7.3 二元一次方程组的应用-鸡兔同笼 课件 2024--2025学年 鲁教版（五四制）七年级数学下册

第七章 二元一次方程组 7.3 二元一次方程组的应用 鸡兔同笼 二元一次方程组的解法： 1. 代入消元法： 2. 加减消元法： (5)检验：检验并表示出方程组的解。 (1)变形：将一个未知数用含有另外一个未知数的代数式表示出来； (2)代入：将此代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数； (3)求解：解一元一次方程，得一个未知数的值； (4)回代：代回代数式求出另一个未知数的值； 通过两式相加（减）消去其中一个未知数。 课前回顾 1.能根据具体问题中的数量关系，找出等量关系，从而列出二元一次方程组解决简单的实际问题（重点）； 2.在解决实际问题过程中，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效的数学模型，培养数学应用能力. 3. 通过交流，体会我国古代数学的光辉成就，体验古代数学的趣味性，激发学生对数学的好奇心和求知欲. 学习目标 《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国. 导入新知 《孙子算经》中记载的算法： 金鸡独立，兔子站起 脚数： 头数： 47－35=12（只） 94÷2=47（只） 35－12=23（只） “鸡兔同笼”题为: 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何? “上有三十五头”的意思是什么? “下有九十四足”的意思是什么? 探究一 列二元一次方程组解古算题 探究新知你 35 94 足 头 总数 x+y=35， 2x+4y=94. { x y 4y 2x “鸡兔同笼”题为:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?你们能根据题意找出题中的等量关系吗？ 等量关系： { 鸡脚+兔脚=94. 鸡头+兔头=35, 解：设鸡为x 只,兔为y 只.则 ① ② 解法一: (加减消元法) ①×2 得： 2x+2y=70 ③ ②-③得： 2y=24， y=12. 把 y=12 代入①，得：x=23 所以有鸡23只，兔12只. 原方程组的解是 x=23 y=12 解法二: （代入消元法） 由①得，x =35- y ③ 把③代入②，得2（35- y）+4y=94, y=12. 把y=12代入①，得x=23 所以鸡有23只，兔子有12只． 所以原方程组的解为 x=23 y=12 归纳：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤 审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题目中的等量关系； 设：用字母表示题目中的两个未知数； 列：根据找出的等量关系列出方程组； 解：解方程组，求得未知数的值； 找：通过审题找出等量关系； 答：写出答案，包括单位名称. 方法总结 例1：以绳测井 若将绳三折测之，绳多五尺； 若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？ (1)“将绳三折测之，绳多五尺”，什么意思？ (2)“若将绳四折测之，绳多一尺”，又是什么意思？ 议一议 典型例题 题意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？ 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？ 绳长的 - 井深=5 绳长的 - 井深=1 等量关系： 答：绳长48尺，井深11尺. 解：设绳长 尺，井深 尺，由题意，得： 1.今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？ 及时训练 题目大意：5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？ 解:设每头牛值“金”x两,每头羊值“金”y两, 由题意,得： 解得： 等量关系： 5头牛价值+2只羊价值=10两金 2头牛价值+5只羊价值=8两金 答：羊值“金” 两，牛值“金” 两. 解：设有x个人，y两银. 由题意得： 答：有11个人，61两银. 1.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证： 解得： 探究二 列二元一次方程组解答几何问题 探究新知你 请提取数学信息 转换成数学语言： A D C B 例2：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？ 已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2. 把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？ 问题分析 目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4 方法1 方法2 长方形的面积分割 动手试着画一画 这里研究的实际上是什么问题？ 我们可以画出示意图来帮助分析 竖着画，把长分成两段，则宽不变 横着画，把宽分成两段，则长不变 1.大长方形的长=200m 2.甲、乙两种作物总产量比=3:4 A D C B 等量关系式有几个？ F E A D C B F E 1.大长方形的宽=100m 2.甲、乙两种作物总产量比=3:4 等量关系式有几个？ A D C F B E 1.大长方形的长=200m 2.甲、乙两种作物总产量比=3:4 设AE＝xm，BE＝ym. 先求出两种作物的面积 SAEFD=100x SEFCB=100y 再写出两种作物的总产量 甲：100x×1 乙：100y×2 则列方程为 100x:200y=3:4 总产量= ？ x y 200m 100 如何设未知数呢？ 则列方程为 x+y=200 单位面积产量×面积 方法1 竖着画，把长分成两段，则宽不变 根据题意列方程组为 100x:200y=3:4 x+y=200 解得 x=120 y=80 解： 过点E作EF⊥AB，交CD于点F. 设AE＝xm，BE＝ym. 答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 解法一 方法1 竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D C F B E x y 200m 100 甲种作物 乙种 作物 原方程组变形为 4×100x=3×200y x+y=200 不是二元一次方程 A D C B E x y F 乙种作物 甲种作物 解：过点E作EF⊥BC，交BC于点F. 200y 200x x+y=100 200x:400y=3:4 x=60 y=40 解得 根据题意列方程组为 200m 100m 答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 方法2 解法二 横着画，把宽分成两段，则长不变 设DE＝xm，AE＝ym. 原方程组变形为 4×200x=3×400y x+y=100 例3：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时一天约用饲料940kg，饲养员李大叔估计每头大牛一天约需饲料18~20kg，每头小牛一天约需饲料7~8kg，你认为李大叔估计的准确吗？ 解：设每头大牛和小牛平均一天各需用饲料为xkg和ykg， 根据题意,得 解得： ∴每头大牛一天需饲料20kg，每头小牛一天需饲料5kg. 故饲养员李大叔估计每头大牛一天约需饲料18~20kg，正确；每头小牛一天需饲料7~8kg，不正确. 剧情发展 随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？ 解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人， 根据题意,得 解得： 答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人. 1.某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分． 若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ） B. C. D. D 课堂检测 x+y=10 6x+8y=68 2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为______________． 3.用一根绳子围绕一个大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？只列方程组. 4. 甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为(　 ). B 解：设每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别为x元和y元， 解得 则 5.某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需资金4 120元．则每台电脑机箱和液晶显示器的进价各多少元？ 答：每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别是60元、800元． 解:设有x匹大马, y匹小马, 根据题意,得 解此方程组得： x =25, y=75. 答：有25匹大马，75匹小马. 6.100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉一片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？ 7.100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个，3个小和尚分一个，问有多少个大和尚、多少个小和尚？ 课堂小结 列一元一次方程解应用题的步骤是： $$