24.2.2直线与圆的位置关系-第2课时 课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

---第2课时 人教版 九年级上 24.2.2直线与圆的位置关系 教学目标 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. （难点） 回顾旧知 直线和圆的 位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称 2 交点 1 切点 切线 0 相离 相切 相交 位置关系 公共点个数 割线 填一填： 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？本节课我们一起探究一下。 情境导入 思考1：如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离是多少？直线 l 与⊙O有什么位置关系？ 即圆心O到直线 l的距离就是 ⊙O的半径。 A l o ①、距离为半径OA的长度 ②、直线l与⊙O相切。 你能得到切线的又一个判定方法吗？ 探究一 ：切线的判定定理 合作探究 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ∵ OA为⊙O的半径, l⊥OA于A ∴ l为⊙O的切线 切线的判定定理： 符号语言: 温馨提示：“过半径的外端”、“垂直于半径”缺一不可！ A l o 合作探究 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 归纳总结： 合作探究 1、断一断： （1）过半径的外端的直线是圆的切线（ ） （2）与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） （3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ） × × × O r l A O r l A O r l A 趁热打铁 2、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线． O B A C 知识点拨：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵OC是⊙O的半径， ∴ AB是⊙O的切线. 趁热打铁 3、如图，线段AB是☉O的直径，直线AT与AB交于点A，∠ABT=45°，且AB=AT.求证：AT是☉O的切线. 知识点拨：直线AT经过半径的一端，因此只要证AB⊥AT即可. 证明：∵AB=AT，∠ABT＝45°， ∴∠ATB＝∠ABT＝45°. ∴∠BAT=180°-∠ABT-ATB=90°， 即AB⊥AT. ∵AB是☉O的直径， ∴ AT是☉O的切线. B O T A 趁热打铁 4、如图，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． B C D A E 证明：如图，过D作DE ⊥AC于E. ∵∠ABC =90°，∴DB ⊥ AB. 又∵AD平分∠BAC，DE ⊥AC， ∴DE=DB=r. ∵DE ⊥AC， ∴AC 是⊙O 的切线. 趁热打铁 ①、当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线. 方法总结: ②、当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线. 有交点，连半径，证垂直； 无交点，作垂直，证半径. 合作探究 思考2：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ A l O ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 符号语言： 探究二 ：切线的性质定理 合作探究 （1）假设AB与CD不垂直，过点O作 一条直径垂直于CD，垂足为M； 理由是：直径AB与直线CD要么垂直，要么不垂直. （2）则OM<OA，即圆心到直线CD的 距离小于⊙O的半径，因此， CD与⊙O相交.这与已知条件 “直线与⊙O相切”相矛盾； C D B O A （3）所以AB与CD垂直. M 证法：反证法 性质定理的证明 合作探究 1.如图,AB为☉O的直径,BC切☉O于B,CO交☉O于D,AD的延长线交BC于E,若∠C=35°,求∠A的度数. ∵AB为☉O的直径,BC切☉O于B, ∴∠ABC=90°. ∵∠C=35°, ∴∠BOC=55°. ∵∠A= ∠BOD ∴∠A=27.5° 解： 趁热打铁 2、如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB.若∠B=25°，求∠P的度数. B O P A 解：如图，连接OA. ∵PA是⊙O的切线， ∵∠AOP=2∠B=50°， ∴∠P=180°-90°-50°=40°. ∴∠OAP=90°. 合作探究 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. 方法总结: 见切点，连半径，得垂直. 合作探究 例1、如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线． O C E A F 证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于E ，∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC， C ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线． 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. 典例精析 1.判断下列命题是否正确. (1)经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） (2)垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） (3)圆的切线垂直于过切点半径。 （ ） (4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） (5)过直径一端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ ） × × √ √ √ 综合演练 2.如图所示,线段AB是☉O的直径,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于(　　) A A.50°　　　B.40°　　 C.60°　　D.70° 3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径， ∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点 P，则∠ADP的度数为（ ） A．40° B．35° C．30° D．45° P O D A B C C 综合演练 4.如图，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与☉O的位置关系是 . A P O 相切 5、如图，AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°. 若⊙O的半径长2 cm，则OD= cm. 4 综合演练 证明：如图，连接OP. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB. ∴∠OPB=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线. 6.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E. 求证：PE是⊙O的切线. O A B C E P 综合演练 7.如图,已知AB是☉O的直径,P为☉O外一点,且AP∥BC,∠P=∠BAC. (1)求证:PA为☉O的切线. (2)若OB=5,OP= ,求AC的长. 解：(1)设AC与OP相交于点H. ∵AB是径,∴AC⊥BC,∠BAC+∠B=90°. ∵OP∥BC,∴OP⊥AC,∠AOP=∠B. ∵∠P=∠BAC, ∴∠P+∠AOP=90°,于是∠OAP=90°, ∴PA为☉O的切线. 综合演练 (2)∵OP⊥AC,∴AC=2AH, 在直角三角形PAO中, 由面积法可知：AH=4 ∴AC=2AH=8 综合演练 8.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO与⊙O交于B、C两点， ∠P＝30°，连接AO、AB、AC.求证：△ACB≌△APO. O A B P C 在△ACB和△APO中， 证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°． 又OA＝OC，∴∠C＝60°÷2＝30° ∴∠C＝∠P．∴AC=AP． 又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°=∠OAP． ∴∠OAP＝90°． ∴△ACB≌△APO． ∠BAC＝∠OAP，AC＝AP，∠C＝∠P, 综合演练 9.如图,P是☉O外一点,PA切☉O于点A,AB是☉O的直径,BC∥OP且交☉O于点C,请准确判断直线PC与☉O是怎样的位置关系,并说明理由. 解：PC与☉O相切. 连接OC,则OC=OB,∴∠B=∠OCB. ∵BC∥OP,∴∠B=∠AOP,∠OCB=∠COP,∴∠AOP=∠COP. 在△AOP与△COP中, OA=OC,∠AOP=∠COP,OP=OP, ∴△AOP≌△COP. 又∵PA是☉O的切线,∴∠OCP=∠OAP=90°. 又∵OC是半径,∴PC是☉O的切线. 提能训练 说一说： 1、判定切线有几种判定方法？ 2、证切线时常用的辅助线是什么？ 3、用切线时常用的辅助线是什么？ 本节课你有哪些收获？ 课堂总结 谢谢 $$