【第十三章 三角形 02讲 与三角形有关的线段】【四大知识点+九大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十三章 三角形 02讲 与三角形有关的线段 题型归纳 【题型1. 构成三角形的条件】…………………………………………………………… 3 【题型2. 确定第三边的取值范围】……………………………………………………… 6 【题型3. 三角形三边关系的应用】……………………………………………………… 7 【题型4. 三角形的稳定性及应用】……………………………………………………… 10 【题型5. 根据三角形中线求长度】……………………………………………………… 12 【题型6. 根据三角形中线求面积】……………………………………………………… 14 【题型7. 三角形的角平分线】…………………………………………………………… 17 【题型8. 画三角形的高】………………………………………………………………… 20 【题型9. 与三角形的高有关的计算】…………………………………………………… 23 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 28 知识清单 知识点1 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点2 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. , 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点3 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点4 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 题型专练 题型1. 构成三角形的条件 【例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下面每组中的三条线段，能围成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、最大边为9，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； B、最大边为7，，满足两边之和大于第三边，能构成三角形； C、最大边为9，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； D、最大边为10，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 故选：B 【例2】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）等腰三角形的周长为11，一条边为3，则三角形的底边长是 ． 【分析】由于已知的长为3的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理． 【详解】解：当腰长为3时，底长为：；，能构成三角形； 当底长为3时，腰长为：；，能构成三角形． 故底边长是5或3． 故答案为：5或3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，与两边之和大于第三边不一致， ∴A不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴B不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边一致，构成三角形， ∴C符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，不构成三角形， ∴D不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵，，满足三边关系，构成三角形， ∴符合题意； ∵，构不成三角形， ∴不符合题意； ∵，构不成三角形， ∴不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边矛盾， ∴D不符合题意； 故选：． 【变式3】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ；； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 题型2. 确定第三边的取值范围 【例1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 【例2】（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）一个三角形的两边长分别是，，则第三边的长可能是下面的（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边即可得到答案． 【详解】解：设这个三角形第三边的长为， 这个三角形的两边长分别是，， 则由三角形的三边关系可得，，即， 它的第三边的长可能是．故选：C． 【变式2】（2025·海南海口·二模）若某三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（     ） A．2 B．7 C．8 D．9 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， 即， 符合要求的值为7， 故选：B． 【变式3】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若三角形三边长为4，，10，则x的取值范围是 ． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：三角形的三边长分别为4，，10， 根据三角形的三边关系可得：， 即， 故答案为：． 题型3. 三角形三边关系的应用 【例1】（24-25七年级下·山东济南·期中）某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的三边长关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴50符合题意． 故选：A． 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点，测得，，则池塘两岸间的距离可能是（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，能根据三角形的三边关系定理得出不等式是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项． 【详解】解：设， ∵，， ∴由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴、间的距离可能是， 故选：B． 【变式3】（2025·河北邯郸·二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即 ∴ ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙． 故选：B． 题型4. 三角形的稳定性及应用 【例1】（23-24八年级上·全国·期中）不是利用三角形稳定性的是（　　） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．起重机的三角形钢架 D．学校的伸缩门 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握稳定性的应用是解题的关键．根据稳定性的应用判断即可得到答案． 【详解】解：自行车的三角形车架，利用了三角形稳定性，故选项A不符合题意； 三角形房架，利用了三角形稳定性，故选项B不符合题意； 起重机的三角形钢架，利用了三角形稳定性，故选项C不符合题意； 学校的伸缩门，不是利用三角形稳定性，故选项D符合题意； 故选D． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：根据题意可得，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，采用如图的设计是构造三角形，应用了三角形的稳定性，理解题意是解题关键． 【详解】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性， 故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【分析】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性， 故选：B． 题型5. 根据三角形中线求长度 【例1】（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 【变式1】（23-24九年级上·陕西汉中·期末）如图，是的中线，E，F分别是的中点，，则的长为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】本题考查中线定义，中位线定理．根据题意利用中位线即可得到，再利用中线定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵E，F分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线定义得出，结合三角形的周长公式求出，即可求解． 【详解】解：因为是边上的中线， 所以； 因为的周长比的周长多， 所以， 即， 因为， 所以． 题型6. 根据三角形中线求面积 【例1】（2025·广东·二模）如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可求出的面积，进而可得的面积． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵D为的中点， ∴， 故选；B． 【变式1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：分别是的中点，， ， ，， ， ， 故选：B． 【变式2】（2025·甘肃陇南·一模）如图，在中，点，分别是，上的中点，连接，，若的面积为10，则的面积为（   ） A．