复数与1的n次方根回归新教材系列讲义-2026届高三数学一轮复习

1 的 次方根出现在人教 版新教材必修二 的阅读与思考(如下图)。这个点在今年模考中多次出现, 无论小题还是新定义压轴都有涉及。 一、新教材中的 1 的 次方根 1、教材原内容 2、复数的三角形式 3、复数的乘法法则 4、再详细介绍一下棣莫佛定理 二、1 的 次方根及其性质 1、定义 2、5 性质 三、隐含 1 的 次方根的新定义题 1、这道隐含 次单位根题解析 2、常规二项式展开式系数和 3、二项式展开式间隔项系数和拓展问题 四、 1 的 次方根与三角函数新定义压轴 五、 1 的 次方根与周期数列新定义压轴 六、更多模考中的复数新定义压轴 一、新教材中的 1 的 次方根 1、教材原内容 探究与发现 1 的 次方根 初中我们学过, 1 的平方根为 , 它们互为相反数. 如何求 1 的 3 次方根, 4 次方根…… 次方根？它们有什么性质呢？ 我们知道开方是乘方的逆运算,为了探求 1 的 次方根,需要先研究复数的乘方. 由复数乘法运算的三角表示知,若 isin ),则 . 这个结论可以推广到 个复数相乘的情况,即若 ,则 特别地,如果 ,那么 这就是说,复数的 次幂的模等于这个复数的模的 次幂,它的辐角等于这个复数的辐角的 倍,这个结论叫做棣莫弗定理. 类比复数乘法的几何意义, 你能给出复数乘方的几何意义吗? 下面我们利用棣莫弗定理, 探求 1 的 3 次方根, 给出它们的几何解释, 并探求它们的性质. 设 是 1 的 3 次方根,则 ,从而 因为相等的复数的模相等,辐角可以相差 的整数倍,所以 即 因此 1 的 3 次方根是 . 根据三角函数的周期性可得,1 的 3 次方根为 , ,即 isin . 1 的 3 次方根的几何意义是什么呢? 如图 1,在复平面内,设 对应的点分别为 ,对应的向量分别为 . 因为 ,所以 所对应的点 都在以原点 为圆心的单位圆上. 因为 , 的辐角依次相差 ,所以 是单位圆的三等分点 (也可以看成单位圆的内接正三角形的顶点), 且分点 恰为单位圆与实轴的正半轴的交点. 图 1 从 对应的向量 来看,容易发现: 将 绕原点 按逆时针方向旋转 得到 ,再按逆时针方向旋转 得到 ,继续按逆时针方向旋转 得到 . 我们还可以得到 1 的 3 次方根的一些性质: (1) ,其中 ; (2) 和 互为共轭复数; (3) . 你能证明这些性质吗？ 类比上述研究方法,请你自己探求 1 的 4 次方根, 5 次方根…… 次方根. 你能解释它们的几何意义, 并探求它们的性质吗? 2、复数的三角形式 复数的三角形式在新教材中是带 * 的选学内容,位于人教 A 版数学必修第二册第七章,7.3 节 (P83) 如下图。 7. 3* 复数的三角表示 前面我们研究了复数 及其四则运算,本节研究复数的另一种重要表示——复数的三角表示. 它可以帮助我们进一步认识复数, 同时能给复数的运算带来便利. 7.3.1 复数的三角表示式 我们知道,复数可以用 的形式来表示,复数 与复平面内的点 是一一对应的,与平面向量 也是一一对应的. 借助复数的几何意义, 复数能不能用其他形式来表示呢? 探究 如图 7.3-1,复数 与向量 对应, 复数 由向量 的坐标(a, b)唯一确定. 我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定, 那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢? 如何表示? 图 7.3-1 向量的大小可以用模来刻画, 那么向量的方向如何刻画呢? 由图 7.3-1 容易想到, 可以借助以 轴的非负半轴为始边,以向量 所在射线 (射线 ) 为终边的角 来刻画 的方向. 3、复数的乘法法则 复数三角形式的乘法法则 (棣莫佛定理) 在新教材上也有, P86, 如下图。 