１.１ 数列的概念（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第1章　数列 1.1　数列的概念 基础过关练 　　　　　　　　　　　　　 题组一　对数列相关概念的理解 1.(多选)下面四个结论正确的是(　　) A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 B.数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数 C.数列的图象是一系列孤立的点 D.数列的项数是无限的 2.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A.1,,,,… B.sin ,sin ,sin ,sin ,… C.-1,-,-,-,… D.1,2,3,4,…,30 3.写出一个同时满足下列条件的数列{an}:①无穷数列;②递减数列;③每一项都是正数,则an=　　　　　.  题组二　数列的通项公式 4.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N+,则该数列的前4项依次为(　　) A.1,0,1,0　　　　B.0,1,0,1 C.,0,,0　　　　D.2,0,2,0 5.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一个通项公式是an=(　　) A.(10n-1)　　　　B.(10n-1) C.　　　　D.(10n-1) 6.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两点间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图中化学键的个数为(　　) A.6n　　　　B.5n+1 C.5n-1　　　　D.4n+2 7.已知数列1,,,,,,,,,,…,则是数列中的(　　) A.第29项　　　　B.第30项 C.第36项　　　　D.第37项 题组三　数列的递推公式 8.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,n∈N+,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5等于(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 9.九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏,它由九个铁丝圆环相连成串,按一定规则移动圆环的次数,决定解开圆环的个数.在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N+)个圆环最少需要移动的次数,数列{an}满足a1=1,且an+1=则解下5个环最少需要移动的次数为(　　) A.7　　　　B.10 C.16　　　　D.31 10.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照,的分形规律生长成的一个树形图,则第10行的实心圆点的个数是(　　) A.89　　　　B.55 C.34　　　　D.144 11.数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=　　　　.  题组四　数列的单调性 12.已知数列{an}满足an=n∈N+,若对于任意n∈N+都有an>an+1,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 13.已知an=(n∈N+),则在数列{an}的前40项中,最大项和最小项分别是(　　) A.a1,a30　　　　B.a1,a9 C.a10,a9　　　　D.a12,a11 14.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N+),且数列{an}从第n项起单调递减,则n的最小值为(　　) A.11　　　　B.12 C.13　　　　D.不存在 15.若an=2n2+λn+3(其中λ为实常数),n∈N+,且数列{an}为单调递增数列,则实数λ的取值范围为　　　　.  16.已知an=(n∈N+),则数列{an}中有没有最大项?如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由. 能力提升练 题组一　数列的通项公式及其应用 1.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第20项与第21项的和为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.380　　B.410　　C.420　　D.462 2.设an=+++…+(n∈N+),那么an+1-an=(　　) A.　　　 　B. C.+　　　　D.- 3.(多选)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以为(　　) A.an=　　　　B.an=1+(-1)n+1 C.an=2　　　　D.an= 4.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.  5.已知数列{an}的通项公式是an=. (1)判断是不是数列{an}中的项; (2)试判断数列{an}中的各项是否都在区间(0,1)内; (3)试判断在区间内是否有数列{an}中的项.若有,是第几项?若没有,请说明理由. 题组二　数列的递推公式及其应用 6.