第06讲有理数的乘法与除法（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（人教版2024）

第06讲有理数的乘法与除法（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 两个有理数的乘法运算 典型例题二 多个有理数的乘法运算 典型例题三 有理数乘法的实际应用 典型例题四 倒数 典型例题五 有理数乘法运算律 典型例题六 有理数的除法运算 典型例题七 有理数除法的应用 典型例题八 有理数乘除混合运算 典型例题九 有理数四则混合运算 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 知识点一：有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 【即时训练】 1．（2024·陕西宝鸡·二模）计算：（    ） A． B．6 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：A． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数乘法的运算法则是解题的关键．根据有理数乘法的运算法则计算即可． 【详解】， 故答案为：6． 知识点二：有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查乘法结合律、乘法分配律，将原式变形，即可求得答案． 【详解】A．，不含数字，该选项符合题意； B．，含数字，该选项不符合题意； C．，方案与原式不相等，该选项不符合题意； D．，方案与原式不相等，该选项不符合题意． 故答案为：A． 2．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）用一句口诀写出两道乘法算式． （1）二九十八： ， ； （2）七八五十六： ， ． 【答案】 【分析】根据口诀写出乘法算式即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：，； （2）； 故答案为：． 【点睛】本题考查乘法交换律．熟练掌握乘法交换律是解题的关键． 知识点三：确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 【即时训练】 1．（2025·山东济南·一模）若两个有理数的乘积是负数，则这两个数（ ） A．都是正数 B．都是负数 C．同号 D．异号 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘法中积的符号与因数符号的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据“若ab＜0，则a、b异号”进行分析即可． 【详解】解：因为两个有理数的乘积是负数，根据知识点“若ab＜0，则a、b异号”，可知这两个数异号。 故答案为：D． 2．（2025·江苏苏州·期末）已知有理数x、y满足xy＞0，则x与y的符号______（填“相同”或“相反”） 【答案】相同 【分析】本题考查有理数乘法中积的符号与因数符号的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据“若ab＞0，则a、b同号”进行解答即可． 【详解】解：已知xy＞0，根据知识点“若ab＞0，则a、b同号”，可得x与y同号，即符号相同。 故答案为：相同． 知识点四：有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【即时训练】 1．（21-22九年级下·福建福州·阶段练习）（　    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的除法法则进行计算即可． 【详解】解：=-3， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟记有理数的除法法则是解题的关键． 2．（2025·安徽蚌埠·二模）计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查有理数除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：6． 【典型例题一 两个有理数的乘法运算】 1．（2025·陕西榆林·一模）计算：（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，直接根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算和猜想∶ (1) (2) 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题主要考查了有理数和零相乘，掌握任何数与零的积均为零成为解题的关键． （1）直接根据任何数与零的积均为零即可解答； （2）直接根据任何数与零的积均为零即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：． 1．（24-25九年级下·陕西汉中·阶段练习）（   ） A．1 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数乘法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）计算应想的乘法口诀是（   ） A．三八二十四 B．三八二十 C．四六二十四 【答案】A 【分析】本题考查乘法口诀，根据式子特点，进行判断即可． 【详解】解：计算应想的乘法口诀是三八二十四； 故选A． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末） ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，直接根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，有理数的乘法运算： （1）根据有理数的加法运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 1．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，比较有理数的大小．先根据乘法法则，判断出积的符号，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：根据乘法法则可知：A选项中的积为正数，B，C选项中的积为负数，D选项的积为0， ∴计算结果最大的是选项A． 故选A． 2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5； (2) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算的法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则、运算顺序是解答此题的关键． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）将“a、b、c三个数中至少有一个数是零”这句话用等式表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则，任何数与0相乘都得0． 【详解】解：∵a、b、c三个数中至少有一个数是零， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多个有理数相乘的积的符号，根据“几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当有奇数个负因数时，积为负数；当有偶数个负因数时，积为正数”，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 积为负，不符合题意； B. 积为负，不符合题意； C. 积为正，符合题意； D. 积为0，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（21-22七年级上·全国·课后作业）如果两个数的乘积为负数，你能说出这两个数的符号分别是什么吗？如果两个数的乘积为正数呢？你能推广到多个数相乘的情形吗？ 