１.２.１-1.2.2 等差数列与一次函数（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.2　等差数列　 1.2.1　等差数列及其通项公式 1.2.2　等差数列与一次函数 基础过关练 题组一　等差数列的概念 1.下列数列不是等差数列的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1,1,1,1,1　　　　B.4,7,10,13,16 C.,,1,,　　　　D.-3,-2,-1,1,2 2.已知数列{an},若对任意的n∈N+,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,则{an}(　　) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为1的等差数列 C.是公差为-2的等差数列 D.不是等差数列 3.设{an}是等差数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a=　　　　.  5.已知数列{an}中,点(an,an+1)(n∈N+)在直线x-y+1=0上,且a2=2.求证:数列{an}是等差数列. 题组二　等差数列的通项公式 6.已知{an}是首项为-24的等差数列,且从第10项起为正数,则公差d的取值范围是(　　) A.　　　　　　　　B. C.　　　　D. 7.在数列{an}中,若=+,a1=8,则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=2(n+1)2　　　　B.an=4(n+1) C.an=8n2　　　　D.an=4n(n+1) 8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,它讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 019这2 019个数中,能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列的所有项中,中间项的值为(　　) A.992　　　　B.1 022 C.1 007　　　　D.1 037 9.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章,卷第六《均输》中有一问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问中间二节欲均容,各多少?”其意思为:“今有竹九节,下三节容量和为4升,上四节容量和为3升,使中间两节也均匀变化,每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第五节容量是　　　升.(结果用分数表示)  10.已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=. (1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 题组三　等差中项 11.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(　　) A.2　　B.3　　C.6　　D.9 12.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z=(　　) A.26　　B.29　　C.39　　D.52 13.(多选)下列命题中,正确的是(　　) A.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列 B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列 C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列 D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列 题组四　等差数列的性质 14.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则数列{an+bn}的第37项为(　　) A.0　　　　B.37 C.100 　　　　D.-37 15.在等差数列{an}中,a1+3a7+a13=120,则3a9-a13=(　　) A.6　　　　B.12 C.24　　　　D.48 16.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为(　　) A.7　　B.5　　C.3　　D.1 17.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,求k的值. 18.在等差数列{an}中,公差为d. (1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13; (2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d. 能力提升练 题组一　等差数列的通项公式及其应用 1.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.161　　B.155　　C.141　　D.139 2.已知等差数列{an}的首项为a,公差为1,bn=,若对任意的正整数n都有bn≥b5,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-4)∪(-3,+∞)　　　　 B.(-4,-3) C.(-∞,-5)∪(-4,+∞)　　　　 D.(-5,-4) 3.已知数列{an},{bn}均为等差数列,若a1b1=3,a2b2=7,a3b3=13,则a4b4=(　　) A.19　　　　B.21 C.23　　　　D.27 4.(多选)已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N+),则下列说法正确的有(　　) A.数列{an}是等差数列 B.a2k=7-2k(k∈N+) C.a2k-1=12-2k(k∈N+) D.an+an+1=18-3n 5.如果x=[x]+{x},[x]∈Z,0≤{x}<1,就称[x]表示x的整数部分,{x}表示x的小数部分,已知数列{an}满足a1=,an+1=[an]+,则 a2 019-a2 018=(　　) A.2 019-　　　　B.2 018+ C.6+　　　　D.6- 6.已知数列{an}满足a1=,且当n>1,n∈N+时,有=.