24.1.3弧、弦、圆心角 课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

人教版 九年级上 24.1.3弧、弦、圆心角 教学目标 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题.（重点） 回顾旧知 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. ★中心对称图形的定义: 2、圆是中心对称图形吗？ 圆是中心对称图形，就是它的旋转中心。 不仅如此，把圆绕圆心旋转任意角度，所得的图形都与原图形重合。 1、说一说什么是中心对称图形？ O B A 思考1：观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？ 顶点在圆心上 A B O 定义：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB . C D 合作探究 判一判：判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. ① ② ③ ④ 圆内角 圆外角 圆周角 (后面会学到) 圆心角 趁热打铁 O A B M 2.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB. 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 1.圆心角 ∠AOB 所对的弧为AB. ⌒ 弦 圆心角的相关概念： 思考2：圆心角、弧、弦三者之间有什么关系呢？ 合作探究 探究一：在同圆中探究 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？ ⌒ ⌒ O A B C D 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠COD的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 合作探究 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， ∠AOB＝∠COD， 射线 OA与OC重合，OB与OD重合． 而同圆的半径相等，OA=OC，OB=OD， ∴点 A与 C重合，B与D重合． A B C D ∴ AB与 CD重合，AB与CD重合． （ （ ·O ∴ AB= CD，AB=CD. （ （ 合作探究 · O A B 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？ · O ′ C D 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现： 如果∠AOB=∠CO′D，那么AB=CD，弦AB=弦CD. ⌒ ⌒ 探究二：在等圆中探究 合作探究 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等． ①∠AOB=∠COD ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD A B O D C 归纳总结：弧、弦与圆心角的关系定理: 合作探究 思考2：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C 合作探究 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论： 类比探究可得： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 合作探究 合作探究 温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧. 在同圆或等圆中 关系结构图 A B C O 证明： ∴ AB=AC.∴△ABC是等腰三角形． 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 例1 如图，在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°. 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒ 知识点拨：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键． ∵AB=AC， ⌒ ⌒ 典例精析 证明：∵AC=BC ∴∠AOC=∠BOC， ∵D、E分别是OA、 OB的中点, 且OA=OB， ∴OD=OE， 变式训练： 如图，OA、OB、OC分别是⊙O的半径，且AC=BC，D、E分别是OA、OB的中点，求证：CD=CE． ∴△DOC≌△EOC， ∴CD=CE． OD＝OE ∠AOC＝∠BOC OC＝OC 在△DOC和△EOC中， 趁热打铁 1．如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 D A. AB=2CD ⌒ ⌒ B. AB>CD ⌒ ⌒ C. AB<CD ⌒ ⌒ D. 不能确定 2.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ） ⌒ ⌒ A 综合演练 16 3.如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么_________，__________ __； （2）如果 ，那么_________， ； （3）如果∠AOB=∠COD，那么_________，_______； · C A B D O AB=CD AB=CD AB=CD ( ( ∠AOB=∠COD ∠AOB=∠COD AB=CD ( ( AB=CD ( ( 综合演练 4、如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ · C A B D E F O 解：OE=OF. 理由如下： ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∵AB=CD， ∴AE=CF. ∵OA=OC， ∴Rt△AOE≌Rt△COF. ∴OE=OF. ∴ 综合演练 5、如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦， . 求证:AB＝CD. . C A B D O 证明： 综合演练 变式训练： 1、如图，在⊙O中，AD=BC．求证：DC=AB． ∴DC=AB． 证明：∵AD=BC， 2、如上图，在⊙O中，DC=AB．求证：AD=BC． 证明：∵DC=AB， ∴AD=BC. 综合演练 6、如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB成立吗？请说明理由；如不成立，那它们之间的关系又分别是什么？ ⌒ ⌒ 解：CD=2AB成立，CD=2AB不成立. 如图：取CD 的中点E，连接OE，CE，DE， 则∠AOB=∠COE=∠DOE， . 所以 CD=2AB ，弦AB=CE=DE. 在△CDE中，CE+DE>CD， 则CD＜2AB. ⌒ ⌒ A B C D O A B C D E O ⌒ ⌒ ⌒ 提能训练 说一说： 1、什么是圆心角？ 2、圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论分别是什么？ 3、以上关系定理需要特备注意什么条件？ 本节课你有哪些收获？ 课堂总结 谢谢 $$