第02讲 与三角形有关的线段 （知识清单+9大题型+好题必刷）（讲义）满分全攻略备课系列2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第02讲 与三角形有关的线段 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 构成三角形的条件 题型二 确定第三边的取值范围 题型三 三角形三边关系的应用 题型四 三角形的稳定性及应用 题型五 根据三角形中线求长度 题型六 根据三角形中线求面积 题型七 三角形角平分线的定义 题型八 画三角形的高 题型九 与三角形的高有关的计算问题 知识清单 知识点1．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【例1】（2023秋•启东市校级月考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．4，4，8 C．5，6，11 D．5，6，10 知识点2．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 【例2】（2023秋•涟水县期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（　　） A． B． C． D． 知识点3．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【例3】下列说法错误的是（　　） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线一定交于同一点 C．三角形的三条角平分线一定交于同一点 D．三角形的三条高一定交于同一点 知识点4．三角形的重心 三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【例4】连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 ．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做 ． 题型方法 【题型一】构成三角形的条件 【例1】（24-25八年级上·山东滨州·期中）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，8，4 C．10，6，5 D．2，4，2 【举一反三】 1．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）四条线段的长度分别为3，5，8，11，可以组成三角形的组数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（八年级上·江苏无锡·期中）已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 【题型二】确定第三边的取值范围 【例2】（2025·广东·二模）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【举一反三】 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·全国·期中）在中，，中线，则边的取值范围是 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 【题型三】三角形三边关系的应用 【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．4，4，9 C．5，6，10 D．6，7，13 【举一反三】 1．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【题型四】三角形的稳定性及应用 【例4】（23-24八年级上·全国·期中）不是利用三角形稳定性的是（　　） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．起重机的三角形钢架 D．学校的伸缩门 【举一反三】 1．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 3．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（　　） A． 太阳能热水器 B． 活动衣架 C． 三脚架 D． 篮球架 【题型五】根据三角形中线求长度 【例5】．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三】 1．（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，为的中线，的周长为23，的周长为18，，则为 ．    3．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，是的角平分线，是的边上的中线． (1)若的周长为26，，求的长； (2)若的面积为12，，求的面积． 【题型六】根据三角形中线求面积 【例6】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，为的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，分别是边上的高线和中线．若的面积是24，长为6，，求的面积． 【题型七】三角形角平分线的定义 【例7】（22-23·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（八年级上·江西上饶·期中）下列说法：①直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到该直线的距离；②同旁内角互补；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行；⑥三角形的角平分线是线段．其中说法正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 3．（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，中，和的平分线交于点F，过点F作，交于点E，交于点D． (1)试确定、、之间的数量关系； (2)若，求的周长． 【题型八】画三角形的高 【例8】（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·广西柳州·期末）画的边上的高，下列画法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，的边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在中，边上高为（   ） A． B． C． D． 【题型九】与三角形的高有关的计算问题 【例9】．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知是的高，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】 1．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，等边，点O是上任意一点，、分别与两边垂直，等边三角形的高为4．则的值为（    ）． A．2 B． C．4 D． 3．△ABC的高AD、CE交于点O，连接BO并延长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则 CE∶AD∶BF值为 ． 好题必刷 一、单选题 1.（八年级上·广东河源·期末）下列图形中具有稳定性的是 （   ） A． B． C． D． 2．下面四个图形中，能表示的边上的高的是（　　） A． B． C． D． 3．用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A．9 B．7 C．2 D．1 4．如图，在中，已知点、分别为、的中点，，且的面积12，则的面积为（    ） A．5 B． C．4 D． 5．已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（   ） A．2a B． C． D．-2b 二、填空题 6．（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 7．如图，在中，D是的中点，，则 ． 8．等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 9．