5 B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形的中位线性质，三角形相似的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．根据三角形的中线与面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵点，分别是，上的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键． 本题利用中线的性质，即中线将三角形分为两个面积相等的部分，来求解的面积． 【详解】解：是的中线，， ， 是的中线， ． 题型7. 三角形的角平分线 【例1】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键． 【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 故选：． 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【详解】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 【变式2】（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：A． 【变式3】（23-24八年级上·广西百色·期中）若AE是边BC上的高，AD是的平分线且交BC于点D．若，，分别求和的度数． 【分析】根据△AEC的内角和定理可得：，根据角平分线的性质可得，根据△ABC的内角和定理可得∠BAC，又因为，，即可得解． 【详解】解：∵AE是边BC上的高 ∴ ∴在中，有 又∵ ∴ ∵AD是的平分线 ∴ ∵在中，有 已知， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，熟悉这些知识点，灵活应用等量代换是解决本题的关键． 题型8. 画三角形的高 【例1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 【例2】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，已知，求作：边上的高. 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的高，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．根据三角形的高的定义作出图形即可． 【详解】解：如图，线段即为所求． ． 【变式1】（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列四个图形中，线段是中边的高的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点B作，垂足为E，其中线段是的高，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：线段是中边的高的图是 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 【变式3】（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，这是9×11的小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上，按要求画图： (1)画出的边上的中线． (2)画出的边上的高． (3)若，求边上的高的长度． 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，三角形的高，中线的定义等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题． （1）根据网络特点找到的中点，连接、两点即可求解； （2）根据三角形的高的定义画出图形； （3）利用面积法解决问题即可． 【详解】（1）解：如下图，根据网络特点找到中点，再连接、两点，线段即为所求． （2）解：如下图，延长，过点作延长线的垂线，交于点，线段即为所求． （3）解：设边上的高为， 由图题意可知：，， ， 即， ， 即边上的高的长度为． 题型9. 与三角形的高有关的计算 【例1】（24-25七年级下·云南临沧·期中）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中， ，求的值． 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，利用等积法，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：，，， 的面积， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式3】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义， 由高线可得，由三角形的内角和可求得，从而可求得，再利用角平分线的定义可得，再次利用三角形的内角和即可求的度数． 【详解】解：∵是高， ∴. ∵， ∴，， ∴. ∵是的平分线， ∴， ∴． 【变式4】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为的中线， 为的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为40，，则点 E 到边的距离为多少？ 【分析】本题考查画三角形的高线，三角形的中线： （1）根据高线的定义，画高即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，为边上的高． （2）∵为的中线， 为的中线， ， ∵的面积为 40，， 解得，即点 E 到边的距离为4． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】A．2，3，5：最小两边和为，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B．3，5，9：最小两边和为，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； C．3，6，9：最小两边和为，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； D．3，7，9：最小两边和为，大于最大边9，满足条件，能组成三角形． 故选D． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义和性质可判断B和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断A；根据三角形角平分线的意义可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故D选项不正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故A选项不正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故C选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·广东·二模）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得第三边长，再解可得第三边的范围，然后可得答案． 【详解】解：设第三边长为，由题意得： ， 解得：． 故选：B． 4．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（   ） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项． 【详解】解：设米， 根据题意，得， ∴， 观察各选项，选项A不符合， 故选：A． 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形， ∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 7．（24-25七年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的中线的概念即可解答． 【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部， 故答案为：A． 8．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．或 D．或 【分析】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．同时注意三角形的三边关系． 【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是，能够组成三角形． 故选：C． 9．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题主要考查平行公理、垂线的性质、三角形中各类线的交点性质、直线位置关系及点到直线的距离的定义，需逐一分析各说法的正确性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意； ②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； ③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意； ④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意； ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意； 综上，正确的有②，共1个， 故选：A． 10．（24-25八年级上·天津河东·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：；；；，其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，角平分线的性质，三角形内角和定理，根据三角形的中线定义和三角形面积公式可对进行判断； 利用三角形内角和定理得到，，则利用得到，然后根据对顶角相等得到，则可对进行判断，过作于点，利用角平分线的性质可对进行判断； 根据等角的余角相等得到，则利用角平分线的定义得到，于是可对进行判断.