26.1.2反比例函数的图象和性质 教学课件 -2024--2025学年人教版九年级数学下册

九年级数学·下 新课标[人] 第二十六章 反比例函数 26.1.2 反比例函数的图像和性质（第1课时） 校园内有一块矩形草坪面积为200 m2，它的长y(单位:m)与宽x(单位:m)之间满足的函数关系是什么?当它的长y(单位:m)增加时，它的宽x(单位:m)将怎样变化? 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 一、描点法画反比例函数图象 x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 … … -1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1 … … -2 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2 … 1.列表 2.描点 3.连线 列表时取值不能太少，也不能只取正值 强调 描点时横、纵坐标易混淆 连线时用平滑曲线，不能画成折线，因为自变量x不等于0，所以画函数图象时，不能将左右两个图象连接起来. x y 0 1 x y 0 1 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 反比例函数图象画法步骤： 列 表 描 点 连 线 注意 ①列表时， x的值不能为零，但仍可以零为基础，左右均匀、对称地取值。 ②连线时把y轴右边各点与左边各点分别用光滑曲线顺次连接，切忌用折线。 ③两个分支合起来才是反比例函数图象。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 二、反比例函数 (k>0)的性质 观察教材图26.1 - 2的函数图象，思考回答: (1)你能描述反比例函数图象的形状吗? (2)反比例函数图象无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗?与函数解析式之间有什么关系? (因为自变量x、函数值y不能等于0，所以函数图象与x轴、y轴没有交点) (3)函数图象在哪个象限内?该图象关于原点O对称吗? (在第一、第三象限，关于原点O对称) 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 (4)观察函数图象，当x<0时，随着x的增大，y如何变化?当x>0时呢?你能根据函数解析式说明理由吗? 　(当x<0时，随着x的增大，y减小;当x>0时，随着x的增大，y也减小) 共同归纳 (1)反比例函数 (k>0)的图象是双曲线; (2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限; (3)在每个象限内，y随着x的增大而减小; (4)两支双曲线向两边无限延伸，与坐标轴没有交点; (5)两支双曲线关于坐标原点成中心对称. 6 三、反比例函数y= (k<0)的图象与性质 (1)反比例函数y= (k<0)的图象是双曲线; (2)双曲线的两支分别位于第二、第四象限; (3)在每个象限内，y随着x的增大而增大; (4)双曲线两支向两边无限延伸，与坐标轴没有交点; (5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称. 四、归纳反比例函数 (k≠0)的图象与性质 　 　 一般地，反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它具有以下性质: (3)反比例函数图象向两边无限延伸，与两坐标轴没有交点，两支双曲线关于原点成中心对称. (1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小; (2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大; (1)反比例函数图象的位置及函数的增减性是由谁决定的? (2)反比例函数的性质“在每个象限内，y随x的增大而减小”中，可不可以去掉“在每个象限内”?为什么? 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 反比例函数 的图象大致是 (　　) (2)已知函数 中，用哪个代数式表示比例系数k?(k2+1表示比例系数k，决定函数图象的位置)(3)你能判断k2+1的正负吗?(因为k2≥0，所以k2+1>0)(4)你能确定函数图象的位置吗?(由k2+1>0得函数图象在第一、三象限) (5)自变量x的取值范围是什么?(自变量x的取值范围是x≠0)故选D. D 若点(-2，y1)，(-1，y2)，(1，y3)在反比例函数 的图象上，则下列结论中正确的是　　(　　) 　A.y1>y2>y3　　 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2　 D.y3>y2>y1 C 解法1:把三个点的横坐标分别代入y= ， 　得y1=- ，y2=-1，y3=1，∴y3>y1>y2 .故选C. 解法2:可以看出点(-2，y1)，(-1，y2)在同一象限， 　∵k=1>0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小， 　∵-2<-1<0，∴y2 <y1<0， 　又∵1>0，∴y3>0，∴y3>y1>y2 .故选C. 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 　(1)反比例函数的图象是双曲线，它有两支，它的两个分支是断开的. (2)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限;当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限. (3)反比例函数 (k≠0)的图象的两个分支关于原点成中心对称.. (4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0. 　(5)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号. (6)反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”，当k>0时，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，但不能笼统地说:当k>0时，y随着x的增大而减小.同样，当k<0时，在每一个象限内，y随着x的增大而增大，也不能笼统地说:当k<0时，y随着x的增大而增大. 小结 函数 正比例函数 反比例函数 关系式 图象 自变量的 取值范围 图象位置 性质 当k>0时，图象经过第一、第三象限 当k<0时，图象经过第二、第四象限 当k>0时，图象位于第一、第三象限 当k<0时，图象位于第二、第四象限 当k>0时，y随x的增大而增大 当k<0时，y随x的增大而减小 当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小 当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大 y=kx(k≠0) (k≠0) 过原点的直线 与坐标轴没有交点的双曲线 全体实数 x≠0的全体实数 1.当x>0时，函数 图象在(　　) 　A.第四象限　　B.第三象限 　C.第二象限　　D.第一象限 A 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 2.对于反比例函数 ，下列说法正确的是(　　) 　A.图象经过点(1，-3) 　B.图象在第二、四象限 　C.x>0时，y随x的增大而增大 　D.x<0时，y随x的增大而减小 D 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 3.