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AD为BC边上的中线，沿中线AD把△ABC折叠后如图2，则S△BDG S△ACG（用“＜”，“＞”，“＝”填空）． 10．已知的三边分别为a、b、c，且满足，则c的取值范围是 ． 11．若二元一次方程组的解、的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为 ． 12．如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ． 三、解答题 13．已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边． 14.如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 15．如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 16．如图，在中，，分别是，边上的中线．已知，，且的周长为15，边上的高为3.96，求的面积． 17．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知． (1)画出的中线和角平分线； (2)画出的高，． 18．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∠BAC＝90°． (1)求AD的长度； (2)求△ABE的面积． 19．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 20．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 与三角形有关的线段 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 构成三角形的条件 题型二 确定第三边的取值范围 题型三 三角形三边关系的应用 题型四 三角形的稳定性及应用 题型五 根据三角形中线求长度 题型六 根据三角形中线求面积 题型七 三角形角平分线的定义 题型八 画三角形的高 题型九 与三角形的高有关的计算问题 知识清单 知识点1．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【例1】（2023秋•启东市校级月考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．4，4，8 C．5，6，11 D．5，6，10 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【解答】解：A、3+4＜8，不能构成三角形； B、4+4＝8，不能构成三角形； C、5+6＝11，不能构成三角形； D、5+6＞10，能构成三角形． 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 知识点2．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 【例2】（2023秋•涟水县期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【解答】解：A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 知识点3．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【例3】下列说法错误的是（　　） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线一定交于同一点 C．三角形的三条角平分线一定交于同一点 D．三角形的三条高一定交于同一点 【分析】根据三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断． 【解答】解：A、三角形的高、角平分线都是线段，故正确； B、三角形的三条中线一定交于同一点，故正确； C、三角形的三条角平分线一定交于同一点故正确，； D、三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的角平分线，中线和高，关键是对三角形的中线、角平分线、高的正确理解解答． 知识点4．三角形的重心 三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【例4】连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 ．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做 ． 【答案】 中线， 三角形的重心 题型方法 【题型一】构成三角形的条件 【例1】（24-25八年级上·山东滨州·期中）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，8，4 C．10，6，5 D．2，4，2 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为3，8，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为5，6，10的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为2，4，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）四条线段的长度分别为3，5，8，11，可以组成三角形的组数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； 根据题意先得出在4条线段中取3条共有四种情况，然后结合三角形的三边关系即可作出判断. 【详解】解：以长度分别为3，5，8，11的四条线段，取3条共有以下四种情况： 3，5，8；3，5，11；3，8，11；5，8，11； 其中能够组成三角形的只有5，8，11这一种情况； 所以可以组成三角形的组数是1； 故选：D. 2．（八年级上·江苏无锡·期中）已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ． 【答案】10 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据2和4可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解． 【详解】解：当2为腰时，三边为2，2，4，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形， 当4为腰时，三边为4，4，2，符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是会根据题意，分类讨论． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 【答案】(1)不能，理由见详解 (2)不能，理由见详解 (3)能，理由见详解 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三边关系：两边之和大于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （2）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （3）先得，根据，满足两边之和大于第三边，即可作答． 【详解】（1）解：不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； （2）解：不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； （3）解：能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度满足两边之和大于第三边， 故能组成三角形． 【题型二】确定第三边的取值范围 【例2】（2025·广东·二模）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得第三边长，再解可得第三边的范围，然后可得答案． 【详解】解：设第三边长为，由题意得： ， 解得：． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，进而即可得到答案．   【详解】解：设该三角形第三边的长是， ∴， ∴， ∴该三角形第三边的长不可能是2． 