第2章 专题强化练5 直线与方程的综合应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

专题强化练5　直线与方程的综合应用 1.已知直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:x+y-1=0之间的距离为(　　) A.　　　　B. C.或　　　　D.0或 2.过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x+y+m=0垂直,则|AB|=(　　) A.4　　B.4　　C.2　　D.2 3.已知直线l1:xcos2α+y+2=0,若l1⊥l2,则l2的倾斜角的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 4.已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为(　　) A.5　　　　B. C.5　　　　D.2 5.(多选)已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是(　　) A.无论a为何值,l1与l2都互相垂直 B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(-1,0) C.无论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称 D.若l1与l2交于点M,则|MO|的最大值是 6.已知线段AB的两端点分别为A(-2,3)和B(4,2),若直线l:x+my+m-1=0与线段AB有交点,则实数m的取值范围是　　　　.  7.若某直线被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则该直线倾斜角的大小为　　　　.  8.已知点P(m,n)在直线2x+y+1=0上运动,则m2+n2的最小值为　　　　.  9.某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演,其中|AB|=40,|BC|=15,O为AB上一点(不与端点重合),且|BO|=10,线段OC,OD,MN为表演队列所在位置(M,N分别在线段OD,OC上),△OCD内的点P为领队位置,且点P到OC,OD的距离分别为,,记|OM|=d,我们知道当△OMN面积最小时观赏效果最好. (1)当d为何值时,P为队列MN的中点? (2)求观赏效果最好时△OMN的面积. 答案与分层梯度式解析 1.B　∵直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等,∴=,∴m=2,∴直线l1:2x+2y-4-2=0,即x+y-3=0,∴直线l1与直线l2平行,则直线l1与直线l2之间的距离为=. 2.C　因为过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x+y+m=0垂直,所以kAB==1,即a-b=2, 所以|AB|===2. 3.C　当cos2α≠0时,=-. ∵l1⊥l2,∴·=-1,∴=. ∵0<cos2α≤1,∴≥,∴≥. 设l2的倾斜角为θ,θ∈[0,π),则tan θ≥,∴≤θ<. 当cos2α=0时,直线l1的斜率为0,倾斜角为0, ∵l1⊥l2,∴l2的倾斜角为. 综上,θ∈,故选C. 易错警示 　　利用斜率解决倾斜角问题时要注意斜率不存在的情况,若斜率不存在的直线适合题意,则要将斜率不存在的直线及其对应的倾斜角的值补充进去,防止遗漏. 4.D　如图所示,点A,B在直线x-y+1=0的同侧,且直线x-y+1=0的斜率为1, 设点B关于直线x-y+1=0的对称点为B'(a,b), 则解得即点B'(7,3), 由对称性可知|PA|+|PB|=|PA|+|PB'|≥|AB'|==2,故选D. 5.ABD　对于A,a×1+(-1)×a=0,故l1与l2互相垂直恒成立,故A正确; 对于B,直线l1:ax-y+1=0,当a变化,x=0时,y=1恒成立,所以l1恒过定点A(0,1), l2:x+ay+1=0,当a变化,y=0时,x=-1恒成立,所以l2恒过定点B(-1,0),故B正确; 对于C,在l1上任取一点(x,ax+1),其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x), 代入l2:x+ay+1=0,得2ax=0,不满足无论a为何值,2ax=0成立,故C不正确; 对于D,联立解得 即M, 所以|MO|==≤, 所以|MO|的最大值是,故D正确. 6.答案　 解析　直线l:x+my+m-1=0,即x-1+m(y+1)=0,恒过定点P(1,-1),则kAP=-,kBP=1.当m=0时,直线l的方程为x=1,与线段AB有交点,符合题意;当m≠0时,直线l的斜率为-,则-∈∪[1,+∞),解得-1≤m<0或0<m≤,综上,m∈. 7.答案　15°或75° 解析　由两平行直线的距离公式,可得直线l1与l2的距离d==,又因为直线被两平行直线l1与l2所截得的线段的长为2,所以该直线与直线l1所成的角为30°,又因为直线l1的倾斜角为45°,所以该直线倾斜角的大小为15°或75°. 8.答案　 解析　∵P(m,n)是直线2x+y+1=0上的任意一点,m2+n2的几何意义为直线上的点与坐标原点之间的距离的平方, ∴m2+n2的最小值为坐标原点到直线2x+y+1=0的距离的平方, ∴所求最小值为=. 9.解析　以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点O且垂直于AB的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则C(10,15),B(10,0),D(-30,15), ∴直线OC的方程为y=x, 直线OD的方程为y=-x. 设P(a,b)(a<0,b>0),M(-2m,m),N(m>0,n>0). (1)由题意得∴ ∴P.∵P为MN的中点,∴解得∴M,∴d=|OM|=, ∴当d=时,P为队列MN的中点. (2)由M,N,P三点共线,得=,即5m+n=4mn,亦即+=4, ∴S△OMN=|OM|×+|ON|×=m+n, 又∵×=+×≥+×2×=,当且仅当=时,等号成立, ∴观赏效果最好时△OMN的面积为. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$