【答案】见详解 【分析】偶数个负号相乘抵消成正数，奇数个负号相乘最后结果仍然是负数，根据这个规律去答题即可． 【详解】如果两个数的乘积为负数，那么这两个数为一正一负；如果两个数的乘积为正数，那么这两个数同为正或同为负；如果多个数相乘，当乘积为负数时，那么其中必有奇数个负数；当乘积为正数时，那么其中必有偶数个负数． 【点睛】本题考查有理数乘积之后的符号正负问题，掌握符号运算的规律是本题关键． 【典型例题三 有理数乘法的实际应用】 1．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）人体血液的质量占人体体重的与之间，已知小亮的体重为35kg，则他体内的血液质量可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，分别计算与，即可知道小亮体内血液质量所处的范围，根据选项即可作出判断． 【详解】解：由题意知，小亮体内血液质量位于与之间， 由四个选项知，小亮体内的血液质量可能为； 故选：C． 2．（23-24七年级上·广东肇庆·开学考试）小猴子真真开垦了一块近似于三角形的地种香蕉，如果每平方米收3千克香蕉，这块儿地大约能收多少千克香蕉？    【答案】这块地可以收香蕉千克 【分析】先利用三角形的面积公式求出这块香蕉地的面积，再乘每平方米收香蕉的重量，列式解答即可． 【详解】（千克） 答：这块地可以收香蕉千克． 【点睛】此题主要考查三角形的面积的计算方法在实际生活中的应用． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）学校中午配餐提供4种主食，2种菜色，如果只选择一种主食和一种菜色搭配，则不同搭配方法有（　　）种． A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法的实际应用，直接用主食数乘以菜色数即可得到答案． 【详解】解：根据题意分析可知，每一种主食都可以与2种菜色搭配成2种不同的方法， 所以4种主食可以搭配出种不同的方法， 故选：B． 2．（23-24七年级上·广东惠州·开学考试）某小区停车场对小汽车的收费标准是这样的：半时内（含半时）免费；半时以上，每过1时收费5元，不足1时按1时算．一辆汽车付停车费是15元，那么它停车的时间段可能是（    ）． A．至 B．至 C．至 【答案】C 【分析】付停车费15元，也就是半个小时+3个小时（或2个小时多），即停了2.5～3.5小时（不包括2.5小时）．据此判断即可． 【详解】解：11时-7时15分=3小时45分钟 15时30分-13时30分=2小时 14时25分-11时25分=3小时 只有C项符合条件． 故选：C． 【点睛】题目主要考查有理数的乘法运算，此题的关键是明确停车时间的范围，然后再进一步解答． 3．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小龙家住在6楼，他从6楼乘坐电梯到地下1层的车库，假设每层的楼高为3米，则电梯一共下降的高度为 米． 【答案】18 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算的应用，根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】解：他从6楼乘坐电梯到地下1层的车库时，需要下降的高度为： （米）． 故答案为：18． 4．（23-24七年级上·山西太原·开学考试）每年的6月5日是“世界环境日”，中国的主题是“建设人与自然和谐共生的现代化”．希望小学组织六年级同学开展收集废弃的塑料瓶活动，男生一共收集了180个，女生收集的个数是男生的2.5倍，女生一共收集了多少个？ 【答案】女生一共收集了450个 【分析】根据倍数关系直接列式计算即可． 【详解】解：（个）， 答：女生一共收集了450个． 【点睛】本题考查了有理数乘法的实际应用，正确列式是解题的关键． 【典型例题四 倒数】 1．（2025·四川雅安·二模）同学们，在百日誓师大会上我们喊出了“2025，中考必胜”的口号，希望我们在接下来的时间里继续为“中考成功”努力．那么2025的倒数是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的概念及计算，掌握倒数的概念是关键． 根据乘积为1的两个数互为倒数即可求解． 【详解】解：∵， ∴2025的倒数是， 故选：C ． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）在下列所给数轴上用A、B、C、D、E分别表示，，0，，4，并回答下列问题： (1)A、E两点的距离为______； (2)的倒数为______； (3)这5个数中绝对值最小的数是______； (4)这5个数中最小的负有理数是______． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数比较大小，求一个数的倒数： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可； （3）正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求出这5个数的绝对值即可得到答案； （4）根据两个负数比较大小，绝对值越大其值越小得到，据此可得答案． 【详解】（1）解；∵点A和点E表示的数分别为，4， ∴A、E两点的距离为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴的倒数为， 故答案为：； （3）解：∵， ∴这5个数中绝对值最小的数是0； （4）解：∵， ∴， ∴这5个数中最小的负有理数是， 故答案为： 1．（2025·广东深圳·模拟预测）某超市促销活动中，A商品以原价3元的倒数（   ）元出售． A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的意义，一个数的倒数是指与其相乘等于1的数. 【详解】解：∵， ∴3的倒数为． 故选：B ． 2．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）的绝对值的相反数的倒数等于（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，相反数，倒数，根据绝对值，相反数，倒数逐步求解即可． 【详解】解：∵的绝对值是，的相反数是，的倒数是， ∴的绝对值的相反数的倒数等于． 故选：C 3．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查倒数的性质，有理数的乘法，熟练掌握倒数的性质是解题的关键； 根据倒数的性质即可求解； 【详解】解：互为倒数的两个数乘积为， 故； 故答案为： 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）（倒数法）比较和的大小． 【答案】 【详解】本题考查了有理数的大小比较的应用，用了倒数法比较两个数的大小． 先分别求出两个数的倒数，再比较倒数的大小，即可得出答案． 【分析】解：，， ， 【典型例题五 有理数乘法运算律】 1．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各式：； 【答案】6 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号．先确定符号，再用约分即可得答案． 【详解】解：， ， ， ． 1．（24-25七年级上·福建泉州·期中）严谨的数学推理能力是数学的基本发展目标，是数学习得的基本表现．例如爱思考的小安证明“同分母分数的加法法则”，推理过程如下： 设两个同分母分数为，，则 （____**___） ． 以上推理过程中，**处应填（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法法则 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘法分配律，观察解题可知，**处应用了乘法分配律的逆运算，据此可得答案． 【详解】解：观察解题可知，**处应用了乘法分配律的逆运算， 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）运用了（    ）律进行计算． A．乘法交换 B．乘法结合 C．