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·期中）在中，，中线，则边的取值范围是 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查三角形的三边关系和三角形的中线的性质．在中根据三角形的三边关系，得出的取值范围，然后根据三角形中线的性质，便可得到的取值范围． 【详解】解：在中，，， ， 是的中线， ∴， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得，再由是最短边长，可得； （2）根据（1）所求可得，则的最大值为14，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，即， 是最短边长， ， 的取值范围是； （2）解：由（1）可知，， 为整数， 的最大值为14， 三角形周长的最大值为． 【题型三】三角形三边关系的应用 【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．4，4，9 C．5，6，10 D．6，7，13 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和最大的数就可．据此进行解答即可． 【详解】解：A、，1，2，3不能组成三角形，该选项不符合题意； B、，4，4，9不能组成三角形，该选项不符合题意； C、，5，6，10能组成三角形，该选项符合题意； D、，6，7，13不能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系．确定第三边的取值范围是解题的关键．由题意知，，即，然后判断作答即可． 【详解】解：根据题意，由三角形的三边关系得，， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ． 【答案】6 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．根据三角形的周长和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：∵细铁丝的长度为，即三角形的周长为， ∵， ∴a是这个三角形最长的边， 由三角形三边的关系，得，而， ∴， 解得，， ∵a、b、c为整数， ∴a最大可取6． 故答案为：6． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【答案】见解析 【知识点】不等式的性质、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论． 【详解】证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ． 【题型四】三角形的稳定性及应用 【例4】（23-24八年级上·全国·期中）不是利用三角形稳定性的是（　　） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．起重机的三角形钢架 D．学校的伸缩门 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握稳定性的应用是解题的关键．根据稳定性的应用判断即可得到答案． 【详解】解：自行车的三角形车架，利用了三角形稳定性，故选项A不符合题意； 三角形房架，利用了三角形稳定性，故选项B不符合题意； 起重机的三角形钢架，利用了三角形稳定性，故选项C不符合题意； 学校的伸缩门，不是利用三角形稳定性，故选项D符合题意； 故选D． 【举一反三】 1．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，采用如图的设计是构造三角形，应用了三角形的稳定性，理解题意是解题关键． 【详解】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 3．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（　　） A． 太阳能热水器 B． 活动衣架 C． 三脚架 D． 篮球架 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】根据三角形的稳定性，逐一进行判断即可． 【详解】A、太阳能热水器的支架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； B、活动衣架是四边形，不具有三角形的稳定性，符合题意； C、三脚架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； D、篮球架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【题型五】根据三角形中线求长度 【例5】．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键．先根据中线的定义得，再表示周长，即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差是． 故选：C． 【举一反三】 1．（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ∵周长为， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，为的中线，的周长为23，的周长为18，，则为 ．    【答案】5 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差． 【详解】解：∵是的中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边与长度的差是解题的关键． 3．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，是的角平分线，是的边上的中线． (1)若的周长为26，，求的长； (2)若的面积为12，，求的面积． 【答案】(1)6 (2)30 【知识点】根据三角形中线求长度、角平分线的性质定理 【分析】本题考查三角形中线的定义和角平分线的性质定理； （1）首先根据中线的性质得到，然后根据的周长为26，即可求出AB的长； （2）首先根据三角形的面积公式求出的长度，然后根据角平分线的性质定理即可求解． 【详解】（1）是的边上的中线，， ． 又的周长为， ． （2）如图，过点作于点． 是的角平分线，， ． 又的面积为12，， ， ， ． 【题型六】根据三角形中线求面积 【例6】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，为的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．利用中线的性质即可求解． 【详解】解：为的中线， ， 的面积为， 的面积为， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系． 根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，由是边上的中线，得到，进而由三角形面积公式代值表示，最后结合即可得到，恒等变形即可得到答案，熟记中线等分三角形面积、三角形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：在中，是边上的中线， ， ，， ， ， ，即与的长度之比是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，分别是边上的高线和中线．若的面积是24，长为6，，求的面积． 【答案】 【知识点】加减消元法、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】该题主要考查了三角形的面积，中线，高线，解题的关键是理解题意． 根据的面积是24，算出，再根据中线得出，根据，即可算出，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的高线，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又 ， ∴， ∴． 【题型七】三角形角平分线的定义 【例7】（22-23·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 【举一反三】 1．（八年级上·江西上饶·期中）下列说法：①直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到该直线的距离；②同旁内角互补；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行；⑥三角形的角平分线是线段．