14.3 角的平分线导学案 2025-2026学年人教版八年级数学上册

本文围绕角的平分线展开，涵盖其定义、性质、判定及尺规作图等核心知识点。承接之前几何知识，为后续解决更复杂几何问题奠基。通过自主预习、详细讲解、效果检测等环节，培养学生抽象能力、推理能力及应用意识等核心素养。 该设计亮点在于借助思维导图梳理知识，采用讲练结合教法。从学生层面看，能提升其对知识的理解运用能力；从教师层面看，提供了清晰授课思路；从课堂效果看，有效突破教学难点。

14.3 角的平分线导学案 一、学习目标（简写版） 1. 掌握角的平分线的定义和性质，能运用性质解决距离相关问题。 1. 理解角的平分线的判定方法，能判断一条射线是否为角的平分线。 1. 会用尺规作图法画角的平分线，并结合全等三角形知识证明作图原理。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 1. 角的平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 1. 角的平分线的尺规作图：明确作图步骤，理解作图的依据（SSS 全等判定）。 （二）学习难点 1. 区分角的平分线的性质与判定（性质是 “由点在平分线上得距离相等”，判定是 “由距离相等得点在平分线上”）。 1. 运用性质和判定解决综合性问题（如结合全等三角形证明线段或角相等）。 1. 理解尺规作图中 “以相同半径画弧” 的原理，以及为何作出的射线是角的平分线。 三、本节内容的思维导图 角的平分线 ├──角的平分线的定义 │ ├──描述：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线 │ └──表示：OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB/2 ├──角的平分线的性质 │ ├──内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 │ ├──几何表示：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE │ └──条件：点在角的平分线上、点到两边的距离（垂直距离） ├──角的平分线的判定 │ ├──内容：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 │ ├──几何表示：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上 │ └──条件：点到两边的距离相等、距离为垂直距离 ├──角的平分线的尺规作图 │ ├──步骤： │ │ ├──以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于M、N │ │ ├──分别以M、N为圆心，大于MN/2的长为半径画弧，两弧交于点C │ │ ├──作射线OC，OC即为∠AOB的平分线 │ └──依据：SSS全等判定（证明△OMC≌△ONC，得∠MOC=∠NOC） └──应用 ├──利用性质求距离或证明线段相等 ├──利用判定确定角的平分线 ├──尺规作图并证明相关结论 ├──结合全等三角形解决综合问题 四、知识点自主预习填空 1. 从一个角的顶点出发，把这个角分成（ ）的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 1. 角的平分线上的点到角的两边的（ ）相等。 1. 到角的两边的距离相等的点在（ ）上。 1. 用尺规作角的平分线时，需以角的顶点为圆心画弧交两边于两点，再分别以这两点为圆心，以（ ）的长为半径画弧，两弧的交点与顶点的连线即为角的平分线。 1. 角的平分线的性质和判定互为（ ），性质是由 “点在平分线上” 得 “距离相等”，判定是由 “距离相等” 得 “点在平分线上”。 五、详细讲解各部分知识点和要点 知识点1 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点2 角的平分线的判定 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 知识点3 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 六、效果检测 1. 角的平分线是一条线段。（ ） 1. 角的平分线上的点到角的两边的连线相等。（ ） 1. 到角的两边距离相等的点一定在角的平分线上。（ ） 1. 用尺规作角的平分线时，第一次画弧的半径必须大于第二次画弧的半径。（ ） 1. 角的平分线的性质可以用于证明线段相等。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 核心概念：角的平分线是将角分为相等两部分的射线，具有 “到两边距离相等” 的性质。 1. 性质与判定： 0. 性质：角平分线上的点到两边距离相等（由位置到数量）； 0. 判定：到两边距离相等的点在角平分线上（由数量到位置），二者互为逆关系。 1. 尺规作图：明确三步法，依据 SSS 全等判定，关键是 “大于 MN/2 的半径” 确保两弧相交。 1. 应用要点： 0. 运用性质时，需确认 “点在平分线上” 和 “垂直距离” 两个条件； 0. 运用判定时，需保证 “距离相等” 且 “垂直于两边”； 0. 作图后可结合全等三角形证明结论的正确性。 8、 课后作业 1．如图，在中，，平分，若，，点是边上的任意一点，连接，则的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列说法错误的是（   ） A．三角形的外角大于该三角形的任一内角 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．三角形的三条角平分线交于一点 D．全等三角形对应边相等，对应角相等 3．如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 4．如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 5．如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 6．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 7．小鹿和小唯玩尺规作图接力游戏，如图，过的边上一点作．以下作图步骤：①作射线；②以为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交于点；③以点为圆心，的长为半径作弧，交前面的弧于点；④以为圆心，的长度为半径作弧，交于点．若小鹿先开始，则属于小鹿的作图步骤是（　　） A．