第2章 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

综合拔高练 高考真题练 考点1　直线方程及其应用 1.(2020全国Ⅲ文,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1　　　　B. C.　　　　D.2 2.(2019江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.  考点2　点与圆、直线与圆的位置关系 3.(2020全国Ⅰ文,6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　) A.1　　　　B.2 C.3　　　　D.4 4.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A.4　　　　B.5 C.6　　　　D.7 5.(2020全国Ⅱ理,5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 6.(多选)(2021新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　) A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切 7.(2021天津,12)若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=　　　　.  8.(2020天津,12)已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为　　　　.  9.(2020浙江,15)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=　　　　,b=　　　　.  考点3　直线与圆的方程的综合应用 10.(2020全国Ⅰ理,11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　) A.2x-y-1=0　　　　 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0　　　　 D.2x+y+1=0 11.(多选)(2021新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时,|PB|=3 D.当∠PBA最大时,|PB|=3 高考模拟练　　　　　　　　　　　　　　　 应用实践 1.若圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0上存在到直线4x-3y-2=0的距离等于1的点,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　 B. C.∪　　　　 D.∪ 2.已知直线l:ax+y-2=0与圆C:(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,则△ABC为钝角三角形的充要条件是(　　) A.a∈(1,3)　　　　 B.a∈(2-,2+) C.a∈(2-,1)∪(1,2+)　　　　 D.a∈(-∞,2-)∪(2+,+∞) 3.已知点P(t,t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆(x-2)2+y2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是(　　) A.-1　　　　B.2 C.3　　　　D. 4.已知圆C1:(x-2)2+y2=4,C2:(x-2-5cos θ)2+(y-5sin θ)2=1(θ∈R),过圆C2上一点P作圆C1的两条切线,切点分别是E,F,则·的最小值是(　　) A.6　　　　B.5 C.4　　　　D.3 5.(多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中,已知A(-4,2),B(2,2),点P满足=2,设点P的轨迹为圆C,则下列结论正确的是(　　) A.圆C的方程是(x-4)2+(y-2)2=16 B.过点A作圆C的切线,两条切线的夹角为 C.过点A作直线l,若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,则直线l的斜率为± D.在直线y=2上存在异于A,B的两点D,E,使得=2 6.直线kx-y+1-k=0与圆C:(x-2)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,则△ABC面积的最大值为　　　　.  7.已知圆C1:x2+y2-2x-4y+3=0,直线l:y=x-a(a>0).若直线l与圆C1和圆C2均相切于同一点,且圆C2经过点(4,-1),则圆C2的标准方程为　　　　　　　　.  8.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,过点P(0,3)且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A,B,点Q. (1)若直线l的斜率k=,求线段AB的长度; (2)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值,并求出该定值; (3)设线段AB的中点为M,是否存在直线l使|MO|=|MQ|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 迁移创新 9.规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.