离散型随机变量及其分布列、数字特征课件-2026届高三数学一轮复习

　离散型随机变量及其分布列、数字特征 课 标 解 读 1.了解离散型随机变量的概念. 2.理解并会求离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差). 知识梳理 1.随机变量的有关概念 (1)随机变量 分两类:离散型随机变量和连续型随机变量 一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.通常用大写英文字母表示,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z. (2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以　　　　　　的随机变量. [教材知识深化] 离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的. 一一列举 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的　　　　　　 　　　为X的概率分布列,简称分布列. 有表格、图形和解析式三种形式  (2)离散型随机变量分布列的性质 ①pi　　　0,i=1,2,…,n;  ②　　　　　　　　=1. 微点拨　判断所求离散型随机变量的分布列是否正确,可用pi≥0,i=1,2,…, n及p1+p2+…+pn=1检验. 概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n ≥ p1+p2+…+pn 3.离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 称E(X)=　　　　　　 　　=　　　　　为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.反映了离散型随机变量取值的平均水平 (2)方差 称D(X)=　　　　　　　　为随机变量X的方差,并称为随机变量X的标准差,记为σ(X).　 用来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度 x1p1+x2p2+…+xnpn xipi (xi-E(X))2pi 微思考　随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有何关系? 提示 随机变量的均值、方差是一个常数,样本的均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差. 4.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=　　　　　.(a,b为常数)  (2)D(aX+b)=　　　　　.(a,b为常数)  aE(X)+b a2D(X) 自主诊断 一、基础自测 1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) (1)随机试验的结果与随机变量是对应关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(　　) (2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.(　　) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.(　　) √ × √ 2.(人教A版选择性必修第三册7.3.1节练习第1题改编)已知X的分布列为 X -1 0 1 P 设Y=2X+3,则E(Y)的值为(　　) A. B.4 C.-1 D.1 A 解析 ∵E(X)=-=-,∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3= 3.(人教A版选择性必修第三册7.3.2节练习第1题改编)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 则D(X)=　　　　　. 0.84 解析 由题意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4, 所以D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84. 二、连线高考 4.(2022·全国甲,理19)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望. 解 (1)记甲学校获得冠军为事件A, 则P(A)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×0.4 ×0.8=0.6, 所以甲学校获得冠军的概率是0.6. (2)X的可能取值为0,10,20,30, 则P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8=0.44, P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)+(1-0.5)×(1-0.4) ×0.8=0.34, P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06. 所以X的分布列为 所以X的期望值为E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13. X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 考点一　离散型随机变量分布列的性质 例1 设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求a的值; 解 由分布列的性质,得P(X=)+P(X=)+P(X=)+P(X=)+P(X=1)=a+2a+3a+4a+5a=1,所以a= (2)求P(X≥); 解 P(X)=P(X=)+P(X=)+P(X=1)=3+4+5 (3)求P(<X≤). 解 P(<X)=P(X=)+P(X=)+P(X=)= 考点二　离散型随机变量的分布列及数字特征 例2(2024·新高考Ⅱ,18,17分)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. 