第二十四章 圆 单元测试 2025—2026学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试 一、选择题 1.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝25°，那么∠ACB的大小为（　　） A.45° B.55° C.65° D.75° 2.如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝120°，则的长为（　　） A. B.π C. D.2π 3.东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝（）向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（　　） A.点A B.点B C.点C D.点D 4.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　） A.12 B.13 C.14 D.15 5.在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（　　） A.与x轴相交，与y轴相切 B.与x轴相离，与y轴相交 C.与x轴相切，与y轴相交 D.与x轴相切，与y轴相离 6.如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，点P是劣弧DE上一点，连接AC、AP、CP，则∠ACP+∠CAP的度数是（　　） A.72° B.108° C.128° D.144° 7.如图，有一个破损的扇形零件，小明利用图中的量角器量出了这个扇形零件的圆心角度数，以下选项中哪个是小明的测量结果（　　） A.30° B.45° C.60° D.120° 8.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝12，则的长为（　　） A.45π B.4π C.2π D.π 9.在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在点（1，0），半径为2，则下面各点在⊙O上的是（　　） A.（2，0） B.（0，2） C.（0，） D.（，0） 10.如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（　　） A. B. C. D. 11.“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y cm与时间xh的数据： 如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到8cm时是（　　） A.8：30 B.9：30 C.10：00 D.10：30 12.剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形A1B1C1D1E1F1G1H1的面积为S1．图中阴影部分面积S2，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 13.已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是 　      　． 14.用反证法证明：“若a≥b＞0，则a2≥b2”，应先假设 　 　． 15.如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线AE为⊙O的直径，连接HE，则∠AEH的度数为 　     　． 16.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D均为的三等分点，点E为线段OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 　    　． 17.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、C、D均在小正方形的顶点上，点C、A、D、B均在所画的弧上，若∠CAB＝75°，则的长为 　　． 三、解答题 18.如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G， 求证：． 19.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°． （1）求∠BOC的度数． （2）求∠EDF的度数． 20.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm，求AF、BD、CE的长． 21.如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE， （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AD＝4，DF＝5，求CF的长． 22.已知如图，Rt△ABC中，内切圆O的半径r＝1．求：S△ABC的最小值． 人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝25°，那么∠ACB的大小为（　　） A.45° B.55° C.65° D.75° 【答案】C 【解析】解：∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∴∠ACB＝∠AOB＝65°， 故选：C． 2.如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝120°，则的长为（　　） A. B.π C. D.2π 【答案】C 【解析】解：∵∠C＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠BOD＝2∠A＝120°， ∴的长为：＝． 故选：C． 3.东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝（）向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（　　） A.点A B.点B C.点C D.点D 【答案】A 【解析】根据题意知，的长度为：π×1≈×3＝1.5， 则与拉直后铁丝N端的位置最接近的是点A． 4.