24.1.4 圆周角 课件 2025-2026学年 人教版九年级上册数学

人教版 九年级上 24.1.4圆周角 教学目标 1.掌握圆周角的概念及圆周角定理. 2.掌握圆周角与圆心角的关系及其推论并能运用圆周角定理解决 简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质，并会利用其 进行简单的应用.（难点） 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同圆或等圆中 回顾旧知 合作探究 问题2 ：∠ABE、 ∠ACE 、∠ADE的顶点和边有哪 些特点? 它们的顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交。 ∠AOE . （两个条件必须同时具备，缺一不可） 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的定义: 问题1 ：指出图中的圆心角。 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ （4） 顶点不在圆上 趁热打铁 探究一：现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？   1．一个弧上所 对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角的度数是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半． 合作探究 探究二：同弧所对的圆周角与这条弧所对的圆心角之间的关系。 如图，在☉O任取一段弧BC，连接BO,CO,得圆心角∠BOC，圆周角 ∠BAC，∠BAC与∠BOC存在怎样的位置关系？ 圆心O 在∠BAC的内部 圆心O在∠BAC的一边上 圆心O在∠BAC的外部 ∠BAC与∠BOC有怎样的数量关系？试着去证明。 合作探究 合作探究 ★圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C O A B D O A C D O A B C D O A C D O A B D ★圆心O在∠BAC的内部 合作探究 合作探究 O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D C O A D O A B D ★圆心O在∠BAC的外部 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 归纳总结：圆周角定理： 合作探究 问题3:如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ，D 是⊙O上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由. D ∴∠BAC=∠BDC. 解：相等.理由如下： 合作探究 圆周角定理的推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. A1 A2 A3 合作探究 问题5：如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想一想，∠ACB会是怎样的角？ · O A C B 解：∵AB是直径，点O是圆心， ∴∠AOB=180°. ∵∠ACB是直径AB所对的圆周角， ∴∠ACB= ∠AOB=90°. 问题6：反过来， 若∠ACB =90°，那么∠AOB是怎样的角？ 根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系可知∠AOB是平角，及 90°的圆周角所对的弦是直径。 合作探究 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 圆周角定理的推论2 合作探究 例1、如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm．∠ACB的平分线 交⊙O于点D, 求BC，AD，BD的长． 解：如图，连接OD． 在Rt△ABC中， D C B A O ∴ ∠ACB=∠ADB=90°. ∵AB是直径， 典例精析 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， ∵CD平分∠ACB， 知识点拨：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解. D C B A O ∴AD=BD. ∴ ∠AOD=∠BOD. ∴∠ACD=∠BCD. 典例精析 1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度数. . O A D C P B 解：连接BC，则∠ACB=90°. ∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°. ∴∠BAD=∠DCB=30°. ∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°. 趁热打铁 2、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径的长度． 解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD、AO， ∵∠BAC=120°，AB=AC=4 ∴∠C=30°，∴∠BOA=60°． D 又∵OA=OB，∴△AOB是正三角形 ∴OB=AB=4，∴BD=8． ∴⊙O的直径为8． 趁热打铁 探究三：圆内接多边形及其性质。 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 合作探究 问题7：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆， ∠A与∠C, ∠B与∠D之间有什么关系呢？ ∵ ∠A所对的圆心角是∠β，∠C所对的圆心角是∠α， 则 同理 性质：圆的内接四边形的对角互补. 连接OB，OD． ∴ 合作探究 1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝150°，那么∠BCD是(　　) A．120° B．105° C．80° D．60° B 2．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=120°，∠B=70°，则 ∠C= ，∠D= . 3．在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶6 ，则 ∠D= . 60º 110º 112.5º 趁热打铁 1．判断： （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等.（ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ ） （3）90°的角所对的弦是直径. （ ） （4）同弦所对的圆周角相等. （ ） √ × × × 综合演练 2.如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，∠OBA=40°，则∠ACB的度数 是（ ）． A、60 ° B、50 ° C、40 ° D、30 ° B A C O B 3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E. 若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ）. A、60 ° B、50 ° C、40 ° D、30 ° D 综合演练 4.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=50°,则∠BCD=________. 40° A B O C D E 5.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，E是BC延长线上线上的一点，已知∠BOD＝130°，则∠DCE的度数是________. 65° 综合演练 6.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是多少？ 解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2 即半径为2。 C A B O 综合演练 A O B C 证明： 7. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC． 综合演练 8、如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB， ∴AB垂直平分CD. ∴AC＝AD. ∴∠ADC＝∠ACD. ∴∠FGD＝∠ADC. 综合演练 课堂总结 说一说 1、什么是圆周角？ 2、圆周角的推论有哪些？ 3、圆内接四边形的性质是什么？ 本节课你有哪些收获？ 谢谢 $$