根据三角形的高、中线、角平分线，角平分线的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过作于点，如图， ∵，平分， ∴， ∵在中，， ∴，故错误； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：. 二、填空题 11．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 利用三角形的三边关系列出不等式求解，分情况进行求三角形的周长即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得， 即， ∵边长为偶数， ∴或， ∴当时，三角形的周长为， 当时，三角形的周长为， 故答案为：11或13． 12．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为 ． 【分析】此题主要考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，8， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴的值为，，，，， ∴满足条件的值的和为， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 14．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高在三角形内与三角形外，根据题意求得，则由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当高在三角形内时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当高在三角形外时，如图， 则， ∴； 综上，的面积为28或8． 故答案为：28或8． 15．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，中线和中线相交于点，若的面积为36，则四边形的面积为 ． 【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出，得出，再由中线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵、是的中线， ∴， ∵，， ∴， 连接并延长交于点K，如图所示： ∴为中线， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵的面积为36， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：12． 16．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 【分析】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；（2）两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．根据中线平分三角形面积和两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比进行解答即可． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴ ∵ ∴ 解得， ∴，， 则 设，则， ∵， ∴ 解得， 即的面积为， 故答案为： 19．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 20．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于2，则它的周长为 ． 【分析】本题考查等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的定义，三角形的三边关系，是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当5是腰时， ∵， ∴能构成三角形． ∴周长为：． 当2是腰长时， ∵， ∴不能构成三角形． 故答案为：12． 三、解答题 21．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，，若是偶数，求的长． 【分析】本题考查了三角形三条边的关系．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系得： ， 即， ∵为偶数， ∴． 22．（2025七年级下·全国·专题练习），，（，）分别表示三条线段的长度，试判断以其为边是否能组成三角形． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，理解并掌握三角形三边关系是解题关键．三角形三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可获得答案． 【详解】解：，， ∴为较短边的长度， 又，不能组成三角形． 23．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：    (1)补全； (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高线； (4)求的面积 ． 【分析】本题主要考查作图平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）由点的对应点知，三角形需向左平移5个单位、向下平移2个单位，据此可得； （2）连接的中点与点即可得； （3）过点作延长线的垂线段即可得； （4）利用面积公式直接求解可得． 【详解】（1）如图所示，即为所求作三角形．    （2）如图所示，为边上的中线； （3）如图所示，为边上的高线； （4）， 故答案为：8 24．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论． 【详解】证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ． 25．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）如图，四边形是一个梯形，点E是的中点，直线把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是．求上底与下底的长度之比． 【分析】本题主要考查了梯形，三角形中线的性质．连接，设，根据点E是的中点，可得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∴，     ∵的高相同， ∴． 26．（22-23七年级下·贵州·期末）如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据题意表示出的面积即可求解； 【详解】（1）解：∵cm，的长为， ∴ ∵高cm， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴的面积 ， ∵的面积比的面积大3 ∴， 解得：， ∴当时，的面积比的面积大3 27．（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 【分析】本题考查了三角形中线有关的面积，由边之间的关系得，，阴影部分的面积转化成的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ，， ，，， ， ， ， 解得∶， 故阴影部分的面积为． 28．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【分析】本题考查三角形的中线和高，熟练掌握高线和中线的定义是解题的关键． （1）利用面积公式进行计算即可； （2）利用面积公式进行求解即可； 【详解】（1）解：∵的边上的高为，中线为，，， ∴， 的面积； （2）解：∵的面积， ∵， ∴． 29．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）先根据题意得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1）解：∵， ， ∵平分， ∴， ∵为高， ， ． （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴． 30．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 【分析】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先证明，求解，，，结合角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：是边上的高， ． ，， ， ． ． 是的平分线， ． ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形 02讲 与三角形有关的线段 题型归纳 【题型1. 构成三角形的条件】…………………………………………………………… 3 【题型2. 确定第三边的取值范围】……………………………………………………… 4 【题型3. 三角形三边关系的应用】……………………………………………………… 4 【题型4. 三角形的稳定性及应用】……………………………………………………… 5 【题型5. 根据三角形中线求长度】……………………………………………………… 6 【题型6. 根据三角形中线求面积】……………………………………………………… 8 【题型7. 三角形的角平分线】…………………………………………………………… 9 【题型8. 画三角形的高】………………………………………………………………… 10 【题型9. 