1.2.1-1.2.2 等差数列与一次函数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数, 那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差. 2.求公差d时,可以用d=an-an-1(n≥2,n∈N+)或d=an+1-an来求. 3.2M =a+b⇔a,M,b成等差数列,即两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数. 4.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中的四个量a1,an,n,d,只要知道任意三个量, 就可以求出第四个量. 1.2 等差数列 1.2.1 等差数列及其通项公式 1.2.2 等差数列与一次函数 1 | 等差数列相关概念的理解 第1章　数列 若数列{an}是公差为d的等差数列,则 1.当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列. 2. =d(m,n∈N+且n≠m). 3.an=am+(n-m)d(n,m∈N+). 4.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N+),则am+an= 2ap. 5.在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…. 6.ak, ,ak+2m,…(k,m∈N+)成公差为md的等差数列. 7.{c+an}是公差为d的等差数列;{c·an}是公差为cd的等差数列;{an+an+k}是公差为2 d的等差数列;{pan+qbn}是公差为pd+qd'的等差数列(其中c,k,p,q为常数,k∈N+,d'是 2 | 等差数列的性质 等差数列{bn}的公差) . 第1章　数列 1.公差为d的等差数列{an}的图象由直线上横坐标为正整数n的孤立点(n,an)组成, 这些点均匀分布在直线y=dx+(a1-d)上.当d>0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右上升,等 差数列{an}递增;当d<0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右下降,等差数列{an}递减;当d=0 时,y=a1为水平方向的直线,数列为常数列. 2.任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数),则f(1)=k+b, f(2)=2k+b,……, f(n)=nk+b构成 一个等差数列{nk+b},其首项为k+b,公差为k. 3 | 等差数列与一次函数的关系 第1章　数列 1.若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列一定是 等差数列吗? 不一定.差都是同一个常数时才是等差数列. 2.等差数列去掉前面若干项后,剩下的项是否还构成等差数列? 是.改变了首项,公差不变. 3.等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列? 是.公差为原来的2倍. 4.若数列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6,…都是公差为d的等差数列,则a1,a2,a3,…也是等差数 列吗? 不一定.反例:设两数列分别为1,3,5,…和4,6,8,…,显然1,4,3,6,5,8,…不是等差数列. 知识辨析 第1章　数列 1.定义法:an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+)⇔数列{an}是等差数列. 2.定义变形法:验证数列的通项an是否满足an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N+). 3.等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+)⇔数列{an}为等差数列. 4.通项公式法:数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数且p≠0)⇔数列{an}为 等差数列. 　　其中定义法和等差中项法是证明一个数列为等差数列的直接依据,通项公式 法不能作为证明方法. 1 等差数列的判定(证明) 第1章　数列  典例1　已知数列{an}满足2an+(n-1)·an-1=nan+a1(n≥2,n∈N+),证明数列{an}为等 差数列. 思路点拨　先由条件建立an+1,an,an-1三者之间的关系,再利用等差中项法证明. 证明    由2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2,n∈N+),得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1, 两式相减并整理得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2,n∈N+). 由n≥2得n-1≥1,所以an+1=2an-an-1,即2an=an-1+an+1, 因此an是an-1与an+1的等差中项,故数列{an}为等差数列. 第1章　数列  典例2　已知数列{an}满足an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N+),且a3=95. (1)求a1,a2的值; (2)是否存在一个实数t,使得bn= (an+t)(n∈N+),且{bn}为等差数列?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 思路点拨    (1)利用递推关系,逐项求解.(2)思路一:利用等差数列的定义,计算bn-bn- 1(n≥2),若存在t使bn-bn-1为常数,则{bn}为等差数列,否则不存在.思路二:假设存在t 使{bn}为等差数列,利用b1,b2,b3的关系求出t的值验证即可. 