乘法分配 【答案】C 【分析】本题考查了乘法运算律的认识，熟练掌握乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律是解题的关键．利用乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律的定义判断即可． 【详解】解：， 运用了乘法分配律进行计算， 故选：C． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·开学考试），应用了( )律． 【答案】乘法结合 【分析】根据乘法结合律，作答即可． 【详解】解：由题意知，应用了乘法结合律， 故答案为：乘法结合． 【点睛】本题考查了乘法结合律．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（23-24六年级上·上海黄浦·期中）计算： 【答案】20 【分析】根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查的是乘方分配律，属于基础题型． 【典型例题六 有理数的除法运算】 1．（24-25六年级上·黑龙江大庆·期中）巴黎奥运会上，中国跳水队首次包揽了跳水项目所有金牌，总共取得8金2银1铜的成绩，无愧于跳水“梦之队”这一称号．在跳水比赛中，“向前屈体”这个动作指向前翻转（    ）圈． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求倍数，理解旋转一圈是是关键；用即可． 【详解】解：（圈）， 答：在跳水比赛中，“向前屈体”这个动作指向前翻转2圈． 故选：B． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）把下列有理数写成整数之商： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据有理数的除法可进行求解（1）（2） 【详解】（1）解：； （2）解： 【点睛】本题主要考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数可得答案． 【详解】 故选：C． 2．（2024·山西运城·三模）计算：（    ） A． B．3 C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法，直接利用除法法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 3．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查了有理数的除法，根据有理数的除法运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（20-21六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）根据，直接写出下面各题的得数． (1)43×0.79= (2)0.43×7.9= (3)33.97÷7.9= 【答案】(1)33.97 (2)3.397 (3)4.3 【分析】（1）由条件知因数的小数点左移两位，所以积的小数点也左移两位 （2）由因数的小数点左移三位，积的小数点也要左移三位 （3）由被除数小数点左移两位，除数的小数点左移一位，商的结果左移一位 【详解】（1）解：79的小数点向左移动两位，相当于除以100， 所以3397的值也要除以100为33.97， 也即小数点左移两位，则； （2）43的小数点左移两位，相当于除以100；79的小数点左移一位，相当于除以10， 所以3397的值要除以1000为3.397，即； （3）33.97的小数点左移两位，相当于除以100；79的小数点左移一位，相当于除以10，所以43除以10为4.3 也即小数点左移一位，即. 【点睛】本题考查了小数点移动的变化规律：小数点向右移动一位，相当于原数乘以10，向右移动两位相当于原数乘100，其余依此类推；小数点向左移动一位，相当于原数除以10，向左移动两位相当于原数除以100，其余依此类推． 【典型例题七 有理数除法的应用】 1．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）买一台价格是3400元的电视机，需要付（   ）张面值100元的人民币． A．340 B．34 C．4 【答案】B 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据题意，列出算式进行计算即可． 【详解】解：（张）； 故选B． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）今年8月15日，武汉市汉阳区古城历史风貌区重点项目汉阳树公园北园建成开园．汉阳树公园被有年历史的显正街分为南北两个园区，树龄年的汉阳树座落在北园．北园面积约，是公园总占地面积的．公园总占地面积是多少万平方米？（得数保留一位小数．） 【答案】万平方米 【分析】用北园面积除以对应的百分比即可得到公园总占地面积． 【详解】解：由题意可得，， 答：公园总占地面积是万平方米． 【点睛】此题考查了有理数除法的应用，准确计算是解题的关键． 1．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）如果，那么下面算式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，掌握有理数除法的意义是解题的关键，根据有理数的除法分析即可得解． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故A、B、D正确，C不正确， 故选∶C 2．（23-24七年级上·河南平顶山·开学考试）新年联欢会上，小红按朵红花，朵黄花，朵绿花的顺序把彩花串成花带布置会场，第朵是（ ） A．红花 B．黄花 C．绿花 【答案】B 【分析】根据题意可知每朵为一组，再根据题意列出式子进行计算即可． 本题考查有理数的除法，找出排列规律是解题的关键． 【详解】解：由题可知，每朵为一组， 则组朵， 每组的第三朵是黄花，则第朵是黄花． 故选：． 3．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）把一桶牛奶平均分成若干杯，分的杯数和每杯的牛奶量如下表所示，若把这桶牛奶平均分成10杯，则每杯的牛奶是 ． 分的杯数 6 5 4 3 … 每杯的牛奶量/ 100 120 150 200 … 【答案】60 【分析】本题考查了有理数的乘除法，先求出牛奶的总量，再除以杯数10计算即可． 【详解】解：由题意知，牛奶共有：(毫升)， 又∵把这桶牛奶平均分成10杯， ∴每杯的牛奶量是：(毫升)， 故答案是：60． 4．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）张叔叔周末沿着舜耕山环山路骑行26千米，用了2小时，随后原路返回，往返的平均速度为12千米/时．返回时用了多长时间？ 【答案】小时 【分析】平均速度总路程总时间，据此即可求解． 【详解】解：∵ 平均速度总路程总时间 ∴往返的总时间为：（小时） ∴返回时花费时间为：（小时） 答：返回时用了小时． 【点睛】本题考查了有理数除法的实际应用．抓住平均速度总路程总时间是解题关键． 【典型例题八 有理数乘除混合运算】 1．（21-22七年级上·四川德阳·阶段练习）计算﹣4÷×的值为（    ） A．﹣4 B．﹣ C． D．4 【答案】B 【分析】先将除法化为乘法，然后再计算求解即可． 【详解】解：﹣4÷×=． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除混合运算的运算法则． 2．（22-23六年级下·上海宝山·期中） 【答案】4 【分析】将符号化简，将带分数华为假分数，将除法化为乘法，再约分计算． 【详解】解： 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是正确化简算式，才能正确约分计算． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（   ） A． B．32 C． D．64 【答案】C 【分析】此题主要考查的是有理数的乘除混合运算，从左到右依次计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东中山·期中）计算的结果是（   ） A．