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 前面, 我们研究了复数代数形式的乘、除运算, 下面我们利用复数的三角表示研究复数的乘、除运算及其几何意义. 思考 如果把复数 分别写成三角形式 isin ),你能计算 并将结果表示成三角形式吗? 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式, 可以得到 即 这就是说, 两个复数相乘, 积的模等于各复数的模的积, 积的辐角等于各复数的辐角的和. 4、再详细介绍一下棣莫佛定理 【棣莫佛定理】棣莫佛定理其实就是复数三角形式的乘法法则,指的是: 设两个复数 ,则 证明: 因为 所以 该定理可以推广为一般形式 【推广形式】设 个复数 ,则 【乘方形式】在一般形式中如果令 ,则能导出复数乘方公式 证明: 法一: 数学归纳法 ① 当 时,等式显然成立 ② 设当 时等式成立,则当 时 即当 时等式也成立 综上,对于任意正整数 ,都有 法二: 欧拉公式 所以 ( 1 )指数函数 ,其任意阶导数 ,在 处泰勒展开 (2)三角函数 和 ,在 处泰勒展开 这里便可以利用以上三式证明世界上最美丽的公式,欧拉公式: 。 首先,将 的泰勒展开式中 替换成 ( 为虚数单位)得到 观察此式,你会惊奇发现等号右侧不正是 和 泰勒展开式的线性组合吗? 即 再令 ,即可得到 ,移项即为欧拉公式。 二、1 的 次方根及其性质 1、定义 【定义】在复数范围内,1的 次方根,或叫 次单位根, 简称单位根,共有 个,分别是 或 注:前者是三角形式, 后者是指数形式 (要用到欧拉公式) 设复数 ,是 1 的 次方根,则 ,则 因为相等的复数的模相等,辐角可以相差 的整数倍,所以 因此 1 的 次方根是 2、5 性质 【性质 1】对于 , 都是 1 的 次方根,即 ,但相异的只有 个。 注: 例如取 时,就得到 个不同的 次单位根。当 时, 。 【性质 2】 注: 次单位根的模为 1 【性质 3】 ( 为任意整数) 注: 两个 次单位根 的乘积仍是一个 次单位根,由此可得 ① ② ( , 为任意整数,当 时, )。 ③ 对任何整数 ④ 对任何整数 的充分必要条件是 ,即 与 除以 后余数相同。 ⑤ ,即任何一个单位根都可以写成 的幂,有这种性质的 次单位根 称为 次本原单位根,简称 次原根或原根,当 与 互素且 时,都是 次原根。 ⑥ (一个 次单位根的共轭复数也是一个 次单位根) 【性质 4】对任何整数 , 注: 表示 整除 ,即 是 的整数倍; 则表示 不是 的整数倍。由此可得 ① 全部单位根的和为 0 ,即 ② 设 次单位根 ,则 【性质 5】全部单位根把复平面上的单位圆周( ) 等分,构成了外接圆半径为 1 的正 边形的顶点,其中一个顶点是 ,如图 1 所示。 图 1 三、隐含 1 的 次方根的新定义题 该题来自江西南昌 2025 届高三第一次模拟测试第 19 题，该题还是非常新颖的,是一道不错的新定义题,第(3)问涉及到的二项式系数和与以往常见的形式不一样, 即将常见的奇偶项 (间隔 1 项) 系数求和拓展到了间隔 3 项,不知道考场上的同学有多少能想到。另外,这种二项式间隔 项系数求和与教材拓展阅读中的 1 的 次方根有关! 1、这道隐含 次单位根题解析 【江西南昌 25 届高三一模 T19】通过抛掷骰子产生随机数列 ,具体产生方式为: 若第 次抛掷得到点数 , ,则 . 记数列 的前 项和为 为 除以 4 的余数. (1)若 ,求 的概率； (2)若 ,比较 与 的大小,说明理由； ( 3 )若 ,设 ,试确定该展开式中各项系数与事件 的联系,并求 的概率. 