② B．②③ C．①③ D．③④ 8．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 9．如图，在四边形中，，连接，．若是边上一动点，则的长不可能是（　　） A． B．3 C． D．4 二、填空题 10．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，，则的长为 ． 11．如图，已知于A，于B，且，则 ． 12．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线，，相交于点，平分，已知，，的面积为2.5，则的面积为 ． 三、解答题 13．如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 相等 1. 距离 1. 这个角的平分线 1. 大于两点间距离一半 1. 逆定理 （二）效果检测的答案和解析 1. （×）解析：角的平分线是一条射线，不是线段，该说法错误。 1. （×）解析：应强调 “距离”（垂线段长度），不是 “连线”，该说法错误。 1. （√）解析：这是角的平分线的判定内容，前提是点到两边的距离为垂直距离，该说法正确。 1. （×）解析：第一次画弧的半径与第二次无关，第二次只需大于 MN/2 即可，该说法错误。 1. （√）解析：角的平分线上的点到两边距离相等，可直接证明相关线段相等，该说法正确。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A A D A A B B A 1．A 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点的综合应用，辅助线的作法是解题关键．过点作，当与重合，此时最小，根据角平分线的性质可得最小为，当与重合，此时最大，即最小为，据此范围本题得解． 【详解】解：过点作， 当与重合，此时最小， 平分，，， ， 当与重合，此时最大， ， 的长的范围是， 即B、C、D都在的长的范围内，A不在范围内， 故选：A． 2．A 【分析】依据三角形外角定理、三边关系、角平分线性质、全等三角形定义，逐一判断选项正误 ．本题主要考查三角形外角定理、三边关系、角平分线性质及全等三角形定义，熟练掌握这些知识内容是解题的关键． 【详解】选项A：错误．根据三角形外角定理，外角等于不相邻两内角之和，因此外角大于不相邻的任一内角，但未必大于相邻的内角．例如，若三角形有一内角为钝角（如），其相邻外角为，此时外角小于该钝角内角． 选项B：正确．三角形任意两边之和大于第三边是三角形存在的基本条件． 选项C：正确．三角形三条角平分线交于一点（内心），此为角平分线性质定理． 选项D：正确．全等三角形的定义即为对应边和对应角完全相等． 综上，错误的说法是A． 故选：A ． 3．A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ，， ， ， ． 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键． 根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 5．A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．在上取点G，使得，连结，根据角平分线的性质定理证明，得到，再证明，即可根据三角形面积公式求解． 【详解】解：在上取点G，使得，连结， ，，， ， ， 平分，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， 即阴影部分面积为12． 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定， 作，根据角平分线的性质定理得，再证明，，进得出方程，求出解即可． 【详解】解：过点D作，于点H， ∵是的角平分线，， ∴． 在和中， ， ∴， 同理． 设的面积是x，则的面积是x，根据题意，得 ， 解得， 所以的面积是11． 故选：A． 7．B 【分析】本题考查的知识点是简单的尺规作图，直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序． 本题的解题关键是掌握“尺规作图：画一个角等于已知角”， 作图顺序为：②④③①，即可解答． 【详解】解：根据“尺规作图：画一个角等于已知角”，可知作图顺序为：②④③①， ∴若小鹿先开始，则属于小鹿的作图步骤是②③． 故选B． 8．B 【分析】本题考查三角形中的最短路径，角平分线的性质定理，解题的关键是理解的长度即为最小值． 过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过作于点，交于点，过点作于，如图：    ∵平分于点于， ∴， ∴是最小值，此时与重合与重合， ∵三角形的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为6． 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作交于点H，根据角平分线的性质得出，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点D作交于点H，   ， ， 又，，，， ， 是的角平分线， 又， ， 又， ， 又∵点D是直线上一点， ∴当点P在上运动时，点P运动到与点H重合时最短，其长度为的长，即的长最小值为3， ， 的长不可能是， 故选：A． 10． 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式得到，解关于的方程即可． 【详解】解：为的平分线，于点E，于点F， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．/55度 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形外角的性质，证明点P在的平分线上是本题的关键．由，，，可证点P在的平分线上，可得，由三角形外角性质可求解． 【详解】解：，，， ∴点P在的平分线上， ， ， 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积为， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 13．见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质．根据角平分线的性质得到，再证明，即可得证结论． 【详解】证明：平分，，， ，， 是的中点， 在和中， ， ∴， ． $$