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　） A.12 B.13 C.14 D.15 【答案】C 【解析】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a， ∵CE与半圆O相切于点F， ∴AE＝EF，BC＝CF， ∵EF+FC+CD+ED＝12， ∴AE+ED+CD+BC＝12， ∵AD＝CD＝BC＝AB， ∴正方形ABCD的边长为4； 在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1， ∵AE+EF+FC+BC+AB＝14， ∴直角梯形ABCE周长为14． 故选：C． 5.在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（　　） A.与x轴相交，与y轴相切 B.与x轴相离，与y轴相交 C.与x轴相切，与y轴相交 D.与x轴相切，与y轴相离 【答案】C 【解析】解：∵点（﹣3，4）是圆心， ∴圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离是3． ∵圆的半径为4， ∴圆心到x轴的距离等于圆的半径，圆心到到y轴的距离小于圆的半径， ∴圆与x轴相切，与y轴相交． 故选C． 6.如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，点P是劣弧DE上一点，连接AC、AP、CP，则∠ACP+∠CAP的度数是（　　） A.72° B.108° C.128° D.144° 【答案】B 【解析】解：∵正五边形ABCDE的内角和为180°（5﹣2）＝540°， ∴∠B＝540°÷5＝108°， ∵四边形ABCP是圆的内接四边形， ∴∠P＝180°﹣108°＝72°， 在三角形ACP中， ∠ACP+∠CAP＝180°﹣72°＝108°， 故选：B． 7.如图，有一个破损的扇形零件，小明利用图中的量角器量出了这个扇形零件的圆心角度数，以下选项中哪个是小明的测量结果（　　） A.30° B.45° C.60° D.120° 【答案】C 【解析】解： 如图，∠AOB=60°， ∵∠COD =∠AOB， ∴∠COD=60°， 即这个扇形零件的圆心角度数是60°， 故选：C． 8.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝12，则的长为（　　） A.45π B.4π C.2π D.π 【答案】C 【解析】解：如图，连接OC， 则， ∵CD∥AB，∠BCD＝30°， ∴∠ABC＝∠BCD＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°， 则的长为， 故选：C． 9.在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在点（1，0），半径为2，则下面各点在⊙O上的是（　　） A.（2，0） B.（0，2） C.（0，） D.（，0） 【答案】C 【解析】解：A、点（2，0）到⊙O的圆心（1，0）的距离为：2﹣1＝1＜2，所以点（2，0）在⊙O内，错误； B、点（0，2）到⊙O的圆心（1，0）的距离为：＞2，所以点（2，0）在⊙O外，错误； C、点（0，）到⊙O的圆心（1，0）的距离为：＝2，所以点（2，0）在⊙O上，正确； D、点（，0）到⊙O的圆心（1，0）的距离为：﹣1＜2，所以点（2，0）在⊙O内，错误； 故选：C． 10.如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，连接AC. ∵CD为直径，CD⊥AB，A，O，E共线且AE⊥BC于E. ∴直线CD垂直平分线段AB，直线AE垂直平分线段BC ∴AC=BC=AB ∴△ABC为等边三角形 ∵AC=AB=BC，且AE⊥BC， ∴∠BAE=∠30°（三线合一） ∵AO＝1， ∴OF＝AO＝， 由勾股定理，得AF＝OF＝， 同理CE＝，OE＝， ∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O， 由垂径定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝， ∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO＝××+××＝． 故选：B． 11.“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y cm与时间xh的数据： 如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到8cm时是（　　） A.8：30 B.9：30 C.10：00 D.10：30 【答案】B 【解析】解：设y与x的关系式为y＝kx+b， ∵点（1，6），（2，10）在该函数上， ∴， 解得：， ∴y与x的函数表达式为y＝4x+2； ∴当y＝8时，即4x+2＝8， 解得：x＝1.5， 即当圆柱体容器液面高度达到8cm时是9：30． 故选：B． 12.剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形A1B1C1D1E1F1G1H1的面积为S1．图中阴影部分面积S2，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：设B1H1交A1C1于点I，交A1G1于点K，作A1L⊥IK于点L，则∠A1LI＝∠A1LK＝90°， ∵A1B1＝C1B1＝A1H1＝G1H1，∠A1B1C1＝∠A1H1G1＝∠B1A1H1＝×（8﹣2）×180°＝135°， ∴∠A1H1B1＝∠A1B1H1＝∠B1A1C1＝∠B1C1A1＝∠H1A1G1＝∠H1G1A1＝×（180°﹣135°）＝22.5°， ∴∠IA1K＝135°﹣22.5°﹣22.5°＝90°，∠A1IK＝∠A1KI＝22.5°+22.5°＝45°， ∴A1I＝A1K＝H1K， 设阴影部分的正八边形的边长为2a，则IK＝2a，A1L＝IL＝KL＝IK＝a， ∴H1K＝A1K＝＝a， ∴H1L＝a+a， ∴A1＝A1L2+H1L2＝a2+（a+a）2＝（4+2）a2， ∵IK2＝（2a）2＝4a2， ∴＝＝1+， ∵两个正八边形相似， ∴＝＝1+， 故选：B． 二、填空题 13.已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是 　      　． 【答案】相离 【解析】∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x+1）（x﹣3）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3， ∴⊙O的半径为r＝3， ∵圆心O到直线l的距离d＝4， ∴d＞r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离； 故答案为：相离． 