精品解析：陕西省西安市西工大附属中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题

陕西省西安市西工大附属中学2024-2025学年高二下学期 第二次月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集，可得答案. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 2. 某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ） A 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分类，结合组合即可求解. 【详解】至少买其中两本，包括买两本和买三本两种情况. 买两本的方案数为种， 买三本的方案数为种，所以购买方案共有种. 故选：A 3. 已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B，分别计算出，的值，由条件概率公式可得，可得答案. 【详解】解：设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B， 可得：，, 则所求事件的概率为：, 故选：D. 【点睛】本题主要考查条件概率与独立事件的计算，属于条件概率的计算公式是解题的关键. 4. 已知函数和有相同的极大值，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数，先求得的极大值，然后根据与有相同的极大值求得. 【详解】求导，令，解得，令，解得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值， ，令，解得，令，解得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值， 依据题意，和有相同的极大值，故，解得. 故选：A 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，再根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理可得，可得，故， 故 故选：C 6. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 7. 甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分析可知服从二项分布，服从超几何分布，由二项分布和超几何分布的性质依次分析各个选项， 对于选项ABD，可通过特殊值赋值验证发现其时错误的. 【详解】对于甲，从中依次有放回的摸出n张，每次摸到数字卡牌的概率为，重复做次，所以， 对于乙，从中一次性摸出n张卡牌，不放回，所以服从超几何分布. 对于A，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故A错误； 对于B，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故B错误； 对于C，由二项分布的期望公式可得，由超几何分布的期望公式可得，故C正确； 对于D，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等，如取，则， ，故D错误. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有错选的得0分. 9. 甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ） A. 5人站成一排，若甲、乙必须相邻，共有48种排法 B. 5人站成一排，若甲、乙不能相邻，共有72种排法 C. 5人站成一排，若甲不能站在两端，共有72种排法 D. 5人站成两排，若甲、乙站前排，丙、丁、戊站后排，共有120种排法 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，利用捆绑法进行求解；B选项，利用插空法进行求解；C选项，先从中间3个位置选一个给甲，其余4人全排列，根据分步乘法计数原理求出答案；D选项，考虑甲、乙，再考虑丙、丁、戊，根据分步乘法计数原理求出答案. 【详解】选项A：把甲、乙看成一个整体与其余3人全排列，有种排法， 甲、乙两人之间有种排法，所以共有种排法，A正确. 选项B：先排丙、丁、戊有种排法，丙、丁、戊形成4个空， 从4个空中选2个排甲、乙，有种排法，所以共有种排法，B正确. C选项：先从中间3个位置选一个给甲，有种方法，其余4人全排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有种排法，C正确. D选项：甲、乙站前排有种排法，丙、丁、戊站后排有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种排法，D错误. 故选：ABC 10. 若，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式及期望与方差的性质求解. 【详解】，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 11. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，根据题意可得到，，判断AB；C选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算. 【详解】AB选项，事件“零件为第i台车床加工”（ ），事件“零件为次品”， 则，，， ，，，故A正确，B错误； C选项， ，故C正确； D选项，，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质可得，即可求解. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：. 13. 记为等差数列的前项和，若，则__________. 【答案】100 【解析】 【分析】根据等差数列的通项，建立方程方程组，解得公差与首项，利用等差数列求和公式，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则， 两式相减得，代入得. 由等差数列前项和公式， 可得. 故答案为：. 14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【答案】0.18 【解析】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 综上所述，甲队以获胜概率是 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个. （1）求既有豆沙粽又有白粽的概率； （2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列及期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案. （2）根据超几何分布的知识求得X的分布列并求得数学期望. 【小问1详解】 依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为； 【小问2详解】 X可能取值为 则， ， ， . 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P . 16. 在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，点在线段PD上，平面AEC. （1）证明：为PD的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求PA的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，结合中位线定理，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用二面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 证明：连接BD交AC于，连接OE， 因为底面ABCD是菱形，所以是BD中点， 又平面，平面PBD，平面平面，所以， 故为PD中点. 【小问2详解】 取的中点，连接，易知，则平面， 在菱形中，易知，由，，则，， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 设，则，，，， 由为的中点，则， 取，，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，所以平面的一个法向量； 设平面的法向量，则， 令，则，，所以平面的一个法向量， 设二面角的平面角大小为，则， 即，解得. 17. 设函数，曲线在点处的切线方程是. （1）求a，b； （2）若方程有唯一实数解，求. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据斜率和函数值即可求解， （2）分离参数，构造函数，求导得函数的单调性，结合函数图象即可求解. 【小问1详解】 ，由，列方程组， 解得，. 【小问2详解】 由（1）得，方程即， 令，则， 记， 由于函数均为定义域内的单调递减函数， 故在定义域内单调递减，由于， 故即，故在单调递增， 当即，故在单调递减， 故，且当 ，作出大致图象， 由于，故有唯一的实数根，故 18. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据． 时间 人数 6 30 35 19 6 4 （1）从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率； （2）估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数； （3）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）由频率估计概率即得； （2）设中位数为，由中位数定义知，即得； （3）由题可得，然后利用二项分布的概率公式可得概率，进而可得分布列及期望. 【小问1详解】 由表格数据可知：学生每日使用手机的时间小于36min共有人， 所求概率； 【小问2详解】 设中位数为， 由表格数据知：使用手机时间小于分钟的频率为，使用手机的时间小于分钟的频率为， 故， ， 解得：， 即估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数为； 【小问3详解】 由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为， 则， 所以, , , , 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 19. 已知椭圆过点，过点的直线与交于两点，其中. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求|MN|的值； （3）已知，直线交轴于点，若四边形为等腰梯形，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入坐标即可列方程组求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式即可求解， （3）根据等腰梯形的性质，求解直线的方程为，进而得，联立方程得韦达定理，得，代入化简可得，进而可求解坐标，即可求解斜率. 【小问1详解】 将点代入椭圆方程， 得，化简为， 设，则， 解方程组得，即， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 直线过且斜率为，方程为， 联立，消去得， 整理得， 设，则， 由弦长公式（为直线斜率）， ，代入得. 【小问3详解】 由四边形为等腰梯形，且均在轴上，轴， 故,故, 取的中点为，连接,则, 则直线的方程为， 令 设直线，避免斜率不存在情况)，联立， 消去得， 则，则 ， ， 所以, 则,因此，又 所以直线 所以直线的方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 陕西省西安市西工大附属中学2024-2025学年高二下学期 第二次月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ） A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 3. 已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数和有相同的极大值，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A 32 B. 64 C. 80 D. 16 7. 甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有错选的得0分. 9. 甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ） A. 5人站成一排，若甲、乙必须相邻，共有48种排法 B. 5人站成一排，若甲、乙不能相邻，共有72种排法 C. 5人站成一排，若甲不能站在两端，共有72种排法 D. 5人站成两排，若甲、乙站前排，丙、丁、戊站后排，共有120种排法 10. 若，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 若随机变量，且，则______. 13. 记为等差数列的前项和，若，则__________. 14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个. （1）求既有豆沙粽又有白粽的概率； （2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列及期望. 16. 在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，点在线段PD上，平面AEC. （1）证明：为PD的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求PA的长. 17. 设函数，曲线在点处的切线方程是. （1）求a，b； （2）若方程有唯一实数解，求. 18. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据． 时间 人数 6 30 35 19 6 4 （1）从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率； （2）估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数； （3）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 19. 已知椭圆过点，过点的直线与交于两点，其中. （1）求椭圆方程； （2）若直线的斜率为，求|MN|的值； （3）已知，直线交轴于点，若四边形为等腰梯形，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$