切入点:阅读理解题意,明确比赛规则,转化为相互独立事件同时发生的概率问题. (2)假设0<p<q, (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,则该由谁参加第一阶段比赛? 关键点:分别计算甲、乙参加第一阶段比赛成绩为15分的概率,作差比较大小. (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 关键点:分别计算甲、乙参加第一阶段比赛成绩的数学期望,作差比较大小. 题意理解 序号 解题入门 破题环节 1 若3次都未投中,则该队被淘汰 只有三次均未投中才淘汰 2 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和 第一阶段只决定是否淘汰,第二阶段才计算得分 3 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分 甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次 4 使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分 即第一阶段至少投中1次,且第二阶段3次都投中 5 使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大 分类讨论,每类情况下先列出成绩的所有可能取值,并计算概率,再计算期望 解 (1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分, 不少于5分,所以第一阶段必须过关,且第二阶段至少投中1次 则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次, ……………….1分 则所求概率P=(1-0.63)×(1-0.53)=0.686. …………………………………3分 当类似题目中分类求解情况较多时,可以考虑其对立事件 (2)(ⅰ)若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]q3; ………………………………………………………...4分 (1-p)3表示甲参加第一阶段比赛被淘汰的概率,q3表示乙参加第二阶段比赛3次投中的概率 若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1-(1-q)3]p3. ……………………………………………………………….5分 作差比较,并进行因式分解,转化为若干个能判断正负的项的积 P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3 =(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)] =(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0, ….7分 所以P甲>P乙,故应该由甲参加第一阶段比赛. ……………………………8分 (ⅱ)若甲参加第一阶段比赛,比赛成绩X(单位:分)的所有可能的取值为0,5,10,15, P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3, X=0包含两种可能,一是第一阶段淘汰;二是第一阶段没有淘汰,但第二阶段投篮3次均未中,注意不要遗漏情况 P(X=5)=[1-(1-p)3]q(1-q)2, X=5表示第二阶段投篮命中1次,但3次中哪次命中不确定,所以应乘; X=10时应乘 P(X=10)=[1-(1-p)3]q2(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]q3, …………..…10分,4种情况每错一个扣1分,扣完为止 所以E(X)=[1-(1-p)3][5×q(1-q)2+10×q2(1-q)+15q3] =15[1-(1-p)3]q=15q(p3-3p2+3p). …………………………………………11分 若乙参加第一阶段比赛,比赛成绩Y(单位:分)的所有可能的取值为0,5,10,15,P(Y=0)=(1-q)3+[1-(1-q)3]·(1-p)3, 类似于甲参加第一阶段比赛的情况,Y=0时有两种可能;Y=5和Y=10时要分别乘 P(Y=5)=[1-(1-q)3]p(1-p)2, P(Y=10)=[1-(1-q)3]p2(1-p), P(Y=15)=[1-(1-q)3]p3, ……………..10分,4种情况每错一个扣1分,扣完为止 所以E(Y)=15p(q3-3q2+3q), ……………………………………………….14分 关键是合理进行因式分解,转化为可以判断正负的式子 则E(X)-E(Y)=15pq(p-q)(p+q-3)>0, ………………………………………16分 故应该由甲参加第一阶段比赛. …………………………………………17分 [对点训练1](2024·福建宁德模拟)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望. (3)设用Y表示甲学校的总得分,比较D(X)和D(Y)的大小. 解 (1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表: 比赛 第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛 甲学校获胜的概率 0.5 0.4 0.8 乙学校获胜的概率 0.5 0.6 0.2 甲学校要想获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场, ①甲学校3场比赛全胜,概率为P1=0.5×0.4×0.8=0.16, ②甲学校3场比赛获胜2场败1场,概率为P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44, 所以甲学校获得冠军的概率为P=P1+P2=0.6. (2)乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为 P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44, P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34, P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06, 