设bn=,n∈N+. (1)求证:数列{bn}为等差数列; (2)试问a1a2是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 题组二　等差数列的性质及其应用 7.为鼓励外出能人返乡创业,某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{an}(单位:万元,n∈N+),每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍,已知+=72,则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为(　　) A.72万元　　　　B.96万元 C.120万元　　　　D.144万元 8.数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N+),实数k为常数. ①数列{an}有可能是常数列; ②k=1时,数列为等差数列; ③若a3>a1,则k的取值范围是(-2,0); ④k>0时,数列{an}单调递减. 则以上说法正确的序号是　　　　.  9.已知两个等差数列{an}:5,8,11,…与{bn}:3,7,11,…,它们的公共项组成数列{cn},则数列{cn}的通项公式cn=　　　　;若数列{an}和{bn}的项数均为100,则{cn}的项数是　　　　.  题组三　等差数列的综合应用 10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,依次成等差数列,则下列结论中一定成立的是(　　) A.a,b,c依次成等差数列 B.,,依次成等差数列 C.a2,b2,c2依次成等差数列 D.a3,b3,c3依次成等差数列 11.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n∈N+),λ是常数. (1)当a2=-1时,求λ及a3的值; (2)判断是否存在实数λ,使得数列{an}为等差数列,并说明理由. 12.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+). (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D　 2.A　由题意知an=2n+1,则an+1-an=2,故选A. 3.C　由题意可得公差d=a2-a1=a3-a2>0,所以数列{an}是递增数列,充分性成立; 若数列{an}是递增数列,则必有a1<a2<a3,即必要性成立.故选C. 4.答案　0 解析　∵{an}是等差数列,∴an+1-an=常数,即[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数, ∴2a=0,∴a=0. 5.证明　∵点(an,an+1)(n∈N+)在直线x-y+1=0上, ∴an-an+1+1=0,即an+1-an=1(n∈N+), 又∵a2=2,∴a1=1. ∴数列{an}是公差、首项均为1的等差数列. 6.C　设{an}的公差为d,则an=-24+(n-1)d,n∈N+, 由解得<d≤3. 7.A　由题意得-=,故数列{}是首项为=2,公差为的等差数列,所以=2+(n-1)=n+,故an=2(n+1)2. 8.C　由题意可知an-2既是3的倍数,又是5的倍数,所以an-2是15的倍数,即an-2=15(n-1),n∈N+,故an=15n-13,易求得a135=15×135-13= 2 012<2 019,a136=15×136-13=2 027>2 019, 故n=1,2,3,…,135,所以数列{an}共有135项,中间项为第68项,且a68=15×68-13=1 007,故选C. 9.答案　 解析　记从下部算起第n节的容量为an,则数列{an}为等差数列,设其公差为d,则解得∴a5=a1+4d=,即从下部算起第五节容量是升. 10.解析　(1)证明:∵(an+1-1)(an-1)=3[(an-1)-(an+1-1)], ∴-=,即bn+1-bn=, 又∵a1=2,∴b1=1. ∴{bn}是以1为首项,为公差的等差数列. (2)由(1)得bn=n+=,∴an-1=, ∴an=. 11.B　由已知得解得 所以m和n的等差中项为=3. 12.C　∵5,x,y,z,21成等差数列, ∴y既是5和21的等差中项,也是x和z的等差中项,∴5+21=2y,x+z=2y, ∴y=13,x+z=26,∴x+y+z=39. 13.AC　∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴2×(2b)=2a+2c,∴2a,2b,2c成等差数列,故A正确;取a=1,b=2,c=3,得log2a,log2b,log2c分别为0,1,log23,不成等差数列,故B错误;∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴2(b+2)=(a+2)+(c+2),∴a+2,b+2,c+2成等差数列,故C正确;取a=1,b=2,c=3,得21=2,22=4,23=8,不成等差数列,故D错误.故选AC. 14.C　∵{an},{bn}是等差数列,∴{an+bn}是等差数列.∵a1+b1=100,a2+b2=100,∴数列{an+bn}的公差为0,∴a37+b37=100. 15.D　由题意得a1+3a7+a13=5a7=120,所以a7=24,所以3a9-a13=a9+2a9-a13=a9+a5=2a7=2×24=48,故选D. 16.D　由于{an},{bn}为等差数列, 故数列{2an-3bn}的公差d=(2an+1-3bn+1)-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=1. 17.解析　设数列{an}的公差为d,∵a4+a7+a10=3a7=17,∴a7=.∵a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=11a9=77,∴a9=7,∴d==.∴ak-a9=(k-9)d,即13-7=(k-9)×,解得k=18. 18.解析　解法一:(1)由a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12. (2)由a2+a3+a4+a5=34, 得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17, 由解得或 由d=得d=3或d=-3. 解法二:(1)由题意得(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48, ∴4a13=48,∴a13=12. (2)由题意得 解得或 ∴d=3或d=-3. 