解析: (1)易知 所以 (2) ① 时, 可能是4,8,12 易知 所以 ② 时, 可能是3,7,11 易知 所以 所以 ( 3 )由( 1 )( 2 )问可知,当 时 可以发现事件 的概率恰好为 其中 (因为两个骰子投掷的点数和至少为 ) 因此可猜想当 时,事件 的概率恰好为 其中 (因为 20 个骰子投掷的点数和至少为 20) 当 时, 可能是 所以 因为 令 ,得 令 ,得 则 得 令 , 得 又 所以 则 得 所以 注: 此题第 (3) 考的就是二项式系数和赋值技巧,在以往的题目中基本都是赋 即可,但这道题赋了虚数单位 ,很新颖！其实,这里的 都是 1 的 4 次方根！ 2、常规二项式展开式系数和 (1) 设 二项式定理是一个恒等式,即对 的一切值都成立,可以根据具体问题的需要灵活选取 的值. 1 令 ,可得 ② 令 ,可得 则 ③ 假设 为偶数,再结合 ① 可得 (2)若 ,则 (i) 求常数项可令 ,得 (ii)求各项系数和,可令 ,得 (iii)求奇、偶次项的系数和 ① 当 为偶数时,偶次项的系数和为 奇次项的系数和为 ② 当 为奇数时,偶次项的系数和为 奇次项的系数和为 3、二项式展开式间隔项系数和拓展问题 注:当所要求的二项式展开式系数和, 间隔两项及以上的如何解决呢? 也就是拓展自南昌一模的问题, 即 【二项式展开式各项系数和拓展问题】设 若 ,求 其中, 表示不超过 的最大整数. 解析: 当 时,就是上面常规的二项式系数和问题,赋值 即可 (1)当 时,令 ,即可得 (2)当 时,令 ,可得 (1) + (2) 得 注: 时,赋值 ,正是 1 的两个 2 次方根,如图 2 所示 (3)当 时,令 ,可得 上面三式相加,再利用 1 的 3 次方根的【性质 4】,即 , 可得 (4)当 时,令 ,可得 上面四式相加,再利用 1 的 4 次方根的【性质 4】,即 , 可得 图 4 图 5 (5)当 时,令 ,可得 上面四式相加,再利用 1 的 4 次方根的【性质 4】,即 , 可得 (6)综上可得,当 时,令 ,可得 即 注: 模考中可能考的拓展情形就是 了,因为这种情况下赋值是 ,有可能计算出来具体的数值,类似于南昌一模这道题。但是,其他情形下, 就比较复杂了,比如 1 的 3 次方根 ,代入 并不好计算出具体数值。 四、 1 的 次方根与三角函数新定义压轴 【广东 25 届毕业班二调 T19】已知集合 , ,设函数 ( 1 )当 和 时,分别判断函数 是否是常数函数？说明理由； (2)已知 ,求函数 是常函数的概率； ( 3 )写出函数 是常函数的一个充分条件,并说明理由 解析: (1)(2)(暂略) (3) 若 是常函数,则 恒等于零,则 考虑复数 ,是 1 的 次方根,则 ,则 因为相等的复数的模相等,辐角可以相差 的整数倍,所以 因此 1 的 次方根是 由于 是方程 的 个根,则由韦达定理可得 故 对比 (1)(2) 式 可取 因此 是常函数的一个充分条件是 注:该题让求的是一个充分条件, 满足题设即可, 并不要求求出所有满足条件的答案, 参考解析也是本题的一个答案。另外, 上面解析中涉及到的内容在新教材中都能找到, 复数的三角表示和复数的乘法法则在人教 A 版数学必修第二册第七章, 7.3 节选学部分 P83; 棣莫弗定理和 1 的 次方根在人教 A 版数学必修第二册第七章 P91; 高次韦达定理 (代数基本定 理)在人教 版数学必修第二册 P81 五、1的 次方根与周期数列新定义压轴 该题选自宁波“十校”2025 届高三 3 月联考第 19 题,虽是新定义题目,但是新定义的“周期数列”,同学们可以非常容易的接受并理解,没有任何高等背景的内容。总的来说,该题还是比较新颖的。 