°=135°， 在△AEF中，∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°． 故选：A．    【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，熟记各性质并整体思想的利用是解题的关键． 3．（八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在三角形纸片ABC中，．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在内，如果，那么 ． 【答案】42°/42度 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】如图延长AE、BF交于点，连接C，根据三角形内角和定理求出∠AB，根据三角形外角的性质求出∠1＋∠2＝2∠AB即可解决问题． 【详解】解：如图延长AE、BF交于点，连接C． 在△AB中，∠AB＝180°−74°−70°＝36°， ∵∠ECF＝∠AB＝36°，∠1＝∠EC＋∠EC，∠2＝∠FC＋∠FC， ∴∠1＋∠2＝∠EC＋∠EC＋∠FC＋∠FC＝2∠AB＝72°， ∵∠1＝30°， ∴∠2＝42°， 故答案为：42°． 【点睛】本题考查翻折变换、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，也可以记住基本结论∠1＋∠2＝2∠AC′B． 【题型五】三角形内角和定理的应用 【例5】在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，一元一次方程的应用，根据得出，然后根据三角形的内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 【举一反三】 1．一个三角形的两个内角分别为和，那么这个三角形的第三个内角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和为． 利用三角形内角和定理，用减去已知的两个内角的度数，即可求出第三个内角的度数． 【详解】第三个内角， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）若的三个内角度数之比为，则的度数为 ． 【答案】/90度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，设，，，由三角形内角和定理得，求出即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 【题型六】直角三角形的两个锐角互余 【例6】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查直角三角形的性质．根据直角三角形的两个锐角互余，则可求解． 【详解】解：，， ， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知中．，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：中．，， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，若，于点，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：20． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 【答案】；相等的锐角有： 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； ∴相等的锐角有：． 【题型七】三角形的外角的定义及性质 【例7】（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角的性质.根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形的外角性质是解题的关键； 分三种情况：当点P在的内部时，当点P在的外部时，若点P在上方，当点P在的外部时，若点P在下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：当点P在的内部时，如图，延长交于点D， 则， ∴； 当点P在的外部时，若点P在上方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 当点P在的外部时，若点P在下方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 【答案】， 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据，结合，，得到，继而得到，根据，得到，结合 解答即可． 本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，角的和，熟练掌握三角形外角，三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 好题必刷 一、单选题 1．如图，若，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角等于不相邻的两个内角和求解． 【详解】解：由题意可得： 故选：C． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两个内角和正确计算是解题关键． 2．将一副三角板如图放置，使点D落在AB上，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：由题意得：∠E＝45°，∠A＝30° ∵ECAB， ∴∠ADF＝∠E＝45°， ∴∠DFC＝∠A＋∠ADF＝30°＋45°＝75°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，准确识图是解题的关键． 3．根据图中的数据，可得的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角定理，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 4．如图，平分，矩形直尺的一边与垂直，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，根据题意得出，，结合三角形内角和定理得出，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵矩形直尺的一边与垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．图：∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，，∠P＝18°，则∠A的度数为（   ） A．50° B．46° C．48° D．80° 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，根据，可推出，又因为，即可求出． 【详解】解：如图， ，的角平分线交于点， ，， 由三角形的内角和定理得，， ， 即， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，由题意找到角之间的关系． 6．如图，将沿翻折，三个顶点恰好落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，进而求出∠1+∠2的度数． 【详解】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处， ∴∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°， ∵∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠1+∠2=360°-180°=180°， ∵∠1=40°， ∴∠2=140°， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°是解题关键． 二、填空题 7．由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是 三角形． 【答案】直角 8．如图，在中，D是延长线上一点，，，则等于 ． 【答案】/71度 【分析】本题考查的是三角形的外角性质．根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”即可求解． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 9．如图，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 连接，然后利用三角形内角和定理和平行线性质求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠EDF的度数为 ． 【答案】22° 【分析】利用三角形的内角和定理先求∠C、∠BAC，再利用角平分线的性质求出∠BAE，利用外角内角的关系求出∠AED，最后利用三角形的内角和求出∠EDF的度数． 【详解】解：∵AD，AE为△ABC的高线，角平分线， ∴∠EAB＝∠BAC，∠ADC＝90°． ∵∠DAC＝21°，∠B＝25°， ∴∠C＝90°﹣∠DAC ＝69°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C ＝180°﹣25°﹣69° ＝86°． ∴∠BAE＝43°． ∴∠AED＝∠BAE+∠B ＝43°+25° ＝68°． ∵DF⊥AE， ∴∠EFD＝90°． ∴∠EDF＝90°﹣∠DEA ＝90°﹣68° ＝22°． 故答案为：22°． 【点睛】本题主要考查三角形高的定义，角平分线的定义和三角形内角和定理，解决本题的关键熟练掌握三角形内角和定理. 11．一副直角三角尺如图1所示叠放，现将45°的三角尺ADE固定不动，如图2所示，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则的度数为 ． 【答案】15°或45°或60° 【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理和三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】解：①当BC∥DE时， 如图，延长CB交AD于F， ∵BC∥DE， ∴∠CFA=∠EDA=45°， ∴∠BAD=∠CBA-∠CFA=15° ②当AC∥DE时，如图， 此时AB与AE重合， ∴∠BAD=∠DAE=45°； ③当BC∥AD时，∠DAB=∠B=60°； 故答案为：15°或45°或60°． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及三角形的外角性质求解是解答此题的关键． 12．如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 三、解答题 13．求出下列图形中的x的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据三角形内角和为，分别列式计算即可． 【详解】解：（1）由三角形内角和为得：，解得：． （2）由三角形内角和为得：，解得：． （3）由三角形内角和为得：，解得：． （4）由三角形内角和为得：，解得：． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，牢记知识点并能灵活应用是解题关键． 14．如图，，，，垂足为P．如果，那么和分别等于多少？ 【答案】， 【分析】由题意可知在直角△ABP中，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABP=90°-∠A=90°-α；利用平行线的性质可得∠PCD=∠A． 【详解】解：∵AC⊥BD，， ∴∠APB=90°， ∴∠ABP=90°-∠A=90°-α； ∵AB⊥BC，BC⊥CD， ∴AB//CD, ∴∠PCD=∠A=α． 【点睛】本题考查直角三角形的性质和垂直的定义以及平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等． 15．如图，在中，，点，在边上，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】利用三角形外角的性质可求出∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，利用角平分线的定义可求出∠BAE的度数，再利用三角形外角的性质可求出∠AED的度数． 【详解】解：， ． 平分， ， ． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义，利用三角形的外角性质及角平分线的定义，找出∠BAE的度数是解题的关键． 16．如图，BE和BF三等分，CE和CF三等分，．求和的度数． 【答案】， 【分析】先由三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=180°-∠A=105°，再由三等分角的定义得到，，即可得到，，由此进行求解即可． 【详解】解：∵∠A=75°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=105°， ∵BE、BF三等分∠ABC，CE、CF三等分∠ACB， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三等分角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握三等分角的定义． 17．如图的三角形纸板中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD． （1）若AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，求△AED的周长； （2）若∠C＝100°，∠A＝70°，求∠BDE的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，即可得到，即可得解； （2）由折叠性质可得，，得到，即可得解； 【详解】（1）由折叠的性质得：，， ∴， ∴的周长； （2）由折叠性质可得：，， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了折叠问题，三角形外角定理，准确计算是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$