其中说法正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】两直线平行同旁内角互补、三角形角平分线的定义 【分析】根据点到直线的距离、平行线的判定与性质、平行公理、三角形的高与角平分线逐个判断即可得． 【详解】解：①直线外一点到该直线的垂线段的长度，是这个点到该直线的距离；则原说法错误； ②两直线平行，同旁内角互补；则原说法错误； ③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；则原说法错误； ④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；则原说法正确； ⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；则原说法错误； ⑥三角形的角平分线是线段；则原说法正确； 综上，说法正确的有2个， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理等知识点，熟练掌握各定义和性质是解题关键． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形角平分线的定义 【分析】根据，分别是的中线和角平分线，得到为线段的中点，平分，进行作答即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴是线段的中点， ∴， ∵是的角平分线， ∴平分， ∴； 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查三角形的中线和角平分线的定义．熟练掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，是解题的关键． 3．（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，中，和的平分线交于点F，过点F作，交于点E，交于点D． (1)试确定、、之间的数量关系； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为a 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等、三角形角平分线的定义 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质，通过等量代换可得，，进而得到，，即可推出． （2）利用（1）中结论，通过等量代换可得． 【详解】（1）解：由题意知，平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， 由（1）知， ∴， 即的周长为a． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，以及等腰三角形“等角对等边”等知识点，掌握上述知识点，熟练进行等量代换是解题的关键． 【题型八】画三角形的高 【例8】（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高、折叠问题 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决问题的关键．也考查了折叠的性质．为三角形的高，则．所以，然后对各选项进行判断． 【详解】 解：是的高的是． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·广西柳州·期末）画的边上的高，下列画法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了画三角形的高，根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，边上的高是从点C向作垂线，顶点C与垂足形成的线段，即如下所示： 故选：D． 2．（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，的边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，从一个顶点到其对边的垂线叫作三角形的高，据此即可求解； 【详解】解：由三角形的高的定义可知：线段是的边上的高， 故选：A ． 3．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在中，边上高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高线的定义解答． 【详解】解：根据三角形的高的定义，边上高为． 故选：D． 【题型九】与三角形的高有关的计算问题 【例9】．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知是的高，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高线，解题关键是涉及到三角形的高的时候，注意分情况考虑．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图1，当高在的内部时， ； ②如图2，当高在的外部时， ． 综上所述，的度数为或． 故选：D． 【举一反三】 1．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，等边，点O是上任意一点，、分别与两边垂直，等边三角形的高为4．则的值为（    ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边三角形的面积求法等知识点，根据，由是等边三角形，得出三个三角形是等底的三角形，进而可得出高高等于三角形的高，熟练掌握三角形的面积求法是解决此题的关键． 【详解】连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，，，等边三角形的高为4， ∴，即， ∴， 故选：C． 3．△ABC的高AD、CE交于点O，连接BO并延长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则 CE∶AD∶BF值为 ． 【答案】12：15：10 【分析】根据三角形三条高线交于一点，可得BF⊥AC，再根据三角形面积是一定的，即可得到CE：AD：BF值． 【详解】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F， ∴BF⊥AC， ∴AB×CE＝BC×AD＝AC×BF， ∵AB＝5，BC＝4，AC＝6， ∴×5×CE＝×4×AD＝×6×BF， ∴CE：AD：BF＝12：15：10． 故答案为：12：15：10． 【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是熟练掌握三角形面积公式，难点是得到BF⊥AC． 好题必刷 一、单选题 1.（八年级上·广东河源·期末）下列图形中具有稳定性的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】根据三角形具有稳定性、多边形不具有稳定性解答即可． 【详解】解：A、三角形具有稳定性，符合题意； B、长方形不具有稳定性，不符合题意； C、梯形不具有稳定性，不符合题意； D、正方形不具有稳定性，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性和多边形的不稳定性，属于应知应会题型，熟知三角形具有稳定性而多边形具有不稳定性是解题的关键． 2．下面四个图形中，能表示的边上的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：所给图形中，能表示的边上的高的是D选项， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 3．用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A．9 B．7 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围； 先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项， 故选：B 4．