与三角形的高有关的计算】…………………………………………………… 12 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 14 知识清单 知识点1 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点2 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. , 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点3 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点4 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 题型专练 题型1. 构成三角形的条件 【例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下面每组中的三条线段，能围成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）等腰三角形的周长为11，一条边为3，则三角形的底边长是 ． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 题型2. 确定第三边的取值范围 【例1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【例2】（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 【变式1】（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）一个三角形的两边长分别是，，则第三边的长可能是下面的（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·海南海口·二模）若某三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（     ） A．2 B．7 C．8 D．9 【变式3】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若三角形三边长为4，，10，则x的取值范围是 ． 题型3. 三角形三边关系的应用 【例1】（24-25七年级下·山东济南·期中）某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点，测得，，则池塘两岸间的距离可能是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（2025·河北邯郸·二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 题型4. 三角形的稳定性及应用 【例1】（23-24八年级上·全国·期中）不是利用三角形稳定性的是（　　） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．起重机的三角形钢架 D．学校的伸缩门 【变式1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【变式2】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【变式3】（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 题型5. 根据三角形中线求长度 【例1】（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】（23-24九年级上·陕西汉中·期末）如图，是的中线，E，F分别是的中点，，则的长为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 题型6. 根据三角形中线求面积 【例1】（2025·广东·二模）如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·甘肃陇南·一模）如图，在中，点，分别是，上的中点，连接，，若的面积为10，则的面积为（   ） A．5 B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 题型7. 三角形的角平分线 【例1】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【变式2】（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 【变式3】（23-24八年级上·广西百色·期中）若AE是边BC上的高，AD是的平分线且交BC于点D．若，，分别求和的度数． 题型8. 画三角形的高 【例1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，已知，求作：边上的高. 【变式1】（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列四个图形中，线段是中边的高的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【变式3】（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，这是9×11的小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上，按要求画图： (1)画出的边上的中线． (2)画出的边上的高． (3)若，求边上的高的长度． 题型9. 与三角形的高有关的计算 【例1】（24-25七年级下·云南临沧·期中）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中， ，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数． 【变式4】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为的中线， 为的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为40，，则点 E 到边的距离为多少？ 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东·二模）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 4．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（   ） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 6．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 7．（24-25七年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 8．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25八年级上·天津河东·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：；；；，其中正确的有（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 12．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为 ． 13．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 14．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 15．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，中线和中线相交于点，若的面积为36，则四边形的面积为 ． 16．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 17．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 18．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 19．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 20．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于2，则它的周长为 ． 三、解答题 21．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，，若是偶数，求的长． 22．（2025七年级下·全国·专题练习），，（，）分别表示三条线段的长度，试判断以其为边是否能组成三角形． 23．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：    (1)补全； (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高线； (4)求的面积 ． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 25．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）如图，四边形是一个梯形，点E是的中点，直线把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是．求上底与下底的长度之比． 26．（22-23七年级下·贵州·期末）如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 27．（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 28．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 29．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 30．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$