则X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 X的期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13. (3)甲学校的总得分Y的可能取值为0,10,20,30, 其概率分别为 P(Y=0)=P(X=30)=0.06, P(Y=10)=P(X=20)=0.34, P(Y=20)=P(X=10)=0.44, P(Y=30)=P(X=0)=0.16, 则Y的分布列为 Y的期望E(Y)=0×0.06+10×0.34+20×0.44+30×0.16=17; 故D(Y)=(0-17)2×0.06+(10-17)2×0.34+(20-17)2×0.44+(30-17)2×0.16=65, 由(2)可得D(X)=(0-13)2×0.16+(10-13)2×0.44+(20-13)2×0.34+(30-13)2× 0.06=65,故D(X)=D(Y). Y 0 10 20 30 P 0.06 0.34 0.44 0.16 考点三　均值与方差中的决策问题 例3(2024·浙江嘉兴模拟)某医学研究院为寻找防治某传染病的新技术,对该传染病疑似病例进行检测与诊断.研究员抽取了5名该病疑似病例,假设其中仅有一名感染该病,需要通过化验血液来确认感染该病的人,若化验结果只有阳性和阴性两种,且化验结果呈阳性,则为该病感染者,化验结果呈阴性,则不是该病感染者.现有两个检测方案: 方案一:先从5人中随机抽取2人,将其血液混合,进行1次检测,若呈阳性,则选择这2人中的1人检测即可;若呈阴性,则对另外3人进行检测,每次检测1人,找到该病感染者则停止检测. 方案二:对5人进行逐个检测,找到该病感染者则停止检测. (1)分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望; (2)求两种方案检测次数相等的概率; (3)已知检测前需一次性花费固定成本500元,检测费用为400元/次,请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值,并以此作为决策依据,判断选择哪个方案更好. 解 (1)设方案一所需检测次数为X,则X的所有可能取值为2,3. 当X=2时,有两种情况: ①第1次检测2人的混合血液呈阳性,第2次任选这2人中的1人检测即可确定该病感染者,其概率为 ②第1次检测2人的混合血液呈阴性,第2次检测另外3人中的1人呈阳性, 其概率为故P(X=2)= 当X=3时,第1次检测2人的混合血液呈阴性,第2次检测另外3人中的1人呈阴性,第3次从剩余2人中任选1人检测即可确定该病感染者, 故P(X=3)= 故X的分布列为 X 2 3 P 故E(X)=2+3 设方案二所需检测次数为Y,则Y的所有可能取值为1,2,3,4. 故P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=,P(Y=4)= 故Y的分布列为 Y 1 2 3 4 P 故E(Y)=1+2+3+4 (2)由(1)知两种方案的检测次数均为2的概率为, 两种方案的检测次数均为3的概率为, 故两种方案检测次数相等的概率为 (3)设方案一、方案二的检测总费用分别为ξ1元,ξ2元, 则ξ1=400X+500,ξ2=400Y+500, 则方案一检测总费用的期望值E(ξ1)=400E(X)+500=400+500=1 460, 方案二检测总费用的期望值E(ξ2)=400E(Y)+500=400+500=1 620. 因为E(ξ1)<E(ξ2), 所以方案一检测总费用的期望值更小,所以选择方案一更好. [对点训练2](2024·山西太原模拟)对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据: 887　939　643　996　715　838　1 082　923　901　1 182　1 035　863　772　943　1 035　1 022　855　1 118　768　809 将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1 000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级. (1)将年降水量处于各等级的频率作为概率,分别 计算该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率; (2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水 量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润 (单位:千元/亩)如下表所示.你认为这三种作物中, 哪一种最适合在该地区推广种植?请说明理由. 年降水量 偏少 适中 偏多 甲 8 12 8 乙 12 10 7 丙 7 10 12 解 (1)将过去20年的年降水量按照降水量等级分类,可知: 降水量偏少有4年,概率可估计为=0.2; 降水量适中有10年,概率可估计为=0.5; 降水量偏多有6年,概率可估计为=0.3. 于是该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率分别为0.2,0.5,0.3. (2)设种植农作物甲、乙、丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量X,Y,Z, X的分布列为 X 8 12 P 0.5 0.5 故种植甲则每亩地获利的期望E(X)=8×0.5+12×0.5=10, Y的分布列为 Y 12 10 7 P 0.2 0.5 0.3 故种植乙则每亩地获利的期望E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5, Z的分布列为 Z 7 10 12 P 0.2 0.5 0.3 故种植丙则每亩地获利的期望E(Z)=7×0.2+10×0.5+12×0.3=10, 所以E(Y)<E(X)=E(Z), 即种植甲、丙的获利的期望值比乙更高,不考虑推广乙, 又D(X)=0.5×(8-10)2+0.5×(12-10)2=4, D(Z)=0.2×(7-10)2+0.5×(10-10)2+0.3×(12-10)2=3, D(X)>D(Z),故种植丙时获利的稳定性更好, 因此,农作物丙最适合在该地区推广种植. $$