如图，在中，已知点、分别为、的中点，，且的面积12，则的面积为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由点D是BC的中点，可得△ABD的面积=△ACD的面积=S△ABC，由E是AD的中点，得出△ABE的面积=△DBE的面积=△ABC的面积，进而得出△BCE的面积=△ABC的面积，再利用EF=2FC，求出△BEF的面积． 【详解】解：∵点D是BC的中点，△ABC的面积12， ∴△ABD的面积=△ACD的面积=S△ABC=6， ∵E是AD的中点， ∴△ABE的面积=△DBE的面积=△ABC的面积=3， △ACE的面积=△DCE的面积=△ABC的面积=3， ∴△BCE的面积=△ABC的面积=6， ∵EF=2FC， ∴△BEF的面积=×6=4， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是根据中点找出三角形的面积与原三角形面积的关系． 5．已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（   ） A．2a B． C． D．-2b 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系得出，，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B. 二、填空题 6．（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 7．如图，在中，D是的中点，，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了三角形的中线的性质，即三角形的中线把三角形的面积等分成相等的两部分．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算即可． 【详解】解：∵D是的中点，， ， 故答案为：2． 8．等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 9．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AD为BC边上的中线，沿中线AD把△ABC折叠后如图2，则S△BDG S△ACG（用“＜”，“＞”，“＝”填空）． 【答案】 【分析】根据三角形中线的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：是边上的中线， （等底同高）， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键． 10．已知的三边分别为a、b、c，且满足，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先配方，再根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：∵a,b满足，即， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 11．若二元一次方程组的解、的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程，求得m，根据构成三角形的条件判断即可． 【详解】 ①-②得：y=3-m 把y=3-m代入②，得x=3m-3 故方程组的解为 若x为腰，y为底，则2x+y=7 即2(3m-3)+3-m=7 解得：m=2 此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件 若y为腰，x为底，则2y+x=7 即2(3-m)+3m-3=7 解得：m=4 此时x=9，y=-1，不合题意 若x=y，即3m-3=3-m 解得： 此时腰为，底为 但+<4，不符合构成三角形的条件 故不合题意 所以满足条件的m为2 故答案为：2 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件． 12．如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了三角形的面积，平行线间距离相等，求出的长是解题的关键．过点作，求出的长，再利用面积公式解答即可． 【详解】解：过点作， ，的面积， ， ， ， 点到的距离等于的长度， 的面积． 故答案为：27． 三、解答题 13．已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边． 【答案】5，5． 【分析】分情况讨论，边长为3的边是底和腰两种情况，再用周长公式求解即可． 【详解】①3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7； ②3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则其中一腰长． 这样得两组：3，3，7 和5，5，3． 而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去． ∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的概念，构成三角形的条件，分类讨论和根据构成三角形的条件判断结果是解题的关键． 14.如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可． 【详解】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键． 15．如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线定义得出，结合三角形的周长公式求出，即可求解． 【详解】解：因为是边上的中线， 所以； 因为的周长比的周长多， 所以， 即， 因为， 所以． 16．如图，在中，，分别是，边上的中线．已知，，且的周长为15，边上的高为3.96，求的面积． 【答案】9.9 【分析】根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得BC，再用三角形面积公式即可的解． 【详解】解：∵，分别是，边上的中线，，， ∴， ． ∵的周长为15， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中线和高，熟记概念并准确识图是解题的关键． 17．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知． (1)画出的中线和角平分线； (2)画出的高，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了画三角形的高线、中线和角平分线， （1）先找出的中点，连接即可得出的中线；画出的平分线即可； （2）过点作，垂足为点，延长，过点作，垂足为点，即可得出高线． 【详解】（1）解：即为所求作的中线，为所求作的角平分线，如图所示： （2）解：、为所求作的高线，如图所示： 18．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∠BAC＝90°． (1)求AD的长度； (2)求△ABE的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积求出AD即可； （2）根 据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BE，再根据三角形面积公式求出面积即可． 【详解】（1）解：在中，，是边上的高， ，，， 根据可得 ； （2）解：在中，是边上的中线，且， ， 在中，是边上的高，且由（1）知， ． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的性质，解题关键是巧用面积法求直角三角形斜边上的高． 19．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的高、中线以及角平分线，三角形内角和定理，掌握相关知识点是解题关键． （1）由三角形的面积公式，得出，再利用中线的定义，即可求出的长； （2）由三角形内角和定理，得出，进而得出，再由三角形内角和定理，求出，即可得出的度数． 【详解】（1）解：为边上的高，的面积为， ， ， 为边上的中线， ； （2）解：，， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 20．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC， 则， ∵AE=AE， ∴． （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$