第1章　数列 解析    (1)当n=3时,a3=3a2+26=95, ∴a2=23.当n=2时,a2=3a1+8=23,∴a1=5. (2)解法一:由题意得an-3an-1=3n-1(n≥2,n∈N+), ∴当n≥2时,bn-bn-1= (an+t)- (an-1+t)= (an+t-3an-1-3t)= (3n-1-2t)=1- . 要使{bn}为等差数列,则bn-bn-1为常数,即1+2t=0,解得t=- . ∴存在t=- ,使{bn}为等差数列. 解法二:假设存在实数t,使得{bn}为等差数列,则2b2=b1+b3,① 由(1)及题意知,a1=5,a2=23,a3=95, ∴b1= (5+t),b2= (23+t),b3= (95+t), 代入①,得 (23+t)= (5+t)+ (95+t), 第1章　数列 解得t=- ,此时bn=  . 经检验,bn+1-bn=  -   =  -   = an+1- × - an+ × =1,是常数. 故存在t=- ,使得{bn}是以1为公差的等差数列. 名师点拨    (1)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;由an+1-an=an-an-1(n ≥2,n∈N+)无法确定等差数列{an}的公差. (2)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列 是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可. 第1章　数列 1.求等差数列通项公式的一般思路 (1)方程思想:设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d即可. (2)利用变形公式求解: ①an=kn+b(n∈N+,k,b为常数); ②an=am+(n-m)d(n,m∈N+); ③d= (m≠n,n,m∈N+); ④ = (m≠n,p≠q,m,n,p,q∈N+). 2.设等差数列中项的方法 (1)通项公式法,即an=a1+(n-1)d. (2)对称设法.若所给等差数列有2n(n∈N+)项,则可设为a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a 2 等差数列的通项公式及其应用 第1章　数列 +3d,…,a+(2n-1)d,数列的公差为2d;若所给等差数列有(2n+1)(n∈N+)项,则可设为a -nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a+nd,数列的公差为d. 3.当已知数列不是等差数列时,需构造与之相关的等差数列求通项公式.将递推关 系式转化为等差数列的常见形式如下: (1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数,则数列{an+1-an}是等差数列. (2)转化为 - =常数,则数列 是等差数列. (3)转化为 - =常数,则数列 是等差数列,其中c为常数. (4)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列. (5)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列. 第1章　数列  典例    (1)在公差为d的等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,则其通项公式为an=     　　　　    ; (2)已知数列{an}满足an+1=3an+3n,且a1=1,求数列{an}的通项公式. 思路点拨    (1)思路一:由已知列方程组 求出a1,d  求出{an}的通项公式.思 路二:利用an=am+(n-m)d(m,n∈N+)求出d  求出{an}的通项公式. (2)将递推公式的两边同时除以3n+1,通过观察发现数列 为等差数列,求其通项 公式后易得数列{an}的通项公式. 2n(n∈N+) 第1章　数列 解析    (1)解法一:由题意可得 解得  ∴an=2+(n-1)×2=2n(n∈N+). 解法二:∵a18=a6+(18-6)d,∴d= =2, ∴an=a6+(n-6)d=12+(n-6)×2=2n(n∈N+). (2)由an+1=3an+3n,两边同时除以3n+1, 得 = + ,即 - = . 由等差数列的定义知,数列 是以 = 为首项, 为公差的等差数列, ∴ = +(n-1)× = , 故an=n·3n-1(n∈N+). 第1章　数列 　　运用等差数列的性质解题可以起到化繁为简、优化解题过程的作用,但使用 时要注意性质的限制条件,若不能用性质,则化基本量求解. 3 等差数列性质的应用  典例　在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式. 第1章　数列 解析    设等差数列{an}的公差为d. 解法一:由a1+a4+a7=15,得a1+a1+3d+a1+6d=15,即a1=5-3d.① 由a2a4a6=45,得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45,② 将①代入②,得(5-2d)×5×(5+2d)=45, 即(5-2d)(5+2d)=9, 解得d=±2. 当d=2时,a1=-1,所以an=-1+2(n-1)=2n-3,n∈N+; 当d=-2时,a1=11,所以an=11-2(n-1)=-2n+13,n∈N+. 综上,an=2n-3,n∈N+或an=-2n+13,n∈N+. 解法二:因为a1+a7=2a4,所以a1+a4+a7=3a4=15,所以a4=5. 又因为a2a4a6=45, 所以a2a6=9, 第1章　数列 所以(a4-2d)(a4+2d)=9, 即(5-2d)(5+2d)=9, 解得d=±2. 当d=2时,an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N+; 当d=-2时,an=a4+(n-4)d=-2n+13,n∈N+. 因此,an=2n-3,n∈N+或an=-2n+13,n∈N+. 解法三:同解法二,求出a4=5,a2