7.3《二元一次方程组的应用》（配比问题与行程问题）课件 2024-2025学年 鲁教版（五四制）七年级下册

7.3 二元一次方程组的应用 ——配比问题与行程问题 1.会借助列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，利用二元一次方程组。 2.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世S界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。 3.通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。 学习目标 某食品厂要配制含蛋白质15%的食品100kg，现在有含蛋白质分别为20%，12%的甲乙两种配料.用这两种配料可以配制出所要求的食品吗?如果可以的话，它们各需多少千克? 本问题涉及的等量关系有: 甲配料质量+乙配料质量=总质量， 甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量=总蛋白质质量. 分析 解：设含蛋白质20%的配料需用x kg,含蛋白质12%的配料需用y kg.. 根据等量关系，得 x＋y=100， 20%x＋12%y=100·15%， 解这个方程组，得 x＝37.5 y＝62.5 答:可以配制出所要求的食品，其中含蛋白质20%的配料需用37.5 kg，含蛋白质12%的配料需用62.5 kg. 代入消元法 设两个未知数 实际问题 列二元一次 方程组 解方程组 检验解是否 符合实际情况 分析等量关系 例 １ 巩固练习1 解：设合金中含金xg，含银y g，则 [选教材P16 练习 第1题] x＋y=250， 解得 x＝190， y＝60. 答：合金中含金190g，含银60g. 本问题涉及的等量关系有: 金的重量+银的重量=总重量， 金在水中减去重量+银在水中减去重量=合金在水中减去的总重量. 分析 1.一块金与银的合金重250g，放在水中称，减轻了16g.已知金在水中称，金重减轻 ；银在水中称，银重减轻 .求这块合金中含金、银各多少克. 2 商品销售问题 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%，如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？ 解：设此商品的定价为x元，进价为y元. 可列方程为 0.9x-y=20%y, 0.8x-y=10, 解得 x=200, y=150. 答：商品的定价为200元。 分析：商品的利润涉及进价、标价和售价，设此商品的定价为x元，进价为y元，打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，列得方程0.9x-y=20%y;打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10. 知识点： (1)销售问题中的等量关系： (2)提价问题中的等量关系： 巩固练习2 [选教材P16 练习 第2题 ] 解：设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元，y元，则 x＋y=100， 90%x＋140%y=120%（x＋y）， 解得 x＝40， y＝60. 答：甲、乙两种商品原来的单价分别为40元、60元. 本问题涉及的等量关系有: 甲的单价+乙的单价=100元， （1-10%）甲的单价+（1+40%）乙的单价=（1+20%）×100元. 分析 2.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%. 求甲、乙两 种商品原来的单价. 2 储蓄问题 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱.（注：利息所得税=利息金额×20%，教育储蓄免税） 解：设教育储蓄存款x元，存一年定期存款为y元. 可列方程为 x+y=2000, (1+2.25%)x+[1+2.25%(1-20%)]y=2042.75, 解得 x=1500, y=500. 答：教育储蓄存款1500元，一年定期存款500元。 教育储蓄 定期储蓄 合计 现在 x y 2000 一年后 (1+2.25%)x [1+2.25%(1-20%)]y 2042.75 变式训练 解得 x=2.25%, y=0.99%. 答：两种储蓄的年利率分别是2.25%，0.99%。 分析：题中等量关系为： 两种储蓄的税后利息和=43.92元； 两种储蓄的年利率和=3.24%. 解：设两种储蓄的年利率分别是x、y. 可列方程为 x+y=3.24%, (2000x+1000y)×80%=43.92, 李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元；已知这两种储蓄年利率的和为3.24%，求这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：利息所得税=利息金额×20%） 4 增长率问题 某城市现在人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市现在的城镇人口与农村人口。 分析：题中的等量关系为： 城镇人口+农村人口=42万； 城镇人口×(1+0.8%)+农村人口×(1+1.1%)=42×(1+1%) 解：设现在城镇人口为x万，农村人口为y万. 可列方程为 x+y=42, (1+0.8%)x+(1+1.1%)y=42×(1+1%), 解得 x=14, y=28. 答：现在城镇人口为14万，农村人口为28万。 探究一 “配比问题” 一、按比例分配问题 例1：用如图①的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式或横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？ ① ② 第一种 第二种 解：设做第一种x个，第二种y个， 由题意,得： 解得： 答：做第一种纸盒200个，第二种纸盒400个. 问题探究 等量关系： 两种长方体长方形共2000个，正方形共1000个. 长方形4个， 正方形1个 长方形3个， 正方形2个 二、原料混合问题 例2：用含药30％和75％的两种防腐药水，配置含药50％的防腐药水18千克，两种药水各需多少千克？ 由题意,得： 解得： 解：设含药30％的防腐药水需要x千克，含药75％的防腐药水需要y千克， 答：含药30％的防腐药水需要10千克，含药75％的防腐药水需要8千克. 等量关系： 配置前后： ①药水的质量（重量）守恒（不变） ②药的质量（重量）守恒（不变） 二、配套问题 例3：某种仪器由2个A部件和3个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件900个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件正好配套？ 由题意,得： 解得： 解：设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件， 答：应安排6人生产A部件，安排8人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件正好配套. 