此题第(1)(2)问比较简单,但第(3)问证不是周期数列就稍微有点难了！参考答案给的是利用三角函数构造, 这一点虽然比较难想, 但是也应该能够联想到三角函数同样也存在周期性! 这样周期数列的通项就有可能用三角函数表示,例如在人教 版新教材选择性必修二刚开始讲数列的概念第 4 页中就有让画数列 的图像的例题,这就是利用三角函数表示周期数列通项的一个典型的例子! 除此之外, 在教材中, 同学们还能想到其它有周期性的东西吗? 同学们可能脱口而出的就是周期函数! 但是函数是连续的,如果考虑定义域是分散的,比如 ,这不就还是数列了 嘛! 课本上存在周期性的其实还有一个, 次单位根 (即 1 的 次方根),其周期为恰为 . 这个知识点出现在人教 A 版新教材必修第二册 P91 阅读与思考中！ 【宁波“十校”25 届高三 3 月联考 19】对于数列 ,若存在正整数 ,使得从数列 的第 项起,恒有 成立,则称数列 为第 项起的周期为 的周期数列。 (1) 已知数列 满足 ,且 ,证明:3是 的一个周期. (2)已知数列 (其中 不全为0, ,证明: 存在正整数 ,使得 时, 成立,并求出满足条件的一个周期 . (3)已知数列 , 求证: 不是周期数列. 下面利用大致用 1 的 次方根进行进行分析,并不严谨,仅仅给同学们开开眼界 ( 3 )题设中给的是分式递推式 可以用不动点法求其通项 设 ,解得 所以 所以 即 所以数列 是以首项为 ,公比为 的等比数列 所以 如果 是周期数列,则 也是周期数列 因为其表达式为复数的 次方的形式,所以可以联想到 1 的 次方根呈周期性的性质。 如果 是 1 的 次方根,则任何一个单位根都可以写成其幂的形式,那么该数列就是周期数列。但 是 1 的 次方根吗? 设 由常用正余弦角度可知, 由于 并不能整除 因此 不是 1 的 次方根 六、更多模考中的复数新定义压轴 【天域全国名校协作体 25 届高三下联考 T10】已知方程 在复数范围内有 个根,且这 个根在复平面上对应的点将复数是方程 的根的是 A. 1 B. i C. D. 解析: 1 的 18 次方根共有 18 个, 分别是 其中, 故选 ACD. 【浙江 9+1 高中联盟 25 届高三 11 月期中 T19】一般地,任何一个复数 可以写成 ,其中 是复数的模, 是以 轴非负半轴为始边,射线 为终边的角,称为复数的辅角. 我们规定在 范围内的辅角称为辅角主值,通常记作 ,如 . 发现 ,就是说两个复数相乘, 积的模等于各复数模的积, 积的辅角等于各复数辅角的和. 考虑如下操作:从写有实数 的三张卡片中随机抽取两张,将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部. 设 为正整数,重复 次上述操作,可得到 个复数,将它们的乘积记为 . (1)写出一次操作后所有可能的复数； (2)当 ,记 的取值为 ,求 的分布列； (3)求 为实数的概率 . 解析: (1)一次操作后可能的复数为 (2)一次操作后复数的模所有可能的取值为是 由 ,故 的取值为 所以 的分布列为 (3) 若 为实数,则 或 . 而 1, i, 的辅角主值分别是 设在 次操作中,得到 的次数为 ,得到 的次数为 ,得到 的次数为 因此 设 因此,所有的概率 即为 是 3 的倍数的概率,下面研究 与 之间的关系. ① 是 3 的倍数,且第 次操作得到的复数是 1, i, (概率为 ) ② 被 3 除余 1,且第 次操作得到的复数是 (概率为 ) ③ 被 3 除余 2,且第 次操作得到的复数是 (概率为 ) 因此由全概率公式可以得到 又 ,故 【长沙雅礼中学 25 届高三上月考(一)T19】复数 可用点 表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, 轴叫做实轴, 轴叫做虚轴. 