6 B．-6 C．12 D．-12 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除混合运算法则是解题关键．先计算除法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故选A． 3．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，先确定结果的符号，再把除法化为乘法运算，再计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 4．（22-23七年级上·湖南常德·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘除混合运算法则． 【典型例题九 有理数四则混合运算】 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载的圆锥体积计算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一”也就是用底面周长的平方乘高，再除以，这种计算方法，圆周率取近似值3．一个圆锥形沙堆的底面周长是，高是，用这种方法算出这个沙堆的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意代值计算即可． 【详解】解：由题意得：这个沙堆的体积是：； 故选：A． 2．（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘除法运算法则是关键． 根据有理数的混合运算，先算乘除，再算加减，注意符号变化． 【详解】解：                  ． 1．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，有理数的混合运算，根据合并同类项法则，有理数的混合运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，计算错误，故选项不符合题意； B、，计算错误，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项符合题意； D、，计算错误，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 3．（24-25七年级上·吉林·单元测试）下面运算运用了乘法分配律得到，则？处的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握乘法分配律的计算是解题的关键． 根据乘法分配律展开等式坐标，再与等式右边比较，即可求解． 【详解】解：， ∴, 解得，， 故答案为： 4．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）口算题． ________    _________   _____________            _________ ____________ _____________    _____________      ___________ ____________  ______________ 【答案】10；；19；6，7；70；1；0.8；20；1120 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，分别根据有理数的运算的运算法则与运算顺序计算即可． 【详解】解： ，   ，   ，             ， ， ，   ，       ， ，   ； 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2049年为 A．农历乙巳年 B．农历己巳年 C．农历己酉年 D．农历乙亥年 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以分别计算出2025对应的天干和地支，然后写出农历年即可． 【详解】解：根据题意可得： 2049年天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2022年为农历己巳年． 故选：B． 2．（2024七年级上·四川成都·专题练习）甲、乙、丙三名搬运工同时分别在三个工作量完全相同的仓库工作．搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个较大仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同，三人搬运效率不变；甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了12小时后同时搬运完毕，问：丙在A仓库做了多长时间？ 【答案】丙在仓库做了4.5小时 【分析】本题考查工作效率，工作时间，工作质量之间的关系，甲的工作效率是，乙的工作效率是，丙的工作效率是，丙在仓库比仓库少做（小时），再根据和差问题的解法即可得出答案． 【详解】解：（小时）， （小时）， 故丙在仓库做了4.5小时． 1．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）王叔叔的月工资是元，扣除元个税起征点后的部分按缴税，他应缴税（   ）元． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题关键是掌握有理数的四则混合运算． 根据题意，王叔叔的应纳税所得额为月工资减去个税起征点，再乘以税率计算税款． 【详解】解：(元)， ∴他应缴个人所得税元， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）某服装店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是（  ） A．盈利元3元 B．亏损3元 C．亏损10元 D．不盈不亏 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的运用，理解数量关系，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 根据题意，分别算出盈利、亏损衣服的成本，由此即可求解． 【详解】解：盈利衣服的成本为元，亏损衣服的成本为元， ∴， ∴亏损了3元， 故选：B ． 3．（24-25六年级下·上海宝山·期末）若某人工作3天可以得到1290元，按照这样的工资水平，他工作一个月（按22天计算）可以获得 元报酬． 【答案】9460 【分析】解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．照这样计算，说明平均每天工作得到的报酬是相同的，先用算出平均每天工作得到的报酬，再算出他工作22天可以得到报酬． 【详解】解：元， 故答案为：9460 4．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某校组织六年级学生在暑假去游乐场游玩，采取线上问卷的方式征求家长和学生的意见自愿报名．最后一共有名学生报名参加．每张门票原价是元，暑假期间有优惠促销，请你算一算，哪种购票方案最划算？ 方案一：人以上可购团体票，每张按九折出售． 方案二：每买张送张，不满张不赠送． 方案三：每满元返还元． 【答案】第一种购票方案最划算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解数量关系，正确列式求解是关键． 根据题意，运用有理数的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：方案一：人以上可购团体票，每张按九折出售， （元）； 方案二：每买张送张，不满张不赠送， ， ∴买了张，送了6张，此时还有1人没票， ∴费用为（元）； 方案三：每满元返还元， （元），， ∴（元）； ∵， ∴第一种购票方案最划算． 【典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，数轴上，两点表示的实数分别为，，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查数轴的认识，根据点A、B在数轴上的位置得到，是解题的关键．根据数轴的性质可得，，再判断各选项中式子的正负即可． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④正确， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据数在数轴上的对应点的位置，写出描述关系的三条正确结论． 【答案】答案不唯一，如等 【分析】本题主要考查了数轴的定义和性质，解题的关键是熟练掌握数轴的定义． 利用数轴的定义和性质进行描述即可． 【详解】解：由图可知， ∴． 1．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴的特点得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：A ． 2．（24-25九年级下·北京丰台·阶段练习）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先观察数轴可知：，，然后判断D选项的正误，根据有理数的乘除法法则判断A、C选项的正误，再根据有理数的加减法则判断B选项的正误即可． 本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则和乘法法则． 【详解】解：观察数轴可知：，， ∴，，，， ∴A，B，D选项的结论错误，C选项的结论正确， 故选：C． 3．（2025·陕西西安·三模）已知实数、在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了通过数轴判断式子的正负，有理数的加法，通过数轴得出，，即可得出结果． 【详解】解：由此图可知，， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴可得，再由得到，据此求解即可； （2）由数轴可知，据此化简绝对值并计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，有理数的除法和加法计算，化简绝对值等等，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）李芳在计算160乘一个数时，把160错看成了16，要使原来的积不变，另一个因数应该（     ） A．减144 B．加144 C．除以10 D．乘10 【答案】D 【分析】本题考查的是因数与积之间的关系，根据一个因数缩小10倍，则另一个因数就扩大相同的倍数即可得到答案． 【详解】解：由分析可知，李芳在计算160乘一个数时，把160错看成了16，要使原来的积不变，另一个因数应该乘10 故选：D 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）与的积是3的数是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，分别计算出乘以四个选项中的数的结果即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴与的积是3的数是， 故选：A． 3．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）杜师傅攀登一座山峰，他每登高，气温的变化量为，当杜师傅攀登后，那么气温将会（   ） A．下降 B．上升 C．下降 D．上升 【答案】A 【分析】用每登高气温的变化量乘6，求出攀登后，气温变化多少即可． 【详解】． 上升为正，下降为负，即攀登后，气温下降， 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，负数的意义，解题的关键是正确理解负数在实际生活中的意义． 4．（21-22七年级上·广东珠海·开学考试）小时（    ）分钟． A． B． C． 【答案】B 【分析】小时分钟，单位换算：大单位换小单位乘它们之间的进率，小单位换大单位除以它们之间的进率． 【详解】解：∵， ∴小时分钟． 故选：B． 【点睛】本题考查时间单位的换算及有理数的乘法．掌握时间单位的换算方法及有理数的乘法是解题的关键． 5．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲数是，乙数是甲数倒数的，乙数是（   ）． A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数，有理数的乘法运算，掌握倒数，有理数的计算法则是解题的关键． 根据题意，先求出甲的倒数，再根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 故选：B ． 6．（22-23七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）与计算结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法运算律即可求解． 【详解】解： 故选：B 【点睛】本题考查有理数的乘法运算律：用括号外的项分别乘以括号内的每一项，再把所得的结果相加． 7．（2023·山西忻州·一模）计算的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据有理数除法运算法则进行计算即可． 【详解】解；， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，比较简单，解题的关键在于掌握有理数除法运算法则． 8．（21-22七年级上·四川南充·期末）小明家的汽车在阳光下曝晒后车内温度达到了60℃，打开车门后经过降低到室外同温32℃，再启动空调关车门，若每分钟降低4℃，降到设定的20℃共用时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出从32℃降低到20℃所需要的时间，再加上从60℃降低到32℃所需要的时间即可求解． 【详解】解：每分钟降低4℃，从32℃降低到20℃所需要的时间是min． 从60℃降低到32℃所需要的时间是8min． 所以共用时间为8+3=11min． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数加法运算的实际应用和有理数除法运算的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键． 9．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查有理数的乘除运算，关键是根据有理数的除法和乘法法则计算． 根据有理数的除法和乘法计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 10．（24-25九年级下·北京丰台·阶段练习）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先观察数轴可知：，，然后判断D选项的正误，根据有理数的乘除法法则判断A、C选项的正误，再根据有理数的加减法则判断B选项的正误即可． 本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则和乘法法则． 【详解】解：观察数轴可知：，， ∴，，，， ∴A，B，D选项的结论错误，C选项的结论正确， 故选：C． 11．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）只列式：乘以与两数的和 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据题意列出算式即可． 【详解】根据题意： 故答案为：． 12．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）宿羊山华联超市改造升级后于2024年元旦开业，所有商品均打折出售，某种方便面5袋装原价是26元/袋，现在打8折销售，现在的售价是 元/袋． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法的实际应用，根据题意，由原价折扣，即可得到现在的售价． 【详解】解：由题意得：（元）， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）一般地，如果 ，那么a和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的 ． 