7.5 《三元一次方程组》——解三元一次方程组 课件 2022-2023学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

——三元一次方程组的解法 7.5三元一次方程组 知识回顾 1、什么叫二元一次方程组? 有代入消元法和加减消元法. 2、解二元一次方程组的方法有哪些? 方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场? 问题1：问题中有几个未知数?你可以列二元一次方程组来解决这个问题吗? 3个未知数 探究新知 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场? 探究新知 3个未知数 问题2：如果把这支球队胜、平、负的场数分别用不同的未知数表示，你能列出什么样的方程组呢？ 相等关系： 胜的场数+平的场数+负的场数=22场 胜场得分+平场得分=47分 胜的场数=负的场数×4+2 (1)胜的场数+平的场数+负的场数=22场 (2)胜场得分+平场得分=47分 (3)胜的场数=负的场数×4+2 用方程表示等量关系. x + y + z = 22 ① 3x+y=47 ② x=4z+2 ③ 探究新知 问题3 这个方程组和二元一次方程组有什么区别和联系？你能给它下个定义吗? 二元一次方程组 含两个未知数 含未知数的式子都是整式 含未知数的项的次数都是 1 一共有两个方程 三元一次方程组 含三个未知数 含未知数的式子都是整式 含未知数的项的次数都是 1 一共有三个方程 归纳总结 这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是１，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． 方程组中一共含有三个未知数. 含有未知数的项的次数都是1. 含有三个整式方程. (不一定每个方程都含有三个未知数) 条件 问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛.积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场? 探索新知 思考 （1）题目中有几个未知量? （2）题目中有哪些等量关系? （3）如何用方程表示这些等量关系? 设这支球队胜、平、负的场数分别为x，y，z. x + y + z = 22 3x + y = 47 x = 4z + 2 ①胜的场数+平的场数+负的场数=22； ②胜场积分+平场积分+负场积分=47； ③胜的场数=负的场数×4+2. 等量关系: x + y + z = 22 3x + y = 47 x = 4z + 2 观察列出的三个方程，你有什么发现? 二元一次方程 未知数的项的次数都是 1 未知数的项的次数都是 1 含两个未知数 含三个未知数 三元一次方程 都是整式 都是整式 这个问题的解必须同时满足上面的三个条件，因此，把这三个方程合在一起，写成 x + y + z = 22， 3x + y = 47， x = 4z + 2 . 一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 三元一次方程组必须满足的三个条件： 方程组中一共含有三个未知数. 含有未知数的项的次数都是1. 含有三个整式方程. (不一定每个方程都含有三个未知数) x + y + z = 22， 3x + y = 47， x = 4z + 2 . 下面方程组为三元一次方程组的是（ ） C 怎么解三元一次方程组呢? x + y + z = 22， 3x + y = 47， x = 4z + 2 . ① ② ③ 类比二元一次方程组，能不能像以前一样“消元”，把“三元”化为“二元”呢? 把③分别代入①②，得到关于y、z的二元一次方程组. y+5z=20， y+12z=41. 解这个方程组，得 y=5， z=3， 把z=3代入③，得x=14. 因此，这个三元一次方程组的解为 还有其他解法吗? 解: x + y + z = 22， 3x + y = 47， x = 4z + 2 . ① ② ③ ②-①，得 2x-z = 25. ④ ③与④组成方程组 2x-z=25， x=4z+2. 解这个方程组，得 x=14， z=3， 把x=14代入②，得 y=5. 因此，这个三元一次方程组的解为 y=5， z=3. x=14， 解: 解三元一次方程组的基本思路是什么？ 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元的方法 代入消元法 加减消元法 例1 解三元一次方程组 3x + 4z = 7， 2x + 3y + z = 9， 5x - 9y + 7z= 8. ① ② ③ 解:②×3+③，得 11x + 10z = 35. ④ ①与④组成方程组 3x+4y=7， 11x+10z=35. 解这个方程组，得 x=5， z=-2. 把x=5，z=-2代入②，得 2×5+3y-2=9， 因此，这个三元一次方程组的解为 z=-2. x=5， 还有其他解法吗? + 3y - 9y 3x + 4z = 7， 2x + 3y + z = 9， 5x - 9y + 7z= 8. ① ② ③ 解：由①，得 ④ 把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组 整理，得 9y-5z=13 z-27y=-11 解这个方程组，得 z=-2 把z= -2代入④，得x=5 因此，这个三元一次方程组的解为 z=-2. x=5， 加减法比代入 法更简单. 例1 解三元一次方程组 3x+4z=7 2x+3y+z=9 5x-9y+7z=8 ① ② ③ +3y -9y 解：②×3+③，得11x+10z=35.④ ①与④组成方程组 3x+4z=7 11x+10z=35 解这个方程组，得 x=5 z= -2 把x=5，z= -2代入②，得2×5+3y-2=9，所以 因此，这个三元一次方程组的解为 z= -2 x=5 还有其他解法吗？ 解：由①，得 .④ 把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组 9y-5z=13 z-27y=-11 整理，得 z= -2 z= -2代入④，得x=5 因此，这个三元一次方程组的解为 z= -2 x=5 解这个方程组，得 加减法比代入法更简单. 1.下列是三元一次方程组的是 （ ） 2x=5 x2+y=7 x+y+z=6 A. x-2y+z=9 x+y+z=6 B. x+y-z=7 xyz=1 x-3y=4 C. x+y=2 y+z=1 x+z=9 D. D 判断关键：①整式方程；②共含三个未知数；③含有未知数的项的系数都是1. 对应练习 2.解方程组 2x-y+3z=3 3x+y-2z=-1 x+y+z=5 （1）若先消去x，得到关于y、z的方程组是_______________； （2）若先消去y，得到关于x、z的方程组是_______________； （3）若先消去z，得到关于x、y的方程组是____________. -3y+z=-7 2y+5z=16 5x+z=2 3x+4z=8 x+4y=12 5x+3y=9 （答案均不唯一） 3.解下列三元一次方程组： x-2y=-9， y-z=3， 2z+x=47； x=2 z=1 y=3 （1） 3x-y+z=4， 2x+3y-z=12， x+y+z=6. （2） x=22 例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值. 将 a，b，c 看作未知数 将 x、y 代入原式 a-b+c=0 4a+2b+c=3 25a+5b+c=60 ① ② ③ a-b+c=0 4a+2b+c=3 25a+5b+c=60 ① ② ③ 解：根据题意，得三元一次方程组 ②-①，得a+b=1，④ ③-①，得4a+b=10，⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 a+b=1 4a+b=10 ④ ⑤ 解这个方程组，得 a=3 b=-2 ，把 代入①，得c=-5，因此 a=3 b=-2 a=3 b=-2 c=-5 即a，b，c的值分别为3，-2，-5. 因此 课堂小结 三元一次方程组 概念 含未知数的项的次数都是 1 方程组中一共含有 3 个未知数 解法 化“三元”为“二元” 含有三个整式方程 消元 代入消元法 加减消元法 二元一次方程组 $$