1.2.3 等差数列的前n项和（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn= =na1+ d. 2.公式Sn= 反映了等差数列的性质,任意第k项与倒数第k项的和都等于首 末两项之和,因此常与性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq结合使用. 1.2.3 等差数列的前n项和 1 | 等差数列前n项和公式的理解 第1章　数列 　　等差数列{an}的前n项和公式可化成关于n的表达式Sn=na1+ = n2+  n. (1)当d≠0时,Sn可看成关于n的二次函数,注意其常数项为0.点(n,Sn)是抛物线Sn=  n2+ n上一系列离散的点. (2)当d≠0时, = n+ 可看成关于n的一次函数,则 是公差为 的等差 数列. 2 | 等差数列前n项和公式的函数特征 第1章　数列 性质1 公差为d的等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S 2k,…组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N+),则S2n=n(an+an+1),S 偶-S奇=nd, = (S奇≠0,an≠0); 若等差数列的项数为2n-1(n∈N+),则S2n-1=(2n-1) an,S奇-S偶=an, = (S奇≠0) 性质3 {an}为等差数列⇒ 为等差数列 性质4 若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则Sn, Tn 之间的关系为 = (bn≠0,T2n-1≠0) 3 | 等差数列前n项和的性质 第1章　数列 1.若一个数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数,则这个数列一定是等差数列 吗? 不一定.当二次函数的常数项为0时才为等差数列. 2.若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),则其最大值或最小值一定在n=-  处取得吗? 不一定.只有当- 是正整数时才成立. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则S3,S6-S3,S12-S9成等差数列吗? 不是.由等差数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列. 知识辨析 第1章　数列 　　在等差数列问题中共涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,这五个量可以“知三求二”.解 决等差数列问题的一般思路为:设出基本量a1,d,构建方程组,利用方程思想求解. 　　当已知首项、末项和项数时,用公式Sn= 较简便,使用此公式时注意 结合等差数列的性质;当已知首项、公差和项数时,用公式Sn=na1+ d较简便. 1 等差数列前n项和公式及性质 第1章　数列  典例　已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求S3m . 思路点拨　思路一:用方程思想求出a1,d,再代入公式求解. 思路二:利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m或 , , 成等差数列解题. 解析    解法一:设等差数列{an}的公差为d, 由 得  解得  故S3m=3ma1+ d=210. 第1章　数列 解法二:由等差数列前n项和的性质可知,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, ∴30,70,S3m-100成等差数列, ∴2×70=30+(S3m-100), ∴S3m=210. 解法三:由等差数列前n项和的性质可知, , , 成等差数列, ∴ = + , 即S3m=3(S2m-Sm) =3×(100-30)=210. 第1章　数列 　　求等差数列{an}(公差d≠0)的前n项和Sn的最大(小)值的常用方法如下: (1)函数法:将求Sn的最大(小)值问题转化为求二次函数的最大(小)值问题,解题时 注意n∈N+; (2)利用 或 寻找正、负项的分界点,当a1>0,d<0时,正项和最大,当a1 <0,d>0时,负项和最小,进而得到Sn的最大(小)值. 2 等差数列前n项和最值的求法  典例　在等差数列{an}中,a1=25,S8=S18,求其前n项和Sn的最大值. 第1章　数列 解析    解法一:设等差数列{an}的公差为d. 因为S8=S18,a1=25, 所以8×25+ d=18×25+ ×d,解得d=-2. 所以Sn=25n+ ×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169, 所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为169. 解法二:同解法一,求出公差d=-2,所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 由  得  因为n∈N+,所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为 =169. 第1章　数列 1.倒序相加求和 　　等差数列前n项和公式的推导过程采用了倒序相加求和. 2.裂项相消求和 (1)裂项相消求和就是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差,并使它们求和的 过程中出现相同的项,这些相同的项能够相互抵消,从而达到求和的目的. (2)常见的裂项技巧: ①已知{an}是等差数列,其公差为d(d≠0),则bn= = × . ②an= =  . ③an=  3 与等差数列有关的数列求和 第1章　数列 =  . ④an= = - . ⑤an=loga =loga(n+1)-logan,其中a>0,且a≠1. 第1章　数列  典例　在等差数列{an}中,a1=3,公差d=2,Sn为其前n项和,求 + +…+ . 解析    由题意得Sn=na1+ d=3n+ ×2=n2+2n(n∈N+), ∴ = = =  , ∴ + +…+ =  1- + - + - +…+ - + -  =    = - . 第1章　数列 $$