【第十三章 三角形 03讲 三角形的内角与外角】【三大知识点+七大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十三章 三角形 03讲 三角形的内角与外角 题型归纳 【题型1. 三角形内角和定理的证明】…………………………………………………… 3 【题型2. 与平行线有关的三角形内角和问题】………………………………………… 5 【题型3. 与角平分线有关的三角形内角和问题】……………………………………… 8 【题型4. 三角形中的折叠问题】………………………………………………………… 11 【题型5. 三角形内角和定理的应用】…………………………………………………… 14 【题型6. 直角三角形的两个锐角互余】………………………………………………… 19 【题型7. 三角形外角的定义及性质】…………………………………………………… 22 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 29 知识清单 知识点1 三角形的内角 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明： 法一：拼减法 法二：利用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图13.3-2，过点A作直线l，使l∥BC. ∵ l∥BC ∴ ∠2=∠4（两直线平行，内错角相等） 同理∠3=∠5 ∵ ∠1，∠4，∠5组成平角 ∴ ∠1+∠4+∠5=180°（平角定义） ∴ ∠1+∠2+∠3=180°（等量代换） 知识点2 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点3 三角形的外角 1.定义：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°； ∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B； ∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型专练 题型1. 三角形内角和定理的证明 【例1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 【分析】本题考查了平行线的作法，平行线的性质，及平角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）平移过点A，画即可； （2）利用平行线的性质，推出，，再利用平角的性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）证明：， ，， ， ， 即． 【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可． 【详解】解：已知：如图，， 求证：； 证明：过点作，如图， ∵， ， ， ， 三角形内角和． 【变式2】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和的证明方法，先由内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，同旁内角互补得到，据此可证明． 【详解】证明；由操作可知， 所以（依据：内错角相等，两直线平行）． 所以，（依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即． 题型2. 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】（20-21七年级下·广东清远·期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠AED＝80°，则∠CDE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【分析】利用平行线的性质求出∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠BCD，再根据平行线的性质求出∠CDE即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠AED=∠ACB=80°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACB=40°， ∵DE∥CB， ∴∠CDE=∠BCD=40°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟握平行线的性质解决问题． 【例2】（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（2021·广东·模拟预测）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BCD=35°，则∠BAC的度数等于（    ） A．35° B．45° C．55° D．60° 【分析】依题意，可知，又，，可得，又由三角形内角和为，即可求解； 【详解】由题知，∵ ，∴； 又，，∴ ； 由三角形的内角和为，即：， ∴ ； 故选：C 【点睛】本题主要考查平行线、三角形的性质，关键在利用三角形内角和为. 【变式2】（2021七年级·全国·专题练习）如图，AB∥CD，点E在两平行线上方，连接AE、CE，此时∠A、∠C、∠E有什么样的数量关系？ 【分析】方法1：过点E 作EF∥AB，根据AB∥CD，得到EF∥AB∥CD，从而得到∠A＝∠AEF， ∠C＝∠FEC即可求解； 方法2：根据AB∥CD，∠C＝∠1，再根据∠A＋∠E＋∠2＝180°，∠1＋∠2＝180°即可求解. 【详解】解：【方法1】过点E 作EF∥AB． ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥AB∥CD ∴∠A＝∠AEF ∴∠C＝∠FEC（两直线平行，内错角相等） ∵∠FEC＝∠AEF＋∠AEC ∴∠C＝ ∠A＋∠AEC 【方法2】∵AB∥CD ∴∠C＝∠1 ∵∠A＋∠E＋∠2＝180°，∠1＋∠2＝180° ∴∠1＝∠A＋∠E ∴∠C＝∠A＋∠E 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 题型3. 与角平分线有关的三角形内角和问题 【例1】（2025·江苏盐城·三模）如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 【变式1】（2025·河南信阳·三模）如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的计算，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵在中，，， ， ∵平分， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：____①____（已知）， ． 同理可得____②____． 在中，三角形三个内角和等于， ____③____， ____④____（等式的性质） ____⑤____． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义求出的值，后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：平分，（已知）， ． 同理可得． 在中，三角形三个内角和等于， ， （等式的性质） ． 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，为边上的高，平分交于点，求的度数． 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是关键．先求出，根据角平分线得到，由即可得到的度数． 【详解】解：∵为边上的高，， ∴， ∵平分交于点 ∴， ∵， ∴． 题型4. 三角形中的折叠问题 【例1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，由三角形内角和定理可求出的度数，进而由折叠的性质得到的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴∠2=180°－∠C’EF－∠CEF=20° 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，对顶角，熟练掌握折叠的性质解题的关键．由折叠的性质得，，，根据三角形内角和，，求得，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， 根据对顶角相等，， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：68． 【变式1】（20-21七年级下·四川乐山·期末）如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，若∠1+∠2＝90°，则∠A的度数是（　　）        A．45° B．40° C．35° D．30° 【分析】根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3+∠4，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处， ∴∠3+∠4=（180°-∠1）+（180°-∠2）=180°-（∠1+∠2）， ∵∠1+∠2=90°， ∴∠3+∠4=180°-×90°=180°-45°=135°， 在△AEF中，∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°． 故选：A．    【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，熟记各性质并整体思想的利用是解题的关键． 