1.2 有理数及其大小比较 暑期预习讲义 2025—2026学年人教版数学七年级上册

2025-2026学年七年级上册数学人教版暑期预习讲义 1.2 有理数及其大小比较 【知识点梳理】 一、有理数的概念 1.定义： （1）整数和分数统称为有理数。 （2）整数包括正整数、零、负整数。例如：5，0， -3等都是整数。 （3）分数包括有限小数和无限循环小数。像0.25（有限小数，可化为分数），（无限循环小数，可化为分数）等都是分数。 2.要点诠释： （1）有理数是能够表示为两个整数之比的数，这是有理数区别于无理数的重要特征。无理数是无限不循环小数，如、π等，它们不属于有理数范畴。 （2）注意“0”的归属，它既不是正数也不是负数，但它是整数，所以也是有理数。 二、有理数的分类 1.按定义分类： （1）有理数可分为整数和分数两大类。 （2）整数又可细分为正整数、零、负整数；分数可细分为正分数、负分数。 （3）例如：正整数如3，正分数如，负整数如 -2，负分数如 -。 2.按性质符号分类： （1）有理数可分为正有理数、零、负有理数。 （2）正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。 （3）例如：正有理数有2、等，负有理数有 -1、 -等。 3.要点诠释： （1）两种分类方法都要熟练掌握，不同的分类方式有助于从不同角度理解有理数的构成。 （2）在分类时要注意标准统一，避免重复和遗漏。比如不能把一个数既分到正整数里又分到正分数里。 三、数轴 1.定义： （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 （2）原点是数轴上表示0的点；正方向一般规定向右为正方向；单位长度是根据实际需要选取的衡量线段长度的标准。 2.要点诠释： （1）数轴是数形结合的重要工具，它能直观地表示数的大小和相互关系。 （2）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不一定都表示有理数（还可能表示无理数）。 （3）画数轴时，三要素缺一不可，并且要根据所表示数的范围合理选取单位长度。 四、相反数 1.定义： （1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （2）一般地，a和 -a互为相反数，特别地，0的相反数是0。 （3）例如：3和 -3互为相反数， -2.5和2.5互为相反数。 2.要点诠释： （1）互为相反数的两个数在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等。 （2）求一个数的相反数只需改变其符号即可，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。 五、绝对值 1.定义： （1）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 （2）例如：|3| = 3，表示数轴上表示3的点到原点的距离是3；|-2| = 2，表示数轴上表示 -2的点到原点的距离是2。 2.要点诠释： （1）绝对值是一个非负的数值，即|a| ≥ 0。 （2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。可以总结为：当a ≥ 0时，|a| = a；当a < 0时，|a| = -a。 六、有理数的大小比较 1.利用数轴比较大小： （1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）例如：在数轴上表示出2和 -1，因为2在 -1的右边，所以2 > -1。 2.利用法则比较大小： （1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 （2）两个负数，绝对值大的反而小。 （3）例如：比较 -2和 -3，先求它们的绝对值，|-2| = 2，|-3| = 3，因为3 > 2，根据“两个负数，绝对值大的反而小”，所以 -2 > -3。 3.要点诠释： （1）利用数轴比较大小直观形象，是理解有理数大小关系的重要方法，要熟练掌握通过数轴上点的位置判断数的大小。 【小结（思维导图）】 【巩固练习】 一、选择题 1．下列各数中，是负整数的是（　　） A． B． C． D．2025 2．下列给出的数轴中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 4．如图，点M表示的数可能是（　　） A．1.5 B． C．2.5 D． 5．的相反数是（　　） A． B．2025 C． D． 6．小明在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，判断墨迹盖住的整数共有（　　）个 A．11 B．9 C．10 D．8 7．一个数的相反数是它本身，则该数为（　　） A． B． C． D．不存在 8．已知，则m的值可能是（　　） A． B．2 C． D．无法确定 9．下列比较大小正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．下列各数：，，6，0，，，其中非负数有　 　个． 11．在数轴上，点M到原点的距离为8个单位长度，则点M表示的数是　 　． 12．写出一个绝对值小于4的负整数：　 　． 13．若，则　 　． 14．如图，数轴上A，B两点表示的两个数互为相反数（一格表示单位长度为1），则点C表示的数是 　 　． 15．比较大小：　 　（填“＞”“＜”或“＝”） 16．下列说法中错误的有　 　(填序号) ①绝对值是它本身的数有两个，它们是0和1． ②一个数的绝对值必为正数． ③2的相反数的绝对值是2． ④任何数的绝对值都不是负数． 三、解答题 17．把下列各数分别填入相应的集合内 ，，0，，12，，，，． 负有理数集合{ } 正分数集合{ } 非负整数集合{ } 18． 如图， 写出数轴上点A，B， C， D，E表示的数. 19．求下列各数的相反数和绝对值： 20．如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： （1）若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为　 　； （2）若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？ （3）若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？ 21．如图所示，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题． （1）如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是　　　　． （2）　　　　；如果点B，E表示的数互为相反数，那么哪一个点表示的数的绝对值最小？ 参考答案 1．B 2．C 3．D 4．D 5．B 6．B 7．A 8．A 9．C 10．4 11．或8 12． 13．0 14．-1 15． 16．①② 17．，，，；，；0，12 18．解：点A表示的数是0 ， 点B表示的数是 -2 ， 点C表示的数是 1 ， 点D表示的数是2.5 ， 点E表示的数是 -3 ． 19．解： 的相反数，即；的绝对值，即； 2.5的相反数，即-2.5；2.5的绝对值，即； 的相反数，即；的绝对值，即； 13.5的相反数，即-13.5；13.5的绝对值，即； 的相反数，即；的绝对值，即 20．（1） （2） （3） 21．（1） （2）5，C点表示的数的绝对值最小 学科网（北京）股份有限公司 $$