显然,实轴上的点都表示实数; 除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 按照这种表示方法, 每一个复数, 有复平面内唯一的一个点和它对应, 反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应. 一般地,任何一个复数 都可以表示成 的形式,即 其中 为复数 的模, 叫做复数 的辐角 (以 非负半轴为始边, 所在射线为终边的角),我们规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值,记作 叫做复数 的三角形式. 复数三角形式的乘法公式: 棣莫佛提出了公式: 其中 . (1)已知 ,求 的三角形式； (2)已知 为定值, ,将复数 化为三角形式； ( 3 )设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为 , 求复数 所对应不同点的个数. 解析: (1) (2) ( 3 )正二十边形每边所对的中心角为 , 设 ( 为常数) 则 其中 所以 由周期性可知, 共有 5 个不同的值 故复数 所对应不同点的个数为 5 . 【海南琼海 24 高一下质监三 T19】任意一个复数 的代数形式都可写成复数三角形式,即 ,其中 为虚数单位, 棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667~1754)创立. 设两个复数用三角函数形式表示 为: ,则 如果令 ,则能导出复数乘方公式: 请用以上知识解决以下问题 (1)试将 写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式: ; ( 3 )记 ,由棣莫弗定理得 从而得 ,我们称复数 为 1 在复数域内的三次方根. 若 为 64 在复数域内的 6 次方根. 求 取值构成的集合,其中 . 解析: (1) (2)设模为 1 的复数为 ,则 由复数乘方公式可得 故 (3) 记 由棣莫弗定理得 从而得 , 所以 64 在复数域内的 6 次方根为 设 ,其中 , 代入计算可得, ,即 取值构成的集合为 . 【24 届深圳中学预测卷 T19】根据代数基本定理,给定正整数 ,方程 有 个复数根,分别是 ,这些根称为 次单位根,此时有 . 当 与 互质时, 称为 次本原单位根。 次本原单位根的另一个等价定义是,若 ,且不存在小于 的正整数 使得 ,则称复数 为 次本原单位根. 给定正整数 ,我们定义 级分圆多项式 ,其中 , 是全部 次本原单位根. (1)写出 ,并化简. (2)若 是质数(或称素数),求出 并化成最简形式. ( 3 )探究是否存在正整数 和 使得 对任意复数 恒成立. 解析: (1) 当 时,与 6 互质且小于等于 6 的正整数只有 1 和 5 , 从而 (2)当 是质数时,与 互质且小于等于 的正整数有 ,只有 与自己不互质. 根据分圆多项式的定义,有 其中 由题意得 从而 (3)不存在,采用反证法 假设存在正整数 和 使得 对任意复数 恒成立. 若 为 次本原单位根,则 且 ,从而有 若 ,则 ,则存在 使得 , 即 成立 从而 为 次本原单位根, . 根据本原单位根的等价定义,此时必有 ,否则可导出矛盾. 这时我们有 ,因此 ,但这是不可能的. 同理若 ,我们也可以得出矛盾. 从而不存在正整数 和 使得 对任意复数 恒成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 回归新教材系列——复数与 的 次方根 的 次方根出现在人教 版新教材必修二 的阅读与思考（如下图）。