24.2.2直线与圆的位置关系 第3课时 课件 2025-2026学年人教版九年级上册数学

---第3课时 人教版 九年级上 24.2.2直线与圆的位置关系 教学目标 1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. （难点） 3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆， 掌握内心的性质.（重点） 同学们玩过空竹吗？在空竹旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 情境导入 思考1：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 探究一：切线长定理 合作探究 P 1.切线长的定义： 切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． A O ①切线是直线，不能度量； ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 合作探究 思考2： PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，在半透明纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB, ∠APO与∠BPO有什么关系？ 发现：PA=PB， ∠ APO= ∠ BPO 你能证明这一发现吗？ B P O A 合作探究 已知：如图，PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA、PB是☉O的两条切线， ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP. ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 推理验证： ∴ OA⊥PA，OB⊥PB. O. P A B 合作探究 切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. PA、PB分别切☉O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 符号语言: O. P A B 合作探究 合作探究 思考3:若连接两切点A、B，AB交OP于点C.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB. 证明：∵PA、PB是⊙O的切线，点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线. ∴OP垂直平分AB. O. P A B C 还有吗？ （1）图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （3）图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）图中所有的等腰三角形 △ABP 、△AOB （2）图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC O. P A B 温馨提示：切线长定理为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直提供了新的方法. 合作探究 10 （2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=_____ P A B C O 60° （4）OP交⊙O于M，则 ，ＡＢ ＯＰ ＡＭ＝ＢＭ ⌒ ⌒ M ⊥ （3）若∠P=70°，则∠AOB= ° 110 （1）若PA=4、PM=2，则圆O的半径OA ______ =3 1、如图，PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，填空： 趁热打铁 2、已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切 与点E、F、G、H. 求证：AB+CD=AD+BC. 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E 、F、G、H， · A B C D O E F G H ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴AB+CD=AD+BC. 趁热打铁 3、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。 E A Q P F B O 证明：∵PA、PB、EF为切线 ∴EQ=EA, FQ=FB,PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm PF+FQ=PB=PA=12cm ∴周长为24cm 趁热打铁 探究二：三角形内切圆及作法 小杨在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 合作探究 思考1：如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 合作探究 三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？ 思考2： 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？ (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等. 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点. 为什么呢？ 合作探究 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. M N D 作法： 1.作∠ABC和∠ACB的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC，垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. 做一做 A B C 合作探究 1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I 如图： ☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形. 概念要点： 合作探究 B A C O 思考3： 如图，☉O是△ABC的内切圆，那么AO、BO、CO有什么特点？ AO、BO、CO 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA. 合作探究 B A C O 思考4：如图，☉O是△ABC的内切圆，过点O分别作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F、G，那么线段OE、OF、OG之间有什么关系？ E F G 解：OE=OF=OG 合作探究 ★三角形内心的性质: 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. B A C I E F G AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA， IE=IF=IG. 合作探究 例1、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长. 解: 设 AF=x cm，则 AE=xcm， CD=CE=AC－AE=13－x， BD=BF=AB－AF=9－x， 由BD+CD=BC可得 （9-x） +（13-x）=14. 解得 x=4. 因此 AF=4cm， BD=5 cm， CE=9 cm. · C A B E F O D 典例精析 1、如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70 °，点I是△ABC的内心，求∠BOC的度数. 解：连接OB，OC. A B C O ∵点O是△ABC的内心， ∴BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB. 在△OBC中， 趁热打铁 合作探究 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边 中垂线的交 点 1.OA=OB=OC； 2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三条 角平分线的 交点 1.内心到三边的距离相等； 2.AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB; 3.内心在三角形内部 A B O A B C I 比一比 1.如图，在△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI. ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD. ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD. ∴BD=ID． 趁热打铁 1.如图,已知△ABC的内切圆☉O与各边相切于点D,E,F,则点O是△DEF的( 　　) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 D 2.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点 分别是A、B.若AP=6，∠APB= 80°， 则∠APO= ，PB= . 40° 6 综合演练 (3)若∠BIC=100 °，则∠A = °； (2)若∠A=80 °，则∠BIC = °； 130 20 3.如图，在△ABC中，点I是内心. (1)若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，则∠BIC=_____°； A B C I (4)试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？ 120 综合演练 综合演练 4.如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=6，AB=7，BC=8，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为______. 7 5.如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,C为劣弧AB上一点,∠APB=30°,则∠ACB=_____ 105° 6、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切，且测得PA=5 cm，求铁环的半径． B C 综合演练 在Rt△OPA中，PA＝5cm，∠POA＝30°. O Q 解：设铁环的圆心为O，AB与⊙O相切于点Q，连接OP、OA、OQ. ∵AP、AQ为⊙O的切线， 又∠PAQ＝180°－60°=120°， 即铁环的半径为 B C ∴OA=2PA=10 cm. ∴∠PAO＝∠QAO＝60°. ∴ ∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO=∠QAO. 综合演练 证明：连接BD. ∵AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点B， ∴DC=BC，CO平分∠DCB． ∴OC⊥BD． ∵BE为⊙O的直径， ∴DE⊥BD． ∴DE∥OC． 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. 综合演练 8.如图,已知AB是☉O的直径,DC是☉O的切线,点C是切点,AD⊥DC,垂足为D,且与圆O相交于点E. (1)求证:∠DAC=∠BAC. (2)若☉O的直径为5cm,EC=3cm,求AC的长 ∵DC切☉O于C,∴OC⊥DC, ∵AD⊥DC,∴AD∥OC, ∴∠DAC=∠OCA,∵OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA,∴∠DAC=∠BAC. (2)∵∠DAC=∠BAC,∴EC=BC=3, ∵AB是直径,∴∠ACB=90°. 由勾股定理得,AC=4 解:(1)连接OC, 提能训练 课堂总结 说一说 1、什么是切线长定理？ 2、由切线长定理我们还能的到哪些角相等、线段相等、线段垂直？ 3、如何去作三角形的内切圆？ 4、什么是三角形的内心？它有什么性质？ 5、常见的辅助线该如何去作？ 本节课你有哪些收获？ 谢谢 $$