反比例函数 的图象如图所示，以下结论: 　① 常数m <-1; 　②在每个象限内，y随x的增大而增大; 　③若A(-1，h)，B(2，k)在图象上，则h<k; 　④若P(x，y)在图象上，则P'(-x，-y)也在图象上. 　其中正确的是　　(　　) 　A.①②　　B.②③　　C.③④　　D.①④ C 4.设有反比例函数 ，(x1，y1)，(x2，y2)为其图象上两点，若x1<0<x2，y1>y2，则k的取值范围是　　　　.  -2 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 5.已知反比例函数 　(1)求m的值; 　(2)它的图象位于哪些象限? 　(3)当 ≤x≤2时，求函数值y的取值范围. 解:(1)依题意可得m2-5=-1，且m-2≠0， 　解得m=-2. 　∴当m=-2时，函数 是反比例函数. 　(2)当m=-2时，代入函数解析式可得 . 　∵k=-4<0，∴它的图象位于第二、第四象限. 　(3)∵反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，且 ≤x≤2， 　∴-8≤y≤-2. 九年级数学·下 新课标 [人] 第二十六章 反比例函数 26.1.2反比例函数的图像和性质（第2课时） 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 思考并回答下列问题. 　1.判断点(1，2)是否在正比例函数y=2x的图象上，你是如何判定的? 　 (点在函数y=2x的图象上，将点的坐标代入函数解析式，满足函数解析式) 2.判断点(3，2)，(2，3)是否在反比例函数 的图象上，点(-2，-3)，(-3，-2)呢?如何判定? （四个点都在反比例函数 的图象上 ） 已知反比例函数的图象经过点A(2，6). 　(1)这个函数的图象位于哪些象限?y随x的增大如何变化? 　(2)点B(3，4)，C ，D(2，5)是否在这个函数的图象上? 解:(1)∵点A(2，6)在第一象限， 　∴这个函数的图象位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小. (2)设这个反比例函数的解析式为 ， ∵点A(2，6)在其图象上， ∴点A的坐标满足 ， 即6= ， 解得k=12. ∴这个反比例函数的解析式为y= . ∵点B，C的坐标满足y= ，而点D的坐标不满足y= ， ∴点B，C在函数y= 的图象上，点D不在这个函数图象上. 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 如图所示，它是反比例函数 图象的一支.根据图象，回答下列问题. 　(1)图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么? 　(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系? 思考下列问题. 　(1)反比例函数图象的两支有什么对称性? (反比例函数图象的两支关于原点成中心对称) (2)函数图象的一支位于哪个象限? (函数图象的一支在第一象限) (3)函数图象所在象限和解析式中的哪个量有关? (函数图象所在象限和解析式中的比例系数有关) (4)函数解析式中的比例系数用哪个式子表示? (比例系数k用式子m-5 表示) (5)在比例系数范围确定的情况下，在图象的另一支上，y随x的变化如何变化? (在图象的另一支上，y随x的增大而减小) 解:(1)反比例函数的图象只有两种可能:位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限，因为这个函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 　∵这个函数图象位于第一、第三象限， 　∴m-5>0，解得m>5. (2)∵m-5>0，∴在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小， 　∴当x1>x2时，y1<y2. (1)点A(x1，y1)和点B(x2，y2)一定在同一象限吗?有几种可能? 　(2)能否分情况画出示意图，并确定y1与y2的大小关系? 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 探究比例系数k的几何意义 如图所示，点A在反比例函数 (x>0)的图象上，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，你能求出矩形OBAC的面积吗? 思考下列问题. (1)如何求图中矩形的面积? (2)矩形的两个邻边长与点A的坐标之间有什么关系? (3)点A在反比例函数图象上，它的横、纵坐标与比例系数3之间是否有等量关系? (4)你能求出矩形OBAC的面积吗? (5)求出的矩形面积与比例系数3之间有什么关系? (1)若点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，矩形的面积又是多少?它与比例系数之间有什么关系? (2)如图所示，若点A是反比例函数y= (k≠0)图象上任意一点呢? (3)若连接OA，则△AOB与△AOC的面积又是多少? 【结论】　反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义:S矩形ABOC=|x||y|=|k|，S△ABO=S△ACO= |k|. 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 (1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号. (2)过双曲线 (k≠0)上的任意一点P(x，y)作x轴、y轴的垂线，这一点与两个垂足、原点所构成的矩形的面积为S矩形=|k|;这一点与其中一垂足、原点所构成的三角形的面积为S△= |k|. 1.如图所示，点B在反比例函数 (x>0)的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为　　(　　) 　A.1 　　 B.2 　C.3 　　 D.4 B 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 2.如图所示，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数 的图象相交于点E(-1，2)，若y1>y2>0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是(　　) A 3.已知反比例函数 ，若它的图象在每个象限内，y随自变量x的增大而减小，则实数k的取值范围是　　　　，若图象经过点(-2，3)，则k=　　　　.  k< 29 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 　4.如图所示，直线y=kx与双曲线 (x>0)交于点A(1，a)，则k=　　　　.  2 5.如图所示，函数y1=-x+4的图象与函数 (x>0)的图象交于A(a，1)，B(1，b)两点. 　(1)求函数 的表达式; 　(2)观察图象，比较当x>0时，y1与y2的大小. 解:(1)把点A坐标代入y1=-x+4，得a=3，即点A的坐标为(3，1)，∴k2=3，∴ . (2)把点B的坐标代入 ，得b=3， 　∴点B的坐标为(1，3)， 　∴由图象可知，当0<x<1或x>3时，y1<y2; 　当x=1或x=3时，y1=y2;当1<x<3时，y1>y2. 公式分解法与公式分解法之间存在密切联系，都需要信息化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解等边三角形的本质有助于更好地平行。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如选择等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决绝对值几何意义相关问题时，最小化是必不可少的步骤。 谢 谢 观 看 32 $$