原方程组变形为 等量关系： ①共有工人16名 ②A,B零件总量之比为2：3 探究二 “行程问题” 路程=速度×时间 行程问题： 总路程=甲走的路程+乙走的路程 相遇问题： a.同地不同时出发： 追及问题： 被追及者走的路程=追及者走的路程 b.同时不同地出发： 被追及者走的路程+两地间的距离=追及者走的路程 水流问题： 顺水行程=（静水速度+水流速度）×顺水时间 逆水行程=（静水速度-水流速度）×逆水时间 一、环形跑道“相遇、追及”问题 例1：甲乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑.如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过250秒甲第一次追上乙.求甲、乙两人速度. 由题意,得： 解得： 解：设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒， 答：甲的速度为8.8米/秒，乙的速度为7.2米/秒. 等量关系： ①甲总路程+乙总路程=跑道周长 ②甲总路程－乙总路程=跑道周长 二、直行跑道“相遇、追及”问题 例2：甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5小时后相遇.试问两人的速度各是多少？ 由题意,得： 解得： 解：设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h， 答：甲的速度为5km/h，乙的速度为3km/h. 等量关系： ①甲总路程－乙总路程=4 ②甲总路程+乙总路程=4 三、上下坡问题 例3：小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需要10min，从学校到家里需要15min.问小华家离学校多远？ 由题意,得： 解得： 解：设小华家到学校平路长xm，下坡路长ym， 300+400=700（m）. 答：小华家到学校距离为700m. 等量关系： ①平路用时+下坡路用时=10 ②上坡路用时+平路用时=15 平路：60 m/min 下坡路：80 m/min 上坡路：40 m/min 例4：甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流用时3小时，逆流用时4小时，求船在静水中的航速及水流速度. 四、顺逆航行问题 由题意,得： 解得： 解：设船在静水中的航速为xkm/h，水流速度为ykm/h， 答：船在静水中的航速为17.5km/h，水流速度为2.5km/h. 探究三 “工程问题” 工作总量=工作时间×工作效率 工作时间=工作总量÷工作效率 全部工作量=各队工作量之和 各队合作工作效率=各队工作效率之和 工作效率=工作总量÷工作时间 例：为了打造环湖风光带，现有一段长88米的河道清淤任务由甲、乙两个工程队先后接力完成.已知甲工程队每天清理10米，乙工程队每天清理8米，共用时10天，则甲、乙工程队各清理了几天？ 由题意,得： 解得： 解：设甲工程队清理了x天，乙工程队清理了y天， 甲 乙 甲和乙 工作时间/天 工作效率/（米/天） 工作总量/米 答：甲工程队清理了4天，乙工程队清理了6天. x y 10 10 8 10x 8y 88 探究四 “经济问题” 总价=单价×数量 利润=售价-成本 售价=成本（进价）×（1+利润率） 实际售价=标价×折扣 利润=成本（进价）×利润率 打几折就是按标价的十分之几出售 例：某超市投入12000元资金购进A,B两种品牌的矿泉水共600箱，矿泉水的售价和进价如表所示. （1）该超市购进A，B两种品牌的矿泉水各多少箱？ （2）该超市将矿泉水全部销售完共获得多少利润？ 由题意,得： 解得： 解：（1）设该超市购进A品牌矿泉水x箱，B品牌矿泉水y箱. 进价/（元/箱） 售价/（元/箱） A品牌 15 30 B品牌 30 40 A品牌 B品牌 合计 购进数量/箱 购进成本/元 x y 600 15x 12000 30y 答：该超市购进A品牌矿泉水400箱，B品牌矿泉水200箱. （2）（30-15）×400+（40-30）×200=8000（元） 答：该超市将矿泉水全部销售完共获利8000元. 1.某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元，今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总收入、总支出各是多少万元? 设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有 总收入/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 x y 200 今年 （1+20％）x （1-10％）y 780 分析： 课堂练习 解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元。 根据题意得: 解得: 答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元. 你还有其他做法吗？ 设每餐需要甲、乙两种原料各x,y克，列表分析可得： 甲原料x克 乙原料y克 所配制的营养品 其中含蛋白质量 0.5x单位 0.7y单位 35单位 其中含铁质量 x单位 0.4y单位 40单位 分析： 2. 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ 解：设每餐需要甲、乙两种原料分别为x克,y克。 根据题意可得： 答：每餐需甲原料28克，乙原料30克。 解得: 甲行走的路程 乙行走的路程 甲乙两人行走的路程之和 第一种情况 （甲先走2h） （2+2.5）x 2.5y 36 第二种情况 （已先走2h） 3x （2+3）y 36 设甲、乙两人每时分别行走xkm,ykm,填写下表并求x,y的值。 分析： 3.甲、乙两人从相距36km的两地相向而行．如果甲比乙先走2h,那么他们在乙出发2. 5h后相遇；如果乙比甲先走2h,那么他们在甲出发3h后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米？ 解：设甲、乙两人每时分别行走xkm,ykm。 根据题意可得： 答：甲、乙两人每时分别行6km,3.6km。 解得: 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 2.4 2 零售价/（元/kg） 3.6 2.8 4.某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 设经营户从批发市场批发了黄瓜和茄子各x千克、y千克. 黄瓜 茄子 总计 数量/千克 批发价/元 x y 40 2.4x 2y 90 解:设经营户从批发市场批发了黄瓜和茄子各x千克、y千克. 根据题意,得: x+y=40 2.4x+2y=90 解得 x=25 y=15 ∴利润为： (3.6-2.4)x+(2.8-2)y=42(元) 答：他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚42元. 5. 汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？ 解：设从甲地到乙地上坡路x千米，下坡路y千米. 解方程组,得: 由题意,得： 答：从甲地到乙地上坡路70千米，下坡路84米. 生活中的具体问题 列表分析 二元一次方程组 解决问题 求解 等量关系 化难为简 课堂小结 $$