24.2.1点与圆的位置关系 课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

人教版 九年级上 24.2.1点与圆的位置关系 教学目标 1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点） 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.（重、难点） 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. （难点） 4.了解反证法的证明思想. 思考1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ . 0 . C . . .B . .A . 点和圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. 探究一：点和圆的位置关系 合作探究 思考2：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点和圆的位置关系呢？ 合作探究 归纳总结：点和圆的位置关系 r P d P r d P r d R r P 点P在⊙O内 d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外 d>r 点P在圆环内 r≤d≤R 数形结合： 位置关系 数量关系 d 合作探究 射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示。弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好。 合作探究 1.如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米. A D C B （1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？ （2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？ （3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？ (B在圆上，D在圆外，C在圆外) (B在圆内，D在圆上，C在圆外) (B在圆内，D在圆内，C在圆上) 趁热打铁 如何解决“破镜重圆”的问题： 解决问题的关键是什么？ （找圆心） 我们知道圆上有无数个点，那么多少个点就可以确定一个圆呢？ 探究二：三角形的外接圆和外心 合作探究 思考3：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？ · · · · · 以不与点A重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. A 合作探究 思考4：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？ · · · · A B 作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可; 可作无数个圆. 合作探究 思考5：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ A B C D E G F ●o 经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上. 经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置. 经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 合作探究 合作探究 有且只有 位置关系 定理： 不在同一直线上的三个点确定一个圆. A B C D E G F ●o 解决“破镜重圆”的问题： A B C O 合作探究 试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆. A B C O 合作探究 1. 外接圆 ⊙O叫做△ABC的________， △ABC叫做⊙O的____________. 到三角形三个顶点的距离相等. 2.三角形的外心： 定义： ●O A B C 外接圆　 内接三角形　 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三边垂直平分线的交点. 性质： 合作探究 1、判一判： 下列说法是否正确 (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) √ × × √ 趁热打铁 2、画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点, 钝角三角形的外心位于三角形外. A B C ●O A B C C A B ┐ ●O ●O 趁热打铁 3、试一试：某一个城市在一块空地新建了三个菜园，它们分别为A、B、C，且三个菜园不在同一直线上，要想规划一口水井，使这口水井到三个菜园的距离相等.请问同学们这口水井应该建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？ A C B ● ● ● ● 解：水井应该建在AB和AC垂直平分线的交点上 趁热打铁 思考6：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ l1 l2 A B C P 如图，假设经过同一条直线l上A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆． 探究三：反证法 合作探究 反证法的定义: 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 反证法的一般步骤: 假设命题的结论不成立 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 合作探究 例：用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”。 A B C D E F A’ B’ 1 2 证明：如果AB∥CD，那么∠1=∠2. 假设∠1≠∠2，过点O作直线A’B’, 使∠EOB’=∠2. 根据“同位角相等，两直线平行”， 可得A’B’ ∥CD。这样，过点O就有两条直线平行于CD， 这与平行公理“过直线有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾。 典例精析 1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　　. 这与 　　　　　　　　　　　矛盾，假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC中没有一个内角小于或等于60° ∠A>60°，∠B>60°，∠C>60° ∠A+∠B+∠C>180° 三角形的内角和为180° △ABC中至少有一个内角小于或等于60° ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 趁热打铁 2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） M R Q A B C P A．点P B．点Q C．点R D．点M B 1.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为(3，5)，则点P与⊙O的位置关系为 （ ） A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或⊙O外 C 综合演练 3.已知 点P在 ⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足________。 0﹤r ﹤5 5.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则它的外接圆半径= . 6.5 4.正方形ABCD的边长为4 cm，以A为圆心4 cm为半径作⊙A，则点B 在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A . 上 外 上 综合演练 6.判断： （1）经过三点一定可以作圆 （ ） （2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （ ） （3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ） （4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ） √ × × × 综合演练 · 2cm 3cm 7.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形. O 综合演练 8、如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm，O到BC的距离是5 cm，求△ABC的外接圆的半径． 解：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D， D 则OD＝5cm， 在Rt△OBD中， 即△ABC的外接圆的半径为13cm. . 综合演练 9.如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°，若 AC=12 cm，BC=5 cm， 求△ABC的外接圆半径. C B A O 解：设Rt△ABC 的外接圆的外心为O，则O是斜边AB 的中点， 连接OC，则OA=OB=OC. ∵∠C=90°，AC=12 cm，BC=5 cm， ∴AB=13 cm.则OA=6.5 cm. 故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5 cm. 综合演练 10、一个8米×12米的长方形草地，现要安装自动喷水装置，这种装置喷水的半径为5米，你准备安装几个? 怎样安装? 请说明理由. 知识拓展 说一说 1、圆与点有几种位置关系？如何去判断？ 2、几个点可以确定一个圆？ 3、如何去作三角形的外接圆？ 4、应用反证法证明的步骤是什么？ 本节课你有哪些收获？ 课堂总结 谢谢 $$