这个点在今年模考中多次出现，无论小题还是新定义压轴都有涉及。 一、新教材中的 1 的 𝑛 次方根 1、教材原内容 2、复数的三角形式 3、复数的乘法法则 4、再详细介绍一下棣莫佛定理 二、1 的 𝑛 次方根及其性质 1、定义 2、5性质 三、隐含 1 的 𝑛 次方根的新定义题 1、这道隐含 𝑛 次单位根题解析 2、常规二项式展开式系数和 3、二项式展开式间隔项系数和拓展问题 四、1 的 𝑛 次方根与三角函数新定义压轴 五、1 的 𝑛 次方根与周期数列新定义压轴 六、更多模考中的复数新定义压轴 一、新教材中的 的 次方根 1、教材原内容 2、复数的三角形式 复数的三角形式在新教材中是带 * 的选学内容，位于人教A版数学必修第二册第七章，7.3节（P83）如下图。 3、复数的乘法法则 复数三角形式的乘法法则（棣莫佛定理）在新教材上也有，P86，如下图。 4、再详细介绍一下棣莫佛定理 【棣莫佛定理】 棣莫佛定理其实就是复数三角形式的乘法法则，指的是：设两个复数 ， ，则 证明： 因为 ， 所以 该定理可以推广为一般形式 【推广形式】设 个复数 ， ，， ，则 【乘方形式】 在一般形式中如果令 ，则能导出复数乘方公式 证明： 法一：数学归纳法 ① 当 时，等式显然成立 ② 设当 时等式成立，则当 时 即当 时等式也成立 综上，对于任意正整数 ，都有 法二：欧拉公式 所以 （1） 指数函数 ，其任意阶导数 ，在 处泰勒展开 （2） 三角函数 和 ，在 处泰勒展开 这里便可以利用以上三式证明世界上最美丽的公式，欧拉公式： 。 首先，将 的泰勒展开式中 替换成 （ 为虚数单位）得到 观察此式，你会惊奇发现等号右侧不正是 和 泰勒展开式的线性组合吗？即 再令 ，即可得到 ，移项即为欧拉公式。 二、 的 次方根及其性质 1、定义 【定义】在复数范围内， 的 次方根，或叫 次单位根，简称单位根，共有 个，分别是 或 注： 前者是三角形式，后者是指数形式（要用到欧拉公式） 设复数 （），是 的 次方根，则 ，则 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差 的整数倍，所以 因此 的 次方根是 2、5性质 【性质1】 对于 ， 都是 的 次方根，即 ，但相异的只有 个。 注： 例如取 ，，，， 时，就得到 个不同的 次单位根。当 （ ，，，，，）时， 。 【性质2】 ，（，，，，） 注： 次单位根的模为 【性质3】 （， 为任意整数） 注： 两个 次单位根 ， 的乘积仍是一个 次单位根，由此可得 ① ② （， 为任意整数，当 时， ）。 ③ 对任何整数 、， ④ 对任何整数 、， 的充分必要条件是 ，即 与 除以 后余数相同。 ⑤ ，即任何一个单位根都可以写成 的幂，有这种性质的 次单位根 称为 次本原单位根，简称 次原根或原根，当 与 互素且 时，都是 次原根。 ⑥ （一个 次单位根的共轭复数也是一个 次单位根） 【性质4】 对任何整数 ， 注： 表示 整除 ，即 是 的整数倍； 则表示 不是 的整数倍。由此可得 ① 全部单位根的和为 ，即 ② 设 次单位根 ，则 【性质5】全部单位根把复平面上的单位圆周（） 等分，构成了外接圆半径为 的正 边形的顶点，其中一个顶点是 ，如图 1 所示。 图 1 三、隐含 的 次方根的新定义题 该题来自江西南昌2025届高三第一次模拟测试第19题。该题还是非常新颖的，是一道不错的新定义题，第（3）问涉及到的二项式系数和与以往常见的形式不一样，即将常见的奇偶项（间隔 项）系数求和拓展到了间隔 项，不知道考场上的同学有多少能想到。另外，这种二项式间隔 （ ）项系数求和与教材拓展阅读中的 的 次方根有关！ 