２.２.1 直线的点斜式方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2.2　直线的方程　 2.2.1　直线的点斜式方程 基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　直线的点斜式方程 1.已知直线的方程是y+2=-x-1,则由点斜式知该直线经过的定点、斜率分别为(　　) A.(-1,2),-1　　　　B.(2,-1),-1 C.(-1,-2),-1　　　　D.(-2,-1),1 2.过点(2,-3)、斜率为-的直线在y轴上的截距为(　　) A.2　　B.-2　　C.4　　D.-4 3.直线y=k(x-1)(k∈R)是(　　) A.过点(1,0)的一切直线 B.过点(-1,0)的一切直线 C.过点(1,0)且除x轴外的一切直线 D.过点(1,0)且除直线x=1外的一切直线 4.将直线y=x+-1绕其上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线的点斜式方程是　　　　　　.  5.已知直线l的斜率为,与y的正半轴有交点且与坐标轴围成的三角形的周长是30,求直线l的方程. 6.已知△ABC的三个顶点都在第一象限内,A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求: (1)直线AB的方程; (2)直线AC和BC的方程. 题组二　直线的斜截式方程 7.(多选)直线(m2+2m)x+(2m2-m+3)y=4m+1在y轴上的截距为1,则m的值可以是(　　) A.-2　　　B.-　　C.　　D.2 8.(多选)已知直线l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a,则它们的图形可能为(　　) 9.(多选)下列说法正确的有(　　) A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则(k,b)在第二象限 B.直线kx-y-2k+3=0必过定点 C.过点(2,-1),斜率为-的点斜式方程为y+1=-(x-2) D.斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±3 10.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是　　　　　　　　.  11.与直线y=3x+4在y轴上有相同的截距且和它关于y轴对称的直线方程为　　　　　.  12.已知某直线过点(-10,10),且它与x轴交点的横坐标是其在y轴上的截距的4倍,求该直线方程. 题组三　直线的点斜式、斜截式方程的应用 13.若直线y=a|x|与y=x+a(a>0)有两个交点,则a的取值范围是(　　) A.a>1　　　　B.0<a<1 C.⌀　　　　D.0<a<1或a>1 14.已知直线l:y=kx+2k+1. (1)求证:直线l恒过一个定点; (2)当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围. 15.已知直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R). (1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围; (2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C　由y+2=-x-1,得y+2=-(x+1),所以直线的斜率为-1,过定点(-1,-2). 2.B　由题意得直线方程为y+3=-(x-2),令x=0,得y=-2.故选B. 易错警示 　　截距不同于日常生活中的距离,距离是一个非负数,而直线在y轴上的截距为直线与y轴交点的纵坐标,是一个实数,可正、可负、可为零. 3.D　直线y=k(x-1)(k∈R),即y-0=k(x-1)(k∈R)表示过点(1,0),且斜率为k的直线,不包含过点(1,0)且斜率不存在的直线x=1,故选D. 4.答案　y-=(x-1) 解析　由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.∵沿逆时针方向旋转15°后,倾斜角变为60°, ∴所求直线的斜率为.又∵直线过点(1,), ∴直线的点斜式方程为y-=(x-1). 5.解析　由题意,可设直线l:y=(x+b)(b>0),则与坐标轴的交点分别为,(-b,0), ∴+==30,解得b=12, ∴y=(x+12),整理得5x-12y+60=0. 6.解析　(1)因为A(1,1),B(5,1),所以直线AB平行于x轴,所以直线AB的方程为y=1. (2)由题意知,直线AC的倾斜角为∠A=45°, 所以kAC=tan 45°=1. 又因为直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=x-1,即y=x. 同理可知,直线BC的倾斜角为180°-∠B=135°, 所以kBC=tan 135°=-1. 又因为直线BC过点B(5,1),所以直线BC的方程为y-1=-(x-5),即y=-x+6. 7.CD　令x=0,得y==1,则4m+1=2m2-m+3,即2m2-5m+2=0,解得m=2或m=(均符合题意). 8.AB　选项A,由l1可知,a>0,b>0,由l2可知,-b<0,a>0,可能成立;选项B,由l1可知,a>0,b<0,由l2可知,-b>0,a>0,可能成立;选项C,由l1可知,a<0,b>0,由l2可知,-b<0,a>0,不成立;选项D,由l1可知,a<0,b>0,由l2可知,-b>0,a>0,不成立.故选AB. 9.ABC　对于A,该直线过第一、二、四象限,则k<0,b>0,故点(k,b)在第二象限,A正确;对于B,直线方程kx-y-2k+3=0可化为点斜式方程y-3=k(x-2),所以直线过定点(2,3),B正确;由点斜式方程的定义知C正确;对于D,由斜截式方程得所求直线方程为y=-2x+3,D错误.故选ABC. 10.答案　y=x-6或y=-x-6 解析　由题意得直线的倾斜角为60°或120°,所以斜率为±. 又因为直线在y轴上的截距为-6, 所以直线的方程为y=±x-6. 11.答案　y=-3x+4 解析　由条件知所求直线的斜率为-3,在y轴上的截距为4,所以其方程为y=-3x+4. 12.解析　当直线过坐标原点时,显然直线的斜率存在,设直线方程为y=k'x,代入(-10,10),得-10k'=10,解得k'=-1,所以直线方程为y=-x; 当直线不过坐标原点时,设直线方程为y-10=k(x+10),所以与x轴交点的横坐标为--10,在y轴上的截距为10k+10,所以--10=4(10k+10),解得k=-或k=-1(舍去),所以直线方程为y=-x+. 综上,所求直线方程为y=-x或y=-x+. 13.A　y=x+a(a>0)表示斜率为1,在y轴上的截距为a(a>0)的直线,y=a|x|表示关于y轴对称的两条射线.如图,若直线y=a|x|与y=x+a有两个交点,且a>0,则a>1.故选A. 14.解析　(1)证明:由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2). 由直线的点斜式方程可知,直线恒过定点(-2,1). (2)设y=f(x)=kx+2k+1,显然其图象是一条直线(如图所示), 若当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方, 需满足即 解得-≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 15.解析　(1)直线l的方程可化为y=kx+2+4k,则直线在y轴上的截距为4k+2, 要使直线l不经过第四象限,需满足 解得k≥0,故k的取值范围是[0,+∞). (2)令y=0,得x=-,令x=0,得y=4k+2,由题可知k>0, 所以A,B(0,4k+2), 故S=|OA|×|OB|==2≥2×(4+4)=16,当且仅当4k=,即k=时取等号,故S的最小值为16,此时直线l的方程为y=x+4. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$