将所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题: (1)如图①,若母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向B'(8,-4)处运动,求碰撞前母球A的球心运动的直线方程; (2)如图②,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标球B后,使目标球B向B'(8,-4)处运动? (3)当A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B,目标球B(4,0)可以向能碰到目标球C(7,-5)的方向运动,求a的最小值(只需要写出结果即可). 答案与分层梯度式解析 高考真题练 1.B　解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d==,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号.即|k+1|≤·,所以d=≤,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为.故选B. 解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点P(-1,0)且斜率存在的直线,点Q(0,-1)到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,最大距离为|PQ|=,故选B. 2.答案　4 解析　设P,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d==≥4,当且仅当x0=,即x0=时等号成立. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4. 3.B　圆x2+y2-6x=0化为(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),设为C,半径为3, 设P(1,2),当过点P的直线和直线CP垂直时,圆心到过点P的直线的距离最大,所求的弦长最短,此时|CP|==2. 根据弦长公式得,最小值为2=2=2.故选B. 4.A　设圆心为A(x,y),由已知得(x-3)2+(y-4)2=1,即A在以(3,4)为圆心、1为半径的圆上,所以圆心A到原点的距离的最小值为-1=5-1=4.故选A. 5.B　设圆心为P(x0,y0),半径为r,∵圆与x轴、y轴都相切,∴|x0|=|y0|=r,又∵圆经过点(2,1),∴x0=y0=r且(2-x0)2+(1-y0)2=r2,∴(r-2)2+(r-1)2=r2,解得r=1或r=5. ①r=1时,圆心P(1,1),则圆心到直线2x-y-3=0的距离为=; ②r=5时,圆心P(5,5),则圆心到直线2x-y-3=0的距离为=.故选B. 6.ABD　圆心C(0,0)到直线l的距离d=, 若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d==|r|,所以直线l与圆C相切,故A正确. 若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=>|r|,所以直线l与圆C相离,故B正确. 若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=<|r|,所以直线l与圆C相交,故C错误. 若点A(a,b)在直线l上, 则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d==|r|, 所以直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD. 7.答案　 解析　假设点A在x轴的上方,斜率为的直线与x轴交于点D,则可得tan∠ADO=,所以=,如图所示,由圆的方程可得,圆的半径|BC|=1,由于B为切点,所以AB⊥BC,所以|AB|==. 8.答案　5 解析　设圆心(0,0)到直线x-y+8=0的距离为d,则d==4,∴r2=+d2=32+42=25,又∵r>0,∴r=5. 9.答案　;- 解析　解法一:由直线与圆相切的充要条件知⇔⇔ 解法二:如图所示. 由图易知,直线y=kx+b经过点(2,0),且倾斜角为30°,从而k=,且0=+b⇔b=-. 10.D　☉M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,半径r=2,圆心为M(1,1).如图所示,由题可知,AB⊥PM, |PM|·|AB|=2S四边形APBM=2(S△PAM+S△PBM) =2(|PA|+|PB|), ∵|PA|=|PB|, ∴|PM|·|AB|=4|PA|=4 =4, 当|PM|最小时,|PM|·|AB|最小,易知|PM|min==, 此时|PA|=1,AB∥l,设直线AB的方程为y=-2x+b(b≠-2), 圆心M到直线AB的距离d=, |AB|==,∴d2+=|MA|2, 即+=4,解得b=-1或b=7(舍去). 综上所述,直线AB的方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0,故选D. 11.ACD　∵A(4,0),B(0,2),∴过点A,B的直线方程为+=1,即x+2y-4=0,设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为C,则C(5,5),圆心C到直线x+2y-4=0的距离d===>4, ∴点P到直线AB的距离的范围为,∵<5,∴-4<1,+4<9,∴点P到直线AB的距离小于10,但不一定大于2,故A正确,B错误;如图所示,当过点B的直线与圆相切时,∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小,位于P2时∠PBA最大),此时|BC|===,∴|P1B|=|P2B|===3,故C,D均正确. 