14.用反证法证明：“若a≥b＞0，则a2≥b2”，应先假设 　 　． 【答案】a2＜b2 【解析】解：用反证法证明“若a≥b＞0，则a2≥b2”的第一步是假设a2＜b2， 故答案为：a2＜b2． 15.如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线AE为⊙O的直径，连接HE，则∠AEH的度数为 　     　． 【答案】22.5° 【解析】解：如图，连接OH， ∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O， ∴∠AOH＝＝45°， ∵对角线AE为⊙O的直径， ∴∠AEH＝∠AOH＝22.5°． 故答案为：22.5°． 16.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D均为的三等分点，点E为线段OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 　    　． 【答案】 【解析】解：作关于OB的对称弧，点C关于OB的对称点点M，连接OD，OM，EM，OC，则点M是的三等分点， ∵C，D均为的三等分点，∠AOB＝90°， ∴＝且都等于60°，等于30°， ∴等于90°，＝， ∴∠MOD＝90°， ∵作关于OB的对称弧，点C关于OB的对称点点M， ∴EC＝EM， ∴根据两点之间线段最短得当点D、E、M三点共线时，EC+ED＝EM+ED＝DM最小，即阴影部分周长的最小， ∴EC+ED的最小值， 阴影部分周长的最小值是， 故答案为：． 17.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、C、D均在小正方形的顶点上，点C、A、D、B均在所画的弧上，若∠CAB＝75°，则的长为 　　． 【答案】2π 【解析】解：取CD的中点O，连接OB、OA、AD， ∵小正方形的边长为1， ∴CD＝6， 即CO＝OD＝3， 由勾股定理得：AC＝AD＝＝3， ∴AC2+AD2＝（3）2+（3）2＝18+18＝36， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△CAD是等腰直角三角形， ∴∠ADC＝45°，∠CAD＝90°， ∴CD是⊙O的直径，半径OA＝3， ∴∠ABC＝∠ADC＝45°， ∵∠BAC＝75°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∴的长是＝2π． 三、解答题 18.如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G， 求证：． 【答案】证明：连接AF， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF． ∴∠GAE＝∠EAF． ∴． 【解析】 19.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°． （1）求∠BOC的度数． （2）求∠EDF的度数． 【答案】解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F， ∴BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝35°， ∴∠BOC＝180°﹣30°﹣35°＝115°； （2）如图所示；连接OE，OF． ∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣60°﹣70°＝50°． ∵AB是圆O的切线， ∴∠OFA＝90°． 同理∠OEA＝90°． ∴∠BAC+∠EOF＝180°． ∴∠EOF＝130°， ∴∠EDF＝∠EOF＝65°． 【解析】 20.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm，求AF、BD、CE的长． 【答案】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F， ∴AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD， ∵AB＝18cm，BC＝28cm，CA＝26cm， ∴AF+BF＝18cm，BD+CD＝28cm，AE+CE＝26cm， ∴AF＝8cm，BD＝10cm，CE＝18cm． 【解析】 21.如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE， （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AD＝4，DF＝5，求CF的长． 【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， ∵DE∥AB， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠EBD＝∠BDE， ∴∠DEF＝2∠BDE， ∵EF＝DE， ∴∠F＝∠EDF， ∴∠DEF+∠EDF+∠F＝2∠BDE+2∠EDF＝180°， ∴∠BDE+∠EDF＝90°， ∴BD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：连接DC， ∵BD平分∠ABC， ∴AD＝DC＝4， CF＝＝＝3， ∴CF的长为3． 【解析】 22.已知如图，Rt△ABC中，内切圆O的半径r＝1．求：S△ABC的最小值． 【答案】解：∵Rt△ABC中，内切圆O的半径r，三角形三个边分别为：a、b、c， ∴S△ABC＝ab， 设S△ABC＝S△， ∴ab＝2S△， ∵2r＝a+b﹣c， ∴c＝a+b﹣2r， ∴a+b﹣2r＝． 两边平方，得a2+b2+4r2+2ab﹣4（a+b）r＝a2+b2， 4r2+2ab﹣4（a+b）r＝0， 将r＝1，ab＝2S△代入，得： 4+4S△﹣4（a+b）＝0，a+b＝S△+1， ∵ab＝2S△且a+b＝S△+1， ∴a，b是方程x2﹣（S△+1）x+2S△＝0的两个根． ∵a，b是正实数， ∴△≥0，即[﹣（S△+1）]2﹣4×2S△≥0， ﹣6S△+1≥0． 解得S△或S△≤3﹣2，S△≤3﹣2不合题意舍去． ∴S△ABC的最小值是． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$