【答案】 倒数 【分析】本题考查倒数，根据积为1的两个数互为倒数，进行作答即可． 【详解】解：一般地，如果，那么a和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数； 故答案为：，倒数 14．（23-24七年级上·四川眉山·期中）饮料厂从一批产品中抽查了40瓶饮料，其中8瓶不合格，合格率是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数除法的应用，用合格的瓶数除以总瓶数，再乘以即可得到合格率． 【详解】解：， 即合格率是． 故答案为：． 15．（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）同学们做操，每行站20人，正好站18行，如果每行站24人，可以站 行． 【答案】15 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算的应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 先求出总人数，再依据行数、总人数、每行人数的关系列式计算即可． 【详解】解：， ， （行）． 故答案为：15． 16．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）某粮食仓库从11月11日到11月15日五天内，进出仓库的粮食数量如下（进为“”，出为“”，单位：吨） 日期 11日 12日 13日 14日 15日 数量 ； ； ； ； ； (1)五天后，仓库的粮食是增加了还是减少了多少吨？ (2)如果进出粮食仓库的粮食每吨都需要付装卸费用8元，那么这五天要付多少元的装卸费用？ 【答案】(1)增加了20吨； (2)1600元． 【分析】本题主要考查正负数的实际意义，有理数的加减乘除的运用，绝对值的意义，掌握正负数的意义，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算得出结果，进行比较即可； （2）运用有理数的乘法运算即可求解． 【详解】（1）解：11日：（吨）， 12日：（吨）， 13日：（吨）， 14日：（吨）， 15日：（吨）， ∴（吨）， ∴增加了20吨； （2）解：（吨）， ∴（元）， ∴这五天要付元的装卸费用． 17．（21-22七年级上·全国·课后作业）计算．联系这类具体的数的乘法，你认为一个非0有理数一定小于它的2倍吗？为什么？ 【答案】 ， ， ， ；不一定，见解析． 【分析】先计算，后观察，发现运算结果中﹣1的2倍与命题矛盾，故不一定． 【详解】 ， ， ， 一个非0有理数不一定小于它的2倍．例如，的2倍是，而． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，以及学生根据计算结果的规律判断命题是否正确的能力，正确掌握有理数的乘法运算，根据结果对命题进行正确理解判断是解决本题的关键． 18．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）某自行车厂本周计划每天生产100辆自行车，由于工人实行轮休，每天上班人数不一定相等，实际每天产量与计划产量对比如下表：（超出的辆数为正数，不足的辆数为负数） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)本周总产量与计划产量相比，增加（或减少）了多少辆？ (2)日平均产量与计划产量相比，增加（或减少）了多少辆？ 【答案】(1)减少7辆 (2)减少1辆 【分析】本题主要考查正负数的实际意义，有理数的加减运算的运用，理解正负数的意义，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据表格信息计算出本周的总产量与计划产量比较即可求解； （2）计算出日平均产量即可求解． 【详解】（1）解：本周计划每天生产100辆自行车， ∴本周计划产量为（辆）， 本周实际产量为：（辆）， ∴减少7辆； （2）解：， ∴减少1辆． 19．（23-24七年级下·河南濮阳·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘法运算，再计算加减运算即可； （2）先把除法化为乘法运算，再结合分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（24-25六年级下·上海普陀·阶段练习）某商店以每件300元的价格购进100件羽绒服，再以每件盈利的价格进行销售．当卖掉60件后，天气逐渐回暖，出现了滞销．此时商店为了尽快卖掉剩余的羽绒服，决定打六折销售，直至全部售完． (1)求打折后每件羽绒服的售价； (2)当全部售完后，这批羽绒服的盈利率是多少？ 【答案】(1)元 (2) 【分析】本题主要考查了打折问题和盈利率问题，解题的关键是准确掌握打折公式和盈利率公式． （1）根据打折公式即可求得答案； （2）根据盈利率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：（元） （元） 所以，打折后每件羽绒服的售价为252元． （2）解： 所以，当全部售完后，这批羽绒服的盈利率是． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲有理数的乘法与除法（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 两个有理数的乘法运算 典型例题二 多个有理数的乘法运算 典型例题三 有理数乘法的实际应用 典型例题四 倒数 典型例题五 有理数乘法运算律 典型例题六 有理数的除法运算 典型例题七 有理数除法的应用 典型例题八 有理数乘除混合运算 典型例题九 有理数四则混合运算 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 知识点一：有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 【即时训练】 1．（2024·陕西宝鸡·二模）计算：（    ） A． B．6 C．4 D． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）计算： ． 知识点二：有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）用一句口诀写出两道乘法算式． （1）二九十八： ， ； （2）七八五十六： ， ． 【点睛】本题考查乘法交换律．熟练掌握乘法交换律是解题的关键． 知识点三：确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 【即时训练】 1．（2025·山东济南·一模）若两个有理数的乘积是负数，则这两个数（ ） A．都是正数 B．都是负数 C．同号 D．异号 2．（2025·江苏苏州·期末）已知有理数x、y满足xy＞0，则x与y的符号______（填“相同”或“相反”） 知识点四：有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【即时训练】 1．（21-22九年级下·福建福州·阶段练习）（　    ） A． B． C． D． 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟记有理数的除法法则是解题的关键． 2．（2025·安徽蚌埠·二模）计算： ． 【典型例题一 两个有理数的乘法运算】 1．（2025·陕西榆林·一模）计算：（   ） A． B． C．5 D．6 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算和猜想∶ (1) (2) 1．（24-25九年级下·陕西汉中·阶段练习）（   ） A．1 B． C．6 D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）计算应想的乘法口诀是（   ） A．三八二十四 B．三八二十 C．四六二十四 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末） ． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）计算： (1) (2) 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 1．