【变式2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型5. 三角形内角和定理的应用 【例1】（上海市普陀区2024-2025学年七年级下学期末数学试卷）已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的定义，求出每一个内角的度数是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出每一个内角度数即可判断． 【详解】解：选项A：，三个角相等，每个角为，均为锐角，无直角，不符合条件，排除． 选项B：，总份数为，对应角度分别为：，，存在90°角，且另两角之和为，符合条件． 选项C：，总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 选项D：总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 综上，正确答案为B． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·广西河池·期中）如图，，，， (1)求证． (2)若，，求的度数． 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键． （1）先证明，可得，再证明，可得，可得，结合垂直的定义可得答案． （2）根据题意得出，再由三角形内角和定理及邻补角求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． （2） 在三角形中， 由邻补角定义得：． 【变式1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 设，则，根据列方程求出，，然后根据三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． ∴为直角三角形． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查三角板中特殊角度，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键； 根据三角板中特殊角度，利用三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：根据三角板的特殊角度，可知：， ∴． 故选D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，将沿方向平移得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数即可； （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度，利用即可解决问题． 【详解】（1）解：由平移的定义知：， 在中，，， ； （2）解：由平移的定义知：， ， ． 【变式4】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，，为的平分线．若，，求的度数． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质．利用三角形内角和定理求得，利用平行线的性质求得，利用邻补角的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴． 题型6. 直角三角形的两个锐角互余 【例1】（24-25八年级下·广西桂林·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数． 【详解】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为， ∴． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； ∴相等的锐角有：． 【变式1】（2025·湖北荆州·三模）在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查直角三角形的性质（两锐角互余）以及角平分线的定义，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 平分， ． 故选：B． 【变式2】（2025·福建宁德·二模）已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【分析】本题主要考查了等角的作图，涉及了直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质与判定是解题的关键． 根据直角三角形的性质与判定推出，作图即可． 【详解】解：∵， ∴（直角三角形的两个锐角互余）， 若， ∴（等量代换）， ∴，（两个锐角互余的三角形是直角三角形）， ∴， 故选：D． 【变式3】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    【分析】根据三角形内角和和角平分线求出，根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 本题考查了三角形的角平分线，主要利用了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴． 【变式4】（21-22八年级上·云南昭通·期中）如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝60°，∠BED＝70°，求∠BAC的度数． 【分析】先根据AD是△ABC的边BC上的高得出，再由直角三角形性质得出,根据BE平分∠ABC得出，进而得出,再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵是的高．即， ∴， ∵在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线定理，熟知三角形内角和是180°是解题关键． 题型7. 三角形外角的定义及性质 【例1】（2025·河北邯郸·三模）如图，从处观察，两处的视角，从处观察处的仰角为，点，在同一水平线上，则从处观察处的仰角为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形外角性质，延长至点，由三角形外角的性质得，据此解答即可，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】如图，延长至点， 是的外角， ， ∵，， ， 即从处观察处的仰角为， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知在中． (1)若，求的最大内角的度数； (2)若于点，是的平分线，，，求的度数． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意可设，，，根据三角形内角和定理列出方程，解出的值，即可求解； （2）根据垂直的性质得到，利用直角三角形的性质得出，利用角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1） 解：，设，，， ， ，解得：， ， 的最大内角的度数； （2） 解：， ，， ， 是的平分线， ， ， ． 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，平分交于点D． ，，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：在中， （ ）,        又∵，（已知）， ． 平分（已知）， （角平分线定义）．               是的外角（已知）， + （ ）, ． 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质．根据三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，由三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：在中， ∵（ 三角形的内角和等于）， 又∵（已知）， ∴  ．                            ∵平分（已知）， ∴（角平分线定义）．                      又∵是的外角（已知）， ∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴． 【变式4】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若，求的度数； （2）若，则 ． 【猜想证明】 （3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） 【拓展提高】 （4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由． 【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和是以及三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）由三角形内角和定理，角平分线的定义得到； （4）延长交于点A，将问题转化为（3）即可． 【详解】解：（1）∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， （3）不变化，理由如下： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 即 （4），理由如下： 如图，延长交于点A， 则 ∴， 由（3）可得， ∴． