24.4弧长和扇形面积（第1课时） 课件 2025-2026学年人教版九年级上册数学

---第1课时 人教版 九年级上 24.4 弧长和扇形面积 教学目标 1.掌握弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点） 问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，为什么每个运动员他们的起跑线不在同一处？ 问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 情境导入 思考1：半径为R的圆，周长是多少？ O R 思考2：下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几? O R 180° O R 90° O R 45° O R n° 探究一：弧长的计算公式 合作探究 (1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的______. (2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的______. (3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______. (4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______. 合作探究 特别强调：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义：n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. ★弧长公式： 例如、已知弧所对的圆周角为60°，半径是4，则弧长为 . 合作探究 合作探究 大小不变时，对应的弧长与 有关， 越长，弧长越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，弧长 与 有关， 越大，弧长越大. 圆心角 半径 圆心角 总结：弧长与圆心角、半径有关. O ● A B D C E F O ● A B C D 思考3：弧长哪些因素有关？ 例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L. (结果取整数) 解：由弧长公式，可得弧AB的长: 因此所要求的展直长度L=2×700+1570=2970(mm). 答：管道的展直长度为2970 mm． 700mm 700mm R=900mm ( 100 ° A C B D O 典例精析 1、有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R（精确到0.1m）. 解：根据题意得， 12= 解得，R≈8.5（m）． 趁热打铁 探究二：扇形面积的计算公式 扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 合作探究 断一断：下列图形是扇形吗？ √ × × × √ 趁热打铁 思考4：半径为r的圆,面积是多少？ O r 思考5：图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢? 合作探究 合作探究 O R 180° O R 90° O R 45° O R n° 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形的 面积 = ＝ ＝ ＝ ★扇形面积公式: 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积 特别强调： ①公式中n的意义：n表示1°圆心角的倍数， 它是不带单位的； ②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 合作探究 大小不变时，对应的扇形面积与 有关， 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面积 与 有关， 越大，面积越大. 圆心角 半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关. O ● A B D C E F O ● A B C D 思考6：扇形的面积与哪些因素有关？ 合作探究 思考7：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？ A B O O 合作探究 2.已知半径为2 cm的扇形，其弧长为 cm，则这个扇形的面积 S扇形= ． 1.已知扇形的圆心角为150°，半径为3，则这个扇形的面积 S扇形= . 趁热打铁 例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积.（结果保留小数点后两位） (1) O . B A C 思考1：截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 解:阴影部分. 典例精析 O. B A C D (2) O. B A C D (3) 思考2：水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 水面高0.3 m是指线段DC的长. 作法：过点O作OD⊥AB于D，并延长OD交圆O于C. 思考3：要求图中阴影部分的面积，应该怎么办？ S阴影=S扇形OAB－ S△OAB 典例精析 ∵ OC＝0.6 m， DC＝0.3 m， ∴ OD＝OC- DC＝0.3 m. ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC＝AO＝OC. ∴ ∠AOD＝60˚，∠AOB=120˚. O. B A C D 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交 于点C，连接AC. 典例精析 有水部分的面积： S＝S扇形OAB － SΔOAB 在Rt△AOD中，OA=0.6 m，OD=0.3 m， ∴AD= m.∴AB=2AD= m. O. B A C D 典例精析 1、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.9 m，求截面上有水部分的面积. O A B D C E 解： S＝S扇形OAB + SΔOAB 趁热打铁 O O 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 ★弓形的面积公式: 合作探究 1.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π B 2.如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为6，∠ACB=45°，则扇形AOB的面积为（　　） A．6π B．9π C．24π D．36π B 综合演练 3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是4 cm，则图中阴影部分的面积是（ ） A.8π cm2 B.12π cm2 C.24π cm2 D.48π cm2 A B C D D 4.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为_______． 2π 综合演练 · O A 解：设半径OA绕轴心O逆时针 方向旋转的度数为n°. 解得 n≈90°. 因此，滑轮旋转的角度约为90°. 5、一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径R=10 cm，当重物上升15.7 cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14）？ 综合演练 6、如图，圆心角为60°的扇形的半径为10 cm.求这个扇形的面积和周长.（分别精确到0.01 cm2和0.01 cm） O R 60° 解：∵n=60，r=10 cm， 扇形的周长为： ∴扇形的面积为： 综合演练 7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM. (1)求证：BM＝CM； (2)当⊙O的半径为2时，求弧BM的长． 综合演练 解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，∴AB＝CD， ∵M为AD中点，∴AM＝DM， ∴AB＋AM＝CD＋DM，即BM＝CM， ∴BM＝CM　 （ （ （ （ （   （ （ （ （ （ （ 综合演练 说一说： 1、弧长公式、扇形面积公式以及二者之间的联系是什么？ 2、弓形的面积公式如何计算？ 本节课你有哪些收获？ 课堂总结 谢谢 $$