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）将“a、b、c三个数中至少有一个数是零”这句话用等式表示是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）计算： ． 4．（21-22七年级上·全国·课后作业）如果两个数的乘积为负数，你能说出这两个数的符号分别是什么吗？如果两个数的乘积为正数呢？你能推广到多个数相乘的情形吗？ 【典型例题三 有理数乘法的实际应用】 1．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）人体血液的质量占人体体重的与之间，已知小亮的体重为35kg，则他体内的血液质量可能为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东肇庆·开学考试）小猴子真真开垦了一块近似于三角形的地种香蕉，如果每平方米收3千克香蕉，这块儿地大约能收多少千克香蕉？    1．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）学校中午配餐提供4种主食，2种菜色，如果只选择一种主食和一种菜色搭配，则不同搭配方法有（　　）种． A．10 B．8 C．6 D．5 2．（23-24七年级上·广东惠州·开学考试）某小区停车场对小汽车的收费标准是这样的：半时内（含半时）免费；半时以上，每过1时收费5元，不足1时按1时算．一辆汽车付停车费是15元，那么它停车的时间段可能是（    ）． A．至 B．至 C．至 3．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小龙家住在6楼，他从6楼乘坐电梯到地下1层的车库，假设每层的楼高为3米，则电梯一共下降的高度为 米． 故答案为：18． 4．（23-24七年级上·山西太原·开学考试）每年的6月5日是“世界环境日”，中国的主题是“建设人与自然和谐共生的现代化”．希望小学组织六年级同学开展收集废弃的塑料瓶活动，男生一共收集了180个，女生收集的个数是男生的2.5倍，女生一共收集了多少个？ 【典型例题四 倒数】 1．（2025·四川雅安·二模）同学们，在百日誓师大会上我们喊出了“2025，中考必胜”的口号，希望我们在接下来的时间里继续为“中考成功”努力．那么2025的倒数是（    ） A．2025 B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）在下列所给数轴上用A、B、C、D、E分别表示，，0，，4，并回答下列问题： (1)A、E两点的距离为______； (2)的倒数为______； (3)这5个数中绝对值最小的数是______； (4)这5个数中最小的负有理数是______． 1．（2025·广东深圳·模拟预测）某超市促销活动中，A商品以原价3元的倒数（   ）元出售． A．3 B． C． D． 2．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）的绝对值的相反数的倒数等于（    ） A． B． C． D．12 3．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习） ． 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）（倒数法）比较和的大小． 【典型例题五 有理数乘法运算律】 1．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各式：； 1．（24-25七年级上·福建泉州·期中）严谨的数学推理能力是数学的基本发展目标，是数学习得的基本表现．例如爱思考的小安证明“同分母分数的加法法则”，推理过程如下： 设两个同分母分数为，，则 （____**___） ． 以上推理过程中，**处应填（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法法则 2．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）运用了（    ）律进行计算． A．乘法交换 B．乘法结合 C．乘法分配 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·开学考试），应用了( )律． 4．（23-24六年级上·上海黄浦·期中）计算： 【典型例题六 有理数的除法运算】 1．（24-25六年级上·黑龙江大庆·期中）巴黎奥运会上，中国跳水队首次包揽了跳水项目所有金牌，总共取得8金2银1铜的成绩，无愧于跳水“梦之队”这一称号．在跳水比赛中，“向前屈体”这个动作指向前翻转（    ）圈． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）把下列有理数写成整数之商： (1)； (2)． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西运城·三模）计算：（    ） A． B．3 C． D．12 3．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 4．（20-21六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）根据，直接写出下面各题的得数． (1)43×0.79= (2)0.43×7.9= (3)33.97÷7.9= 【典型例题七 有理数除法的应用】 1．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）买一台价格是3400元的电视机，需要付（   ）张面值100元的人民币． A．340 B．34 C．4 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）今年8月15日，武汉市汉阳区古城历史风貌区重点项目汉阳树公园北园建成开园．汉阳树公园被有年历史的显正街分为南北两个园区，树龄年的汉阳树座落在北园．北园面积约，是公园总占地面积的．公园总占地面积是多少万平方米？（得数保留一位小数．） 1．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）如果，那么下面算式不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南平顶山·开学考试）新年联欢会上，小红按朵红花，朵黄花，朵绿花的顺序把彩花串成花带布置会场，第朵是（ ） A．红花 B．黄花 C．绿花 3．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）把一桶牛奶平均分成若干杯，分的杯数和每杯的牛奶量如下表所示，若把这桶牛奶平均分成10杯，则每杯的牛奶是 ． 分的杯数 6 5 4 3 … 每杯的牛奶量/ 100 120 150 200 … 4．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）张叔叔周末沿着舜耕山环山路骑行26千米，用了2小时，随后原路返回，往返的平均速度为12千米/时．返回时用了多长时间？ 【典型例题八 有理数乘除混合运算】 1．（21-22七年级上·四川德阳·阶段练习）计算﹣4÷×的值为（    ） A．﹣4 B．﹣ C． D．4 2．（22-23六年级下·上海宝山·期中） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（   ） A． B．32 C． D．64 2．（24-25七年级上·广东中山·期中）计算的结果是（   ） A．6 B．-6 C．12 D．-12 3．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）计算： ． 4．（22-23七年级上·湖南常德·期中）计算：． 【典型例题九 有理数四则混合运算】 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载的圆锥体积计算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一”也就是用底面周长的平方乘高，再除以，这种计算方法，圆周率取近似值3．