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）一副三角板如图摆放，两块三角板的直角顶点重合，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键． 由两直线平行，内错角相等得到，再由三角形的外角性质得到，，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．首先求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图，、、、标记如下： 由题意知：，， ， ， 故选：C 3．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知中，，直线a，b分别经过点A，C，且，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．三角形的一个外角等于两个内角的和 B．三角形的三条高交于一点 C．三角形有一个角是锐角，则这个三角形是锐角三角形 D．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点 【分析】本题考查判断命题的真假，根据三角形外角的性质，三角形的高，三角形的分类，三角形角平分线逐项判断即可． 【详解】解：A． 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故本选项的命题是假命题； B． 钝角三角形的三条高不交于一点，是三条高所在的直线交于一点，故本选项的命题是假命题； C． 任意一个三角形至少有一个角是锐角，故本选项的命题是假命题； D． 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，故本选项的命题是真命题． 故选：D 6．（24-25六年级下·山东济宁·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意求出，继而得到，推出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知中．，，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：中．，， ∴， 故选：D． 8．（2025·河南安阳·模拟预测）某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意可知：，，，由平行线的性质得出，进而可求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 9．（2025·广东湛江·二模）如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，求出，再根据平行线的性质得到结论即可． 【详解】解：如图，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ． 故选：C． 10．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，和的平分线交于点，连接的外角的平分线与的延长线交于点交于点．下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确的结论有（　　） A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据和的平分线交于点，得出平分，求出，证明，根据平行线的判定得出，说明①正确；根据角平分线和三角形外角的性质求出，根据，得出，判定②错误；先求出，，得出，判定③正确；根据，，即可判定④正确． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴ ， ， ∵ ， ∴，故③正确； ∵， ， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质． 二、填空题 11．（21-22七年级下·四川成都·期末）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度． 【分析】本题考查了三角形的内角和，以及折叠的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，再根据折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：， ， 三角形纸片折叠，使得点、都与点A重合， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海崇明·期末）将等腰直角三角板按如图的方式摆放，如果，那么 ． 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·广东深圳·期中）近年来，深圳实施“山海连城”计划，打造了一条横贯深圳东西海岸，连通滨海海岸空间的高品质骑行道，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面l平行，，当为 度时，与平行． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质的应用-求角度． 首先，我们需要根据题目给出的条件，利用平行线的性质定理来推导出相关的角度关系，然后，结合平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线平行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知的三个外角度数之比为，那么三个外角中最大角的度数是 ． 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角和为360度，结合比例关系，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 15．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向，若，则点C在点E的南偏西 方向． 【分析】本题考查了方位角的概念，平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握平行线的性质． 先利用平行线的性质证得，再利用平行线的性质证得，从而可得，求得，再利用求得，从而可得，再求得即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ， ∴点C在点E的南偏西方向． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，，垂足为E，，，则 ． 【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：22． 17．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）将一副三角板按如图的方式摆放，已知，则的度数为 【分析】本题考查了三角板的认识，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 由平行线的性质可得的度数，从而可得，根据三角形外角的性质，计算即可． 【详解】解：根据三角板各角的度数可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，两条相交的直线，分别是直线上的两个动点，作的平分线，直线交的平分线于点，则 ． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意，分类讨论，结合图形分析是关键． 根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴设， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 如图所示， ∵， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，， ∴在中，， ∵是角平分线 ∴， 在中，； 如图所示， ∵是的外角， ∴， ∵是角平分线 ∴ 在中，； 综上所述，的度数为或或或， 故答案为：或或或 ． 19．（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图为一盏可调节台灯及其示意图，固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变，现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ． 【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于，延长交于，根据平行线的性质推出，再推出，进而可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于，延长交于，如图： ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有 ． 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义及等角的余角相等．根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断③正确；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据等角的余角相等即可判断④正确；根据已知条件无法判断①，所以错误，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴③正确； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵的度数不确定， ∴根据已知条件无法证明平分， ∴①不正确； ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴ ∴， 即， ∴④正确； 综上，正确的结论为②③④， 故答案为：②③④． 