1、这道隐含 次单位根题解析 【江西南昌25届高三一模T19】通过抛掷骰子产生随机数列 ，具体产生方式为：若第 （ ，，，，）次抛掷得到点数 （ ，，，，，），则 . 记数列 的前 项和为 ， 为 除以 的余数. （1） 若 ，求 的概率； （2） 若 ，比较 与 的大小，说明理由； （3） 若 ，设 ，试确定该展开式中各项系数与事件 （ ， ）的联系，并求 的概率. 解析： （1） （2） ① ② （3） 注： 此题第 （3） 考的就是二项式系数和赋值技巧，在以往的题目中基本都是赋 即可，但这道题赋了虚数单位 ，很新颖！其实，这里的 ， 都是 的 次方根！ 2、常规二项式展开式系数和 （1） 设 二项式定理是一个恒等式，即对 ， 的一切值都成立，可以根据具体问题的需要灵活选取 ， 的值. ① 令 ，可得 ② 令 ， ，可得 则 ③ 假设 为偶数，再结合 ① 可得 （2） 若 ，则 （i） 求常数项可令 ，得 （ii） 求各项系数和，可令 ，得 （iii） 求奇、偶次项的系数和 ① 当 为偶数时，偶次项的系数和为 奇次项的系数和为 ② 当 为奇数时，偶次项的系数和为 奇次项的系数和为 3、二项式展开式间隔项系数和拓展问题 注： 当所要求的二项式展开式系数和，间隔两项及以上的如何解决呢？也就是拓展自南昌一模的问题，即 【二项式展开式各项系数和拓展问题】 设 若 ， ，求 其中， 表示不超过 的最大整数. 解析： （1） （2） 注： 图 2 图 3 （3） （4） 图 4 图 5 （5） （6） 注： 模考中可能考的拓展情形就是 了，因为这种情况下赋值是 ， ， ， ，有可能计算出来具体的数值，类似于南昌一模这道题。但是，其他情形下， 就比较复杂了，比如 的 次方根 ， ，代入 并不好计算出具体数值。 四、 的 次方根与三角函数新定义压轴 【广东25届毕业班二调T19】已知集合 ， ，设函数 . （1） 当 和 时，分别判断函数 是否是常数函数？说明理由； （2） 已知 ，求函数 是常函数的概率； （3） 写出函数 （ ） 是常函数的一个充分条件，并说明理由 解析： （1）（2） （3） 注： 该题让求的是一个充分条件，满足题设即可，并不要求求出所有满足条件的答案，参考解析也是本题的一个答案。另外，上面解析中涉及到的内容在新教材中都能找到，复数的三角表示和复数的乘法法则在人教A版数学必修第二册第七章，7.3节选学部分 ；棣莫弗定理和 的 次方根在人教A版数学必修第二册第七章 ；高次韦达定理（代数基本定理）在人教 版数学必修第二册 五、 的 次方根与周期数列新定义压轴 该题选自宁波“十校”2025届高三3月联考第19题，虽是新定义题目，但是新定义的“周期数列”，同学们可以非常容易的接受并理解，没有任何高等背景的内容。总的来说，该题还是比较新颖的。 此题第（1）（2）问比较简单，但第（3）问证不是周期数列就稍微有点难了！参考答案给的是利用三角函数构造，这一点虽然比较难想，但是也应该能够联想到三角函数同样也存在周期性！这样周期数列的通项就有可能用三角函数表示，例如在人教A版新教材选择性必修二刚开始讲数列的概念第4页中就有让画数列 的图像的例题，这就是利用三角函数表示周期数列通项的一个典型的例子！ 除此之外，在教材中，同学们还能想到其它有周期性的东西吗？同学们可能脱口而出的就是周期函数！但是函数是连续的，如果考虑定义域是分散的，比如 ，这不就还是数列了嘛！课本上存在周期性的其实还有一个， 次单位根（即 的 次方根），其周期为恰为 . 这个知识点出现在人教A版新教材必修第二册 阅读与思考中！ 【宁波“十校”25届高三3月联考19】对于数列 ，若存在正整数 ，使得从数列 的第 项起，恒有 （ ）成立，则称数列 为第 项起的周期为 的周期数列。 （1） 已知数列 满足 ，且 ，证明： 是 的一个周期. （2） 已知数列 ， ， （其中 ， ，， 不全为 ）， （ ），证明：存在正整数 ，使得 时， （ ）成立，并求出满足条件的一个周期 . （3） 已知数列 ， ， 求证： 不是周期数列. 解析： （1） （2） （3） 六、更多模考中的复数新定义压轴 【天域全国名校协作体25届高三下联考T10】已知方程 在复数范围内有 个根，且这 个根在复平面上对应的点将 复数是方程 的根的是 解析： 【浙江9+1高中联盟25届高三11月期中T19】一般地，任何一个复数 （， ） 可以写成 ，其中 是复数的模， 是以 轴非负半轴为始边，射线 为终边的角，称为复数的辅角. 我们规定在 范围内的辅角称为辅角主值，通常记作 ，如 ， ， . 发现 ，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和. 考虑如下操作：从写有实数 ，， 的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部. 设 为正整数，重复 次上述操作，可得到 个复数，将它们的乘积记为 . （1） 写出一次操作后所有可能的复数； （2） 当 ，记 的取值为 ，求 的分布列； （3） 求 为实数的概率 . 解析： （1） （2） （3） 【长沙雅礼中学25届高三上月考（一）T19】 复数 （ ）可用点 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 . 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应 . 一般地，任何一个复数 都可以表示成 的形式， 即 其中 为复数 的 模 ， 叫做复数 的辐角（以 非负半轴为始边， 所在射线为终边的角），我们规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 . 叫做复数 的三角形式. 复数三角形式的乘法公式： 棣莫佛提出了公式： 其中 ， （1） 已知 ， ，求 的三角形式； （2） 已知 为定值， ，将复数 化为三角形式； （3） 设复平面上单位圆内接正二十边形的 个顶点对应的复数依次为 ，，，，求复数 ，，， 所对应不同点的个数. 解析： （1） （2） （3） 【海南琼海24高一下质监三T19】任意一个复数 的代数形式都可写成复数三角形式，即 ，其中 为虚数单位， ， . 棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗 （ ）创立 . 设两个复数用三角函数形式表示为： ， ，则 如果令 ，则能导出复数乘方公式： 请用以上知识解决以下问题 （1） 试将 写成三角形式； （2） 试应用复数乘方公式推导三倍角公式： ， ； （3） 记 ，由棣莫弗定理得 从而得 ，我们称复数 为 在复数域内的三次方根 . 若 为 在复数域内的 次方根 . 求 取值构成的集合，其中 ， . 解析： （1） （2） （3） 【24届深圳中学预测卷T19】根据代数基本定理，给定正整数 ，方程 有 个复数根，分别是 ， ，这些根称为 次单位根，此时有 . 当 与 互质时， 称为 次本原单位根。 次本原单位根的另一个等价定义是，若 ，且不存在小于 的正整数 使得 ，则称复数 为 次本原单位根 . 给定正整数 ，我们定义 级分圆多项式 ，其中 ，，， 是全部 次本原单位根. （1） 写出 ，，，并化简 . （2） 若 是质数（或称素数），求出 并化成最简形式. （3） 探究是否存在正整数 和 使得 对任意复数 恒成立. 解析： （1） （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$