函数奇偶性讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考）

全国新高考数学核心考点解读----函数奇偶性 一.考点解读 （一）.历年真题考查情况：函数奇偶性是全国新高考卷的核心考点之一，从2020年开始大多数年份考到了函数奇偶性.2020年全国新高考、新高考卷第8题，2021年全国新高考第13题、新高考卷第8题和第14题，2022年全国新高考第12题，2023年全国新高考第11题、新高考卷第4题，2024年全国卷第6题，2025年全国新高考第5题、新高考卷第10题. （二）.历年真题常考题型 题型一：已知奇偶性求参数值 题型二：奇偶性与函数图像综合 题型三：利用奇偶性和单调性解不等式 题型四：奇偶性和周期性综合 题型五：奇偶性与单调性、周期性以及导数的综合应用 （3） 备考建议 预计函数的奇偶性在未来的全国卷中仍为核心考点，基本出现在选择题和填空题中，大家务必要深刻理解函数奇偶性的定义，掌握好函数奇偶性的本质，以不变应万变，把这个考点的分数全部拿到手. 二.真题再现 题型一：已知奇偶性求参数值 例1.（1）（2021年全国新高考I卷第13题）已知函数是偶函数，则 . 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 （2）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学第4题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 题型二：奇偶性与函数图像综合 例2．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 题型三：利用奇偶性和单调性解不等式 例3．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学第8题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 题型四：奇偶性和周期性综合 例4．（2021年全国新高考II卷数学第8题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 例5．（2025年全国新高考Ⅰ卷数学第5题 ）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 题型五：奇偶性与单调性、周期性以及导数的综合应用 例6．（2021年全国新高考II卷数学第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【分析】根据幂函数的性质可得所求的. 【详解】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 例7．（多选）（2022年新高考全国I卷数学第12题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 例8．（多选）（2023年新高考全国I卷数学第11题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 例9．（2025年全国新高考II卷数学第10题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国新高考数学核心考点解读----函数奇偶性 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：函数奇偶性是全国新高考卷的核心考点之一，从2020年开始大多数年份考到了函数奇偶性.2020年全国新高考、新高考卷第8题，2021年全国新高考第13题、新高考卷第8题和第14题，2022年全国新高考第12题，2023年全国新高考第11题、新高考卷第4题，2024年全国卷第6题，2025年全国新高考第5题、新高考卷第10题. （二）．历年真题常考题型 题型一：已知奇偶性求参数值 题型二：奇偶性与函数图像综合 题型三：利用奇偶性和单调性解不等式 题型四：奇偶性和周期性综合 题型五：奇偶性与单调性、周期性以及导数的综合应用 （3） 备考建议 预计函数的奇偶性在未来的全国卷中仍为核心考点，基本出现在选择题和填空题中，大家务必要深刻理解函数奇偶性的定义，掌握好函数奇偶性的本质，以不变应万变，把这个考点的分数全部拿到手. 二．真题再现 题型一：已知奇偶性求参数值 例1.（1）（2021年全国新高考I卷第13题）已知函数是偶函数，则 . （2）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学第4题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 题型二：奇偶性与函数图像综合 例2．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型三：利用奇偶性和单调性解不等式 例3．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学第8题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：奇偶性和周期性综合 例4．（2021年全国新高考II卷数学第8题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 例5．（2025年全国新高考Ⅰ卷数学第5题 ）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 题型五：奇偶性与单调性、周期性以及导数的综合应用 例6．（2021年全国新高考II卷数学第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 例7．（多选）（2022年新高考全国I卷数学第12题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 例8．（多选）（2023年新高考全国I卷数学第11题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 例9．（2025年全国新高考II卷数学第10题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 学科网（北京）股份有限公司 $$