能力提升练 1.B　设该高阶等差数列的第8项为x,根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到另一个新数列,即得到了一个等差数列,如图: 由图可得解得故选B. 2.D　依题意得,an=a+(n-1)×1=n+a-1, ∴bn==1+. 解法一:设函数y=+1,画出图象,如图. 结合题意知,1-a∈(5,6), ∴5<1-a<6,解得-5<a<-4,故选D. 解法二:若对任意的正整数n都有bn≥b5, 则有(bn)min=b5=1+, 结合数列{bn}的单调性可知, 即 解得-5<a<-4.故选D. 3.B　设等差数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+b,bn=cn+d,则anbn=(an+b)(cn+d)=acn2+(ad+bc)n+bd,令cn=anbn=acn2+(ad+bc)n+bd,则cn+1-cn=ac(n+1)2+(ad+bc)(n+1)+bd-acn2-(ad+bc)n-bd=2acn+(ac+ad+bc),易知数列{cn+1-cn}为等差数列,设为{dn}.又∵c1=a1b1=3,c2=a2b2=7,c3=a3b3=13,∴d1=c2-c1=4,d2=c3-c2=6,可得数列{dn}的公差为2,d3=c4-c3=a4b4-a3b3=d2+2=8,∴a4b4=a3b3+8=13+8=21.故选B. 4.BC　由an-an+2=2得a3=a1-2=8,由于2a2≠a1+a3,所以{an}不是等差数列,故A不正确;由an-an+2=2,知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列,公差都为-2,当n=2k(k∈N+)时,a2k=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,当n=2k-1(k∈N+)时,a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B,C都正确;当n=2时,a2+a3=5+8=13,不满足an+an+1=18-3n,故D错误.故选BC. 5.D　∵a1=,an+1=[an]+,∴a2=2+=6+2,a3=10+=12+,a4=14+=18+2,a5=22+=24+,……,∴a2 018=6×2 017+2,a2 019=6×2 018+,则a2 019-a2 018=6-,故选D. 6.解析　(1)证明:当n>1,n∈N+时, =⇔=⇔-2=2+⇔-=4⇔bn-bn-1=4, 又∵b1==5, 故{bn}是首项为5、公差为4的等差数列. (2)由(1)知bn=5+4(n-1)=4n+1, ∴an==,n∈N+. ∴a2=,又∵a1=,∴a1a2=. 令an==,解得n=11,即a1a2=a11, ∴a1a2是数列{an}中的项,是第11项. 7.C　由题意,得五年累计总投入资金为a1+a2+a3+a4+a5+5×3a1=5a3+15a1=5(a3+3a1)=10(a1+a2), 又∵10(a1+a2)=10≤10×=120,当且仅当a1=a2时等号成立, ∴预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元.故选C. 8.答案　①②④ 解析　当k=0时,数列{an}是常数列,故①正确;当k=1时,原式整理得-=1,所以数列为等差数列,故②正确;若a3>a1,则a3==>1,解得-1<k<0,故③错误;令n=3,得a4==,归纳猜想an=, 由k>0得>>0,故an+1<an,故④正确. 9.答案　12n-1;25 解析　由于数列{an}和{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,且公差为3×4=12,又因为c1=11,故cn=11+12(n-1)=12n-1.而a100=302,b100=399,所以解得1≤n≤25.25,故{cn}的项数为25. 10.C　由已知得=+, 所以=+, 利用正弦定理及余弦定理得2·=+,整理得2b2=a2+c2, 即a2,b2,c2依次成等差数列.此时对等差数列a2,b2,c2的每一项取相同的运算得到数列a,b,c或,,或a3,b3,c3,这些数列一般都不可能是等差数列,除非a=b=c,但题目中没有说△ABC是等边三角形,故选C. 11.解析　(1)因为an+1=(n2+n-λ)an(n∈N+),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,所以λ=3. 从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)不存在实数λ,使得数列{an}为等差数列. 理由如下: 由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an, 得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ), a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在实数λ,使得数列{an}为等差数列, 则a3-a2=a2-a1, 即(5-λ)(2-λ)=1-λ,所以λ=3. 于是a2-a1=1-λ=-2, a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24, a2-a1≠a4-a3,这与{an}为等差数列矛盾. 所以不存在实数λ,使得数列{an}为等差数列. 12.解析　(1)证明:由3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+),得-=3(n≥2,n∈N+). 因为=1,所以数列是以1为首项、3为公差的等差数列. (2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2, 所以an=(n∈N+). (3)因为λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,即+3n-2≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,所以只需λ≤对任意的n≥2,n∈N+恒成立即可. 令f(n)=(n≥2,n∈N+),则只需满足λ≤f(n)min即可. 因为f(n+1)-f(n)=-==3-, 所以当n≥2时, f(n+1)-f(n)>0, 即f(2)<f(3)<f(4)<…, 所以f(n)min=f(2). 又因为f(2)=,所以λ≤. 所以实数λ的取值范围为. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$