三、解答题 21．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，于点C，与交于点E，若，求的大小． 【分析】本题考查了三角形内角和性质，平行线的性质，垂线的定义，先由，，得，根据两直线平行，同位角相等得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 22．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 【分析】本题主要考查了垂直的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件和直角三角形的性质得出的值，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴＝． 23．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，已知，． (1)求证： 请完成下列证明过程，并在括号内填上推理的根据； 证明：∵， ∴ （ ）． ∵， ∴ （ ）． ∴．（ ）． (2)若，求的度数． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质并结合已知可得出，然后根据平行线的判定即可得证； （2）结合已知可得出，根据三角形的内角和定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴（等量代换）． ∴．（内错角相等，两直线平行） （2）解：∵，， ∴， 又， ∴，得． 24．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，得到，再证明，得到，则； （2）由三角形内角和定理得到，则，由平行线的性质得到，则，再由平角的定义可得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）解；， ∴， ， ， ， ， ， ． 25．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，是的外角，求的度数． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理得到，据此可得答案． 【详解】解：∵∠1、∠2、∠3是的外角， ∴， ∵， ∴． 26．（24-25七年级下·山东济宁·期中）电脑支架是我们工作学习的帮手，也隐藏着数学问题．请同学们观察分析下面的图形，解决以下问题： (1)图1-1是一台笔记本电脑放在电脑支架上的侧视图，图1-2是图1-1的简易示图，若笔记本电脑的屏幕平行于支架的底座，则__________（填>，<或=），依据是__________； (2)若将图1-1中的笔记本电脑的屏幕翻开至垂直于支架底座的位置，如图2-2和图2-1（图2-2和图2-1的简易示图），此时与存在怎样的数量关系?试说明理由； (3)若图2-2中的撑杆，垂足为，则与存在怎样的数量关系？试说明理由． 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，三角形的外角性质． （1）根据“两直线平行，内错角相等”即可解答； （2）作，求得，再根据“两直线平行，内错角相等”即可解答； （3）根据三角形的外角性质求得，结合（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：若笔记本电脑的屏幕平行于支架的底座，则，依据是：两直线平行，内错角相等； 故答案为：；两直线平行，内错角相等； （2）解：，理由如下， 作，如图 ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ∴； （3）解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴． 27．（24-25七年级下·山东济南·期中）已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． (1)试说明； (2)若，试着求出的度数； (3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 【分析】（1），为边上的高，得 ，，即得； （2）根据， ，平分，可得； （3）根据. . ，，即得． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴. ∵， ∴. ∵平分， ∴， ∴. ∵， ∴， 即． 故答案为：=． 【点睛】本题考查了三角形内角和．熟练掌握直角三角形两锐角性质，角平分线定义，余角性质，三角形外角性质，是解题的关键． 28．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质． （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可；根据及三角形内角和定理可求出的度数，再由即可求出的度数； （2）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质用、表示出的度数，再根据直角三角形的性质用表示出的度数，，化简即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形内角和定理，由题意可得，进而根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与平行， ∴． 30．（24-25七年级下·山东济宁·期中）【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键． （1）①由平行线的性质和平角的定义进行解答即可；②由平行线的性质和平角的定义进行解答即可； （2）过点C作直线，则，根据平角的定义即可证明结论； （3）延长分别交于点H，Q，根据三角形外角的性质求出过点G作，则，得，从而可求出． 【详解】（1）解：①解：∵，，， ∴， ∴ ②∵， ∴， ∴ 故答案为： （2）证明：如图，过点C作直线， ∴， ∴ （3）解：延长分别交于点H，Q，如图， ∵，， ∴ 过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形 03讲 三角形的内角与外角 题型归纳 【题型1. 三角形内角和定理的证明】…………………………………………………… 3 【题型2. 与平行线有关的三角形内角和问题】………………………………………… 4 【题型3. 与角平分线有关的三角形内角和问题】……………………………………… 5 【题型4. 三角形中的折叠问题】………………………………………………………… 7 【题型5. 三角形内角和定理的应用】…………………………………………………… 8 【题型6. 直角三角形的两个锐角互余】………………………………………………… 10 【题型7. 三角形外角的定义及性质】…………………………………………………… 11 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 14 知识清单 知识点1 三角形的内角 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明： 法一：拼减法 法二：利用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图13.3-2，过点A作直线l，使l∥BC. ∵ l∥BC ∴ ∠2=∠4（两直线平行，内错角相等） 同理∠3=∠5 ∵ ∠1，∠4，∠5组成平角 ∴ ∠1+∠4+∠5=180°（平角定义） ∴ ∠1+∠2+∠3=180°（等量代换） 知识点2 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点3 三角形的外角 1.定义：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°； ∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B； ∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型专练 题型1. 三角形内角和定理的证明 【例1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【变式2】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 题型2. 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】（20-21七年级下·广东清远·期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠AED＝80°，则∠CDE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【例2】（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【变式1】（2021·广东·模拟预测）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BCD=35°，则∠BAC的度数等于（    ） A．35° B．45° C．55° D．60° 【变式2】（2021七年级·全国·专题练习）如图，AB∥CD，点E在两平行线上方，连接AE、CE，此时∠A、∠C、∠E有什么样的数量关系？ 题型3. 