在数列{an}中,a1=1,a2=2,a3n+2=an+2,a3n+1=a3n=an,则a2 021=(　　) A.7　　　　B.8 C.9　　　　D.10 7.雪花曲线因其形状类似雪花而得名,它的产生与雪花类似,由等边三角形开始,把三角形的每一条边三等分,并以每一条边三等分后的中段为边,向外作新的等边三角形,但要去掉与原三角形叠合的边,接着对每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程,即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形[图(2)、(3)、(4)是等边三角形(1)经过第一次、第二次、第三次变化所得的雪花曲线].若按照上述规律,一个边长为3的等边三角形,经过四次变化得到的雪花曲线的周长是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 8.数学上有很多著名的猜想,角谷猜想就是其中之一,一般指冰雹猜想,它是指一个正整数,如果是奇数就乘3再加1,如果是偶数就除以2,这样经过若干次数,最终回到1.对任意正整数a0,记按照上述规则实施第n次运算的结果为an(n∈N),则使a7=1的a0的所有可能取值的个数为(　　) A.3　　　　B.4 C.5　　　　D.6 题组三　数列的单调性 9.已知数列{an}对任意的n∈N+都有an+1<,且a1+a2+…+a9=9,则下列说法正确的是(　　) A.数列{an+1-an}为单调递减数列,且a5>1 B.数列{an+1-an}为单调递增数列,且a5>1 C.数列{an+1-an}为单调递减数列,且a5<1 D.数列{an+1-an}为单调递增数列,且a5<1 10.已知数列{an}满足∀m,n∈N+,am+n=am·an,且a1=.则 (1)a4=　　　　;  (2)数列{n2·an}的最大项为第　　项.  11.已知数列{an}满足an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0). (1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.BC 2.C　 3.答案　(答案不唯一) 4.A　解法一:由an=,n∈N+,可得a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.故选A. 解法二:因为当n∈N+且n为奇数时,1+(-1)n+1=2,当n∈N+且n为偶数时,1+(-1)n+1=0,所以数列{an}的奇数项的值为1,偶数项的值为0,故该数列的前4项依次为1,0,1,0. 5.C　数列9,99,999,9 999,…的一个通项公式是bn=10n-1,则数列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的一个通项公式是cn=×(10n-1)=1-,则数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一个通项公式是an=.故选C. 6.B　题图中化学键的个数依次为6,11,16,…,后一个图中的化学键的个数总比前一个图中的化学键的个数多5,则第n个图中有(5n+1)个化学键.故选B. 7.A　数列中分母与分子之和为2的有一个,为3的有两个,为4的有三个,……,故出现在和为9的那组,即第八组,且为该组的第一个数,前七组共有1+2+3+…+7=28个数,故是第29个数,即第29项.故选A. 8.C　当n=2时,a1a2=22;当n=3时,a1a2a3=32;当n=4时,a1a2a3a4=42;当n=5时,a1a2a3a4a5=52,则a3===,a5===,所以a3+a5=.故选C. 9.C　由题意知a5=2a4+2=2(2a3-1)+2=4(2a2+2)=8(2a1-1)+8=16a1=16.故选C. 10.C　设第n行实心圆点的个数为an,由题图可得,a1=0,a2=1,a3=1,a4=2,a5=3,a6=5,……,则an=an-2+an-1(n≥3),故a7=a5+a6=8,a8=a6+a7=13,a9=a7+a8=21,a10=a8+a9=34.故选C. 11.答案　 解析　由已知得an+1===1-=1-=an-2,所以a8=a5=a2=2,而a2==2,解得a1=. 12.C　由题意可得解得<a<1.故选C. 13.D　an==1+,当n≤11时,数列{an}递减,且an<1;当n≥12时,数列{an}递减,且an>1,故最大项和最小项分别是a12和a11.故选D. 14.A　解法一:∵an=,∴an+1=, ∴an+1-an=- =. 由数列{an}从第n项起单调递减可得an+1-an<0, 即-n2-n+130<0,n∈N+,解得n>或n<(舍去). ∵22<<23,∴10.5<<11, ∴n≥11,∴a11>a12>a13>…, 即从第11项起,{an}单调递减, ∴n的最小值为11. 解法二:设f(x)=(x>0), 则f(x)=,x+≥2,当且仅当x=时等号成立,则当x=时,x+取得最小值,此时f(x)取得最大值,又∵11<<12,a11=>a12=,∴数列{an}中的最大项是第11项,故选A. 15.答案　(-6,+∞) 解析　若数列{an}为单调递增数列,则an+1>an,即2(n+1)2+λ(n+1)+3>2n2+λn+3,整理得λ>-(4n+2),∵n≥1,∴-(4n+2)≤-6,故λ>-6. 16.解析　解法一:由an=(n∈N+)得,an+1-an=-=,n∈N+. 当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8时单调递增;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an,即a8=a9;当n>8时,an+1-an<0,即an+1<an,即{an}在n>8时单调递减. 