第3章 专题强化练11 圆锥曲线中的最值与范围问题的解法（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

专题强化练11　圆锥曲线中的最值与范围问题的解法 1.已知双曲线C:-y2=1的左焦点为F,点M在双曲线C的右支上,A(0,3),当△MAF的周长最小时,△MAF的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　 A.　　B.9　　C.　　D.4 2.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,|F1F2|=4,点Q(2,)在椭圆C上,P是椭圆C上的动点,则·的最大值为(　　) A.4　　B.　　C.5　　D.4+ 3.设F1为椭圆C:+y2=1的左焦点,P为椭圆C上给定一点,以PF1为直径作圆Γ,点Q为圆Γ上的动点,则坐标原点O到Q的距离的最大值为　　　　.  4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点.D为OA的中点(O为坐标原点),B,D在y轴上的投影分别为P,Q,则|PQ|的最小值是　　　　.  5.已知椭圆+y2=1上存在相异两点关于直线y=x+t对称,则实数t的取值范围是　　　　.  6.已知直线l经过抛物线C:y=的焦点,与抛物线交于A,B两点,且xA+xB=8,点D是抛物线的一段弧(O为原点)上一动点,以点D为圆心的圆与直线l相切,当圆D的面积最大时,圆D的标准方程为　　　　.  7.已知动圆E与圆M:(x-1)2+y2=外切,并与直线x=-相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)过点Q(-2,0)的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得∠APB=90°,求直线l的斜率k的取值范围. 8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点,其一个焦点为(,0). (1)求椭圆C的方程; (2)若直线y=k(x-1)(k≠0)与x轴交于点P,与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q,求的取值范围. 9.在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PG,G为垂足,=.当点P在圆上运动时,点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)过点Q(-1,0)的两条相互垂直的直线分别交曲线E于A,B和C,D,求四边形ACBD面积的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.A　设C的右焦点为F',由题意可得a=2,c=3, 因为|MF|-|MF'|=2a=4,所以|MF|=|MF'|+4,易得|AF|=3,所以△MAF的周长为|MA|+|MF|+|AF|=|MA|+|MF'|+7≥|AF'|+7=10,即当A,M,F'三点共线,且M在线段AF'上时,△MAF的周长最小, 易得直线AF'的方程为y=-x+3,联立解得y=或y=-1(舍去),即此时M的纵坐标为,故△MAF的面积为|FF'|·|OA|-|FF'|·|yM|=×6×=.故选A. 2.B　由题意可得解得 所以椭圆的方程为+=1, 易得F1(-2,0),设P(x,y),则+=1,即x2=8-2y2,-2≤y≤2, 则·=(2-x,-y)·(-2-x,-y)=x2-4+y2-y=-y2-y+4=-+,当且仅当y=-时,·取得最大值,为,故选B. 3.答案　 解析　设PF1的中点为M,椭圆的右焦点为F2,连接OM,PF2,QM, 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=2, 由OM为△PF1F2的中位线,可得|OM|=|PF2|, 又∵|QM|=|PF1|, ∴|OQ|≤|OM|+|QM|=|PF1|+|PF2|=×2a=a=,当且仅当O,M,Q三点共线时,|OQ|取得最大值,为. 4.答案　4 解析　如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+2,联立整理得y2-8my-16=0, 则y1+y2=8m,y1y2=-16,因为D为OA的中点,所以D,则Q,P(0,y2),从而|PQ|=|OP|+|OQ|=|y2|+≥2=4,当且仅当|y2|=,即y1=4,y2=-2或y1=-4,y2=2时,等号成立. 5.答案　 解析　设两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),根据对称性可知线段AB被直线y=x+t垂直平分,设AB的中点为M(x0,y0),则M在直线y=x+t上,且kAB=-1,故可设直线AB的方程为y=-x+b,联立整理可得3x2-4bx+2b2-2=0,由Δ=16b2-12(2b2-2)>0,可得-<b<, ∴x1+x2=,y1+y2=2b-(x1+x2)=, ∴x0==,y0==, ∵AB的中点M在直线y=x+t上, ∴=+t,可得t=-,∴-<t<. 6.答案　(x-4)2+(y-2)2=8 解析　设A(xA,yA),B(xB,yB),因为点A,B在抛物线C:y=上,所以yA=,yB=,两式相减可得yA-yB==,所以=.因为xA+xB=8,所以==1,所以直线l的斜率为1,又因为直线l过抛物线的焦点(0,2),所以直线l的方程为y=x+2,联立可得x2-8x-16=0,解得或不妨设A(4-4,6-4),B(4+4,6+4),点D,因为点D是弧(O为原点)上一动点,所以4-4<t<4+4且t-+2>0,因为圆D与直线l相切,所以圆D的面积最大时圆心D到直线l的距离最大.易得点D到直线l的距离d===,当t=4时,dmax=2,此时圆D的方程为(x-4)2+(y-2)2=8. 7.解析　(1)因为动圆E与圆M:(x-1)2+y2=外切,并与直线x=-相切,所以点E到点M的距离比点E到直线x=-的距离大. 因为圆M:(x-1)2+y2=的半径为,所以点E到点M的距离等于点E到直线x=-1的距离, 所以圆心E的轨迹为抛物线,且焦点坐标为(1,0). 所以曲线C的方程为y2=4x. (2)设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=k(x+2)(k≠0). 由得ky2-4y+8k=0, 则y1+y2=,y1y2=8. 由得-<k<且k≠0. kPA===,同理得kPB=. 由∠APB=90°,得·=-1, 即+y0(y1+y2)+y1y2=-16, 所以+y0+24=0, 由Δ=-96≥0及-<k<且k≠0,得-≤k≤且k≠0, 所以k的取值范围为∪. 8.解析　(1)由题意得解得 所以椭圆C的方程是+y2=1. (2)易知P(1,0).由得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,故Δ=64k4-4(1+4k2)(4k2-4)=16+48k2>0恒成立, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2-2)=.所以线段AB的中点坐标为,所以线段AB的垂直平分线方程为y-=-,于是Q.又因为点P(1,0),所以|PQ|==. 又因为|AB|==, 所以==4 =4. 因为k≠0,所以1<3-<3.所以的取值范围为(4,4). 9.解析　(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则G(x0,0).∵=,∴x=x0,y=y0,∴x0=x,y0=y, ∵点P在圆x2+y2=4上,∴+=4,∴x2+=4, ∴曲线E的方程为x2+y2=4,即+=1. (2)①当直线AB的倾斜角为0°时,|AB|=4,|CD|=3, S四边形ACBD =|AB||CD|=6. 同理直线AB的倾斜角为90°时,S四边形ACBD =|AB|·|CD|=6. ②当直线AB的倾斜角不为0°和90°时, 设直线AB的方程为x=my-1(m≠0), 则直线CD的方程为x=-y-1, 联立得(3m2+4)y2-6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=, |AB|=·|y1-y2|= = =×6×=12×, 用-代替m得|CD|=12×, ∴四边形ACBD的面积S=|AB||CD|=×12××12×, 令t=m2+1,m≠0,∴t>1,∴0<<1, ∴S=72××=72××=72×=72×,0<<1, ∴≤S<6. 综上所述,四边形ACBD面积的取值范围是. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$