与角平分线有关的三角形内角和问题 【例1】（2025·江苏盐城·三模）如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河南信阳·三模）如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：____①____（已知）， ． 同理可得____②____． 在中，三角形三个内角和等于， ____③____， ____④____（等式的性质） ____⑤____． 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，为边上的高，平分交于点，求的度数． 题型4. 三角形中的折叠问题 【例1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °． 【变式1】（20-21七年级下·四川乐山·期末）如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，若∠1+∠2＝90°，则∠A的度数是（　　）        A．45° B．40° C．35° D．30° 【变式2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为 ． 题型5. 三角形内角和定理的应用 【例1】（上海市普陀区2024-2025学年七年级下学期末数学试卷）已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广西河池·期中）如图，，，， (1)求证． (2)若，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，将沿方向平移得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【变式4】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，，为的平分线．若，，求的度数． 题型6. 直角三角形的两个锐角互余 【例1】（24-25八年级下·广西桂林·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 【变式1】（2025·湖北荆州·三模）在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·福建宁德·二模）已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【变式3】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    【变式4】（21-22八年级上·云南昭通·期中）如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝60°，∠BED＝70°，求∠BAC的度数． 题型7. 三角形外角的定义及性质 【例1】（2025·河北邯郸·三模）如图，从处观察，两处的视角，从处观察处的仰角为，点，在同一水平线上，则从处观察处的仰角为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知在中． (1)若，求的最大内角的度数； (2)若于点，是的平分线，，，求的度数． 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，平分交于点D． ，，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：在中， （ ）,        又∵，（已知）， ． 平分（已知）， （角平分线定义）．               是的外角（已知）， + （ ）, ． 【变式4】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若，求的度数； （2）若，则 ． 【猜想证明】 （3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） 【拓展提高】 （4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）一副三角板如图摆放，两块三角板的直角顶点重合，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知中，，直线a，b分别经过点A，C，且，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．三角形的一个外角等于两个内角的和 B．三角形的三条高交于一点 C．三角形有一个角是锐角，则这个三角形是锐角三角形 D．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点 6．（24-25六年级下·山东济宁·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知中．，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南安阳·模拟预测）某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·广东湛江·二模）如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，和的平分线交于点，连接的外角的平分线与的延长线交于点交于点．下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确的结论有（　　） A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 11．（21-22七年级下·四川成都·期末）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度． 12．（24-25七年级下·上海崇明·期末）将等腰直角三角板按如图的方式摆放，如果，那么 ． 13．（24-25七年级下·广东深圳·期中）近年来，深圳实施“山海连城”计划，打造了一条横贯深圳东西海岸，连通滨海海岸空间的高品质骑行道，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面l平行，，当为 度时，与平行． 14．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知的三个外角度数之比为，那么三个外角中最大角的度数是 ． 15．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向，若，则点C在点E的南偏西 方向． 16．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，，垂足为E，，，则 ． 17．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）将一副三角板按如图的方式摆放，已知，则的度数为 18．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，两条相交的直线，分别是直线上的两个动点，作的平分线，直线交的平分线于点，则 ． 19．（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图为一盏可调节台灯及其示意图，固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变，现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有 ． 三、解答题 21．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，于点C，与交于点E，若，求的大小． 22．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 23．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，已知，． (1)求证： 请完成下列证明过程，并在括号内填上推理的根据； 证明：∵， ∴ （ ）． ∵， ∴ （ ）． ∴．（ ）． (2)若，求的度数． 24．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 25．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，是的外角，求的度数． 26．（24-25七年级下·山东济宁·期中）电脑支架是我们工作学习的帮手，也隐藏着数学问题．请同学们观察分析下面的图形，解决以下问题： (1)图1-1是一台笔记本电脑放在电脑支架上的侧视图，图1-2是图1-1的简易示图，若笔记本电脑的屏幕平行于支架的底座，则__________（填>，<或=），依据是__________； (2)若将图1-1中的笔记本电脑的屏幕翻开至垂直于支架底座的位置，如图2-2和图2-1（图2-2和图2-1的简易示图），此时与存在怎样的数量关系?试说明理由； (3)若图2-2中的撑杆，垂足为，则与存在怎样的数量关系？试说明理由． 27．（24-25七年级下·山东济南·期中）已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． (1)试说明； (2)若，试着求出的度数； (3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 28．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 29．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数． 30．（24-25七年级下·山东济宁·期中）【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$