高考模拟练 1.A　将圆的方程化为标准形式得圆(x-a)2+(y+2)2=16,所以圆心坐标为(a,-2),半径r=4,因为圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0上存在到直线4x-3y-2=0的距离等于1的点,所以圆心到直线的距离d满足d≤r+1=5,即d=≤5,解得a∈,故选A. 2.C　圆C的圆心为C(1,a),半径r=2,由于△ABC为等腰三角形,若该三角形为钝角三角形,则∠CAB<45°,设圆心C到直线l的距离为d,则d=,则sin∠CAB==<,整理可得a2-4a+1<0,解得2-<a<2+.易知直线l不过圆心C,则2a-2≠0,解得a≠1.综上所述,a∈(2-,1)∪(1,2+).故选C. 3.B　设圆x2+(y-1)2=的圆心为A,圆(x-2)2+y2=的圆心为B,则A(0,1),B(2,0),则|PN|-|PM|≤|PB|+-=|PB|-|PA|+1,设点A关于直线y=x的对称点为A',则A'(1,0),则|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA'|+1≤|A'B|+1=2,故选B. 4.A　由C2:(x-2-5cos θ)2+(y-5sin θ)2=1(θ∈R)可得,圆C2的半径为1,圆C2的圆心在圆A:(x-2)2+y2=25上运动.设A(2,0),则|PA|∈[4,6]. 由图可知,·=cos 2θ=(|PA|2-4)·(1-2sin2θ)=(|PA|2-4)=|PA|2+-12,由函数y=x+-12在x∈[16,36]上为增函数可知,当|PA|2=16时,·取最小值,为6.故选A. 5.ABD　设点P(x,y),因为A(-4,2),B(2,2),点P满足=2,所以=2, 化简,得x2+y2-8x-4y+4=0,即(x-4)2+(y-2)2=16,故A正确; 易知圆心C(4,2),圆C的半径R=4,所以|AC|=8,设两切线的夹角为α,所以sin ==,则=,所以α=,故B正确; 易知直线l的斜率存在,设直线l:kx-y+4k+2=0,因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,所以圆心到直线l的距离d==2,解得k=±,故C错误; 假设直线y=2上存在异于A,B的两点D(m,2),E(n,2),m≠n,则=2, 化简,得x2+y2+x-4y+=0,因为点P的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+4=0,所以解得或(舍去),故存在D(12,2),E(6,2),故D正确.故选ABD. 6.答案　2 解析　直线方程kx-y+1-k=0可整理为y-1=k(x-1),所以直线kx-y+1-k=0恒过点P(1,1),因为(1-2)2+(1-2)2<4,所以点P(1,1)在圆内.如图,连接AC,BC,CP,则|AC|=|BC|=2,设∠ACB=θ, 易得|CP|==,当直线kx-y+1-k=0与直线CP垂直时,θ取最小值,所以在△ABC中,θ∈,所以S△ABC=|AC||BC|·sin θ=2sin θ≤2,当且仅当θ=时取等号. 7.答案　(x-3)2+y2=2 解析　圆C1的方程可整理为(x-1)2+(y-2)2=2,其圆心为C1(1,2),半径为,因为圆C1与直线l相切,所以=,解得a=1(负值舍去),所以直线l:y=x-1,由得即切点为(2,1), 设圆C2的圆心C2(m,n),则=①,且=-1②,由①②得m=3,n=0,所以C2(3,0),所以圆C2的半径为=,所以圆C2的标准方程为(x-3)2+y2=2. 8.解析　(1)若直线l的斜率k=,则直线l的方程为y=x+3, 圆心O(0,0)到直线l的距离d==,圆O的半径r=2,所以|AB|=2=2=2. (2)设直线l的方程为y=kx+3(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去y,得(1+k2)x2+6kx+5=0, 则x1+x2= ,x1x2=, 由Δ=36k2-4×(1+k2)×5=16k2-20>0,解得k2>, 所以k1+k2=+=+ =2k++=2k+×= 2k+××=0, 所以k1+k2为定值0. (3)存在.设点M(x0,y0),由(2)知,x0==,所以y0=kx0+3=+3=. 又因为|MO|=|MQ|,即3|MO|2=2|MQ|2, 所以3(+)=2,即++y0=,即++·=, 整理,得=,解得k2=, 由(2)知k2>,故k2=>满足题意. 所以存在满足条件的直线l,其方程为y=±x+3. 9.解析　(1)过点B(4,0)与点B'(8,-4)的直线方程为x+y-4=0,由题意知,A,B两球碰撞时,母球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,此时|AB|=2.设A,B两球碰撞时母球A的球心为A'(a,b),如图①所示: 图① 则有解得 即A,B两球碰撞时母球A的球心为A'(4-,),所以碰撞前母球A运动的直线方程为y=x=x. (2)不能.如图②,由(1)知A'(4-,),又因为A(0,-2),B(4,0),所以=(4-,2+),=(-,), 图② 所以·=(4-,2+)·(-,)=4-2>0,故∠AA'B为锐角. 所以点B(4,0)到直线AA'的距离小于2, 故母球A的球心在经过直线BB'上的点A'之前就会与目标球B碰撞. 故不能让母球A击打目标球B后,使目标球B向B'(8,-4)处运动. (3)a的最小值为-2.要使得a最小,临界条件为母球A从目标球B的左上方A'处撞击目标球B后,目标球B从目标球C的右上方B'处撞击目标球C.如图③所示: 图③ 设B'(x,y)是目标球B可碰到目标球C的所有路径中最远离BC的那条路径上离目标球C最近的点,则有 即 所以所以B'(8,-4),所以直线CB'的倾斜角为45°, 所以直线A'B的倾斜角为135°,易得A'(3,). 过A'(3,)作倾斜角为45°的直线,交y轴于点A,易得A(0,-2).若a<-2,则母球A会在到达A'之前就与目标球B碰撞,不符合题意.因此a的最小值为-2. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$