一个圆锥形沙堆的底面周长是，高是，用这种方法算出这个沙堆的体积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）计算：． 1．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 3．（24-25七年级上·吉林·单元测试）下面运算运用了乘法分配律得到，则？处的数为 ． 4．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）口算题． ________    _________   _____________            _________ ____________ _____________    _____________      ___________ ____________  ______________ 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2049年为 A．农历乙巳年 B．农历己巳年 C．农历己酉年 D．农历乙亥年 2．（2024七年级上·四川成都·专题练习）甲、乙、丙三名搬运工同时分别在三个工作量完全相同的仓库工作．搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个较大仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同，三人搬运效率不变；甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了12小时后同时搬运完毕，问：丙在A仓库做了多长时间？ 1．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）王叔叔的月工资是元，扣除元个税起征点后的部分按缴税，他应缴税（   ）元． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）某服装店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是（  ） A．盈利元3元 B．亏损3元 C．亏损10元 D．不盈不亏 3．（24-25六年级下·上海宝山·期末）若某人工作3天可以得到1290元，按照这样的工资水平，他工作一个月（按22天计算）可以获得 元报酬． 4．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某校组织六年级学生在暑假去游乐场游玩，采取线上问卷的方式征求家长和学生的意见自愿报名．最后一共有名学生报名参加．每张门票原价是元，暑假期间有优惠促销，请你算一算，哪种购票方案最划算？ 方案一：人以上可购团体票，每张按九折出售． 方案二：每买张送张，不满张不赠送． 方案三：每满元返还元． 【典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，数轴上，两点表示的实数分别为，，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据数在数轴上的对应点的位置，写出描述关系的三条正确结论． 1．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·北京丰台·阶段练习）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·三模）已知实数、在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”“”或“”） 4．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值． (2)化简：． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）李芳在计算160乘一个数时，把160错看成了16，要使原来的积不变，另一个因数应该（     ） A．减144 B．加144 C．除以10 D．乘10 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）与的积是3的数是（　　） A． B． C．1 D．2 3．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）杜师傅攀登一座山峰，他每登高，气温的变化量为，当杜师傅攀登后，那么气温将会（   ） A．下降 B．上升 C．下降 D．上升 4．（21-22七年级上·广东珠海·开学考试）小时（    ）分钟． A． B． C． 5．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲数是，乙数是甲数倒数的，乙数是（   ）． A． B． C．1 D． 6．（22-23七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）与计算结果相同的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·山西忻州·一模）计算的值为（   ） A． B． C． D．5 8．（21-22七年级上·四川南充·期末）小明家的汽车在阳光下曝晒后车内温度达到了60℃，打开车门后经过降低到室外同温32℃，再启动空调关车门，若每分钟降低4℃，降到设定的20℃共用时间是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D． 10．（24-25九年级下·北京丰台·阶段练习）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）只列式：乘以与两数的和 ． 12．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）宿羊山华联超市改造升级后于2024年元旦开业，所有商品均打折出售，某种方便面5袋装原价是26元/袋，现在打8折销售，现在的售价是 元/袋． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）一般地，如果 ，那么a和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的 ． 14．（23-24七年级上·四川眉山·期中）饮料厂从一批产品中抽查了40瓶饮料，其中8瓶不合格，合格率是 ． 15．（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）同学们做操，每行站20人，正好站18行，如果每行站24人，可以站 行． 16．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）某粮食仓库从11月11日到11月15日五天内，进出仓库的粮食数量如下（进为“”，出为“”，单位：吨） 日期 11日 12日 13日 14日 15日 数量 ； ； ； ； ； (1)五天后，仓库的粮食是增加了还是减少了多少吨？ (2)如果进出粮食仓库的粮食每吨都需要付装卸费用8元，那么这五天要付多少元的装卸费用？ 17． （21-22七年级上·全国·课后作业）计算．联系这类具体的数的乘法，你认为一个非0有理数一定小于它的2倍吗？为什么？ 18．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）某自行车厂本周计划每天生产100辆自行车，由于工人实行轮休，每天上班人数不一定相等，实际每天产量与计划产量对比如下表：（超出的辆数为正数，不足的辆数为负数） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)本周总产量与计划产量相比，增加（或减少）了多少辆？ (2)日平均产量与计划产量相比，增加（或减少）了多少辆？ 19．（23-24七年级下·河南濮阳·开学考试）计算： (1) (2) 20．（24-25六年级下·上海普陀·阶段练习）某商店以每件300元的价格购进100件羽绒服，再以每件盈利的价格进行销售．当卖掉60件后，天气逐渐回暖，出现了滞销．此时商店为了尽快卖掉剩余的羽绒服，决定打六折销售，直至全部售完． (1)求打折后每件羽绒服的售价； (2)当全部售完后，这批羽绒服的盈利率是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$