所以数列{an}的最大项是第8项或第9项, 即a8=a9=. 解法二:设an为最大项, 则(n≥2,n∈N+), 即解得8≤n≤9. 又因为n∈N+,所以n=8或n=9. 故{an}的最大项为a8=a9=. 能力提升练 1.C　由已知可得该数列的偶数项的通项公式a2n=2n2,∴a20=a2×10=2×102=200,奇数项的通项公式a2n-1=2n(n-1),∴a21=a2×11-1=2×11×10=220,∴a20+a21=200+220=420,故选C. 2.D　∵an=+++…+, ∴an+1=++…+++, ∴an+1-an=+-=-.故选D. 3.ABC　对于A,∵an=∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确; 对于B,∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确; 对于C,∵an=2,∴a1=2=2,a2=2=0,a3=2=2,a4=2=0,故C正确; 对于D,∵an=,∴a1==2,a2==1,a3==2,a4==1,故D错误.故选ABC. 4.答案　61 信息提取　①四个对称图形;②f(1)=1, f(2)=1+3+1, f(3)=1+3+5+3+1, f(4)=1+3+5+7+5+3+1. 数学建模　本题以小正方形的个数变化为背景构建“数列模型”.前四个图案中小正方形的个数分别是1,5,13,25,排成一列形成一个数列,从而把实际问题抽象成数列问题,再探索规律,总结出f(n). 解析　由题图得, f(1)=1, f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3, f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5, f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7, 故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1. 当n=6时, f(6)=2×6×5+1=61. 5.解析　(1)由题可得an===, 令=,解得n=. 因为不是正整数,所以不是数列{an}中的项. (2)由(1)可得an===1-, 因为n∈N+,所以0<<1,所以0<an<1. 所以数列{an}中的各项都在区间(0,1)内. (3)在区间内有数列{an}中的项. 令<an<,得<<, 即解得<n<, 又因为n∈N+,所以n=2. 故区间内有且仅有一个数列{an}中的项,是第2项,且a2=. 6.D　∵a3n+2=an+2,a3n+1=a3n=an,∴a2 021=a3×673+2=a673+2=a3×224+1+2=a224+2=a3×74+2+2=a74+4=a3×24+2+4=a24+6=a8+6=a2+8,∵a2=2,∴a2 021=a2+8=10.故选D. 7.C　设雪花曲线的边长分别为a1,a2,a3,a4,a5,边数分别为b1,b2,b3,b4,b5,周长为Sn(n=1,2,3,4,5),由题图可得,a2=a1×=1,a3=a2=,a4=a3=,a5=a4=,b1=3,b2=3×4,b3=3×4×4,b4=3×4×4×4,b5=3×4×4×4×4,则S1=9,S2=12,S3=16,S4=,S5=.故选C. 8.D　由题意知, ∀n∈N+,an= 由a7=1,得a6=2,∴a5=4,∴a4=1或a4=8. ①当a4=1时,a3=2,∴a2=4,∴a1=1或a1=8,∴a0=2或a0=16. ②当a4=8时,a3=16,∴a2=5或a2=32.当a2=5时,a1=10,此时a0=3或a0=20;当a2=32时,a1=64,此时a0=21或a0=128. 综上,满足条件的a0的值共有6个.故选D. 9.D　∵数列{an}对任意的n∈N+都有an+1<,∴an+2-an+1>an+1-an, ∴{an+1-an}为单调递增数列, ∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,同理可得,2a5<a4+a6<a3+a7<a2+a8<a1+a9. ∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1.故选D. 10.答案　(1)　(2)5 解析　(1)因为am+n=am·an,a1=,所以a4=a2·a2==(a1·a1)2===. (2)因为am+n=am·an, 所以an=an-1·a1=an-2·a1·a1=…=a2·=(a1)n=,所以n2an=n2. 设数列{n2·an}的第k项最大, 则有 即 解得k∈[2+,3+]. 因为k∈N+,所以k=5,所以第5项最大. 11.解析　(1)解法一:∵a=-7,∴an=1+. 结合函数y=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N+), ∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0. 解法二:∵a=-7,∴an=1+. 设数列中的最大项为an, 则(n≥2且n∈N+), 即解得<n<. 又∵n≥2且n∈N+,∴n=5,即数列{an}中的最大项为a5=2. 同理可得,数列{an}中的最小项为a4=0. (2)an=1+=1+. ∵对任意的n∈N+,都有an≤a6成立, ∴结合函数y=1+的单调性,知5<<6, ∴-10<a<-8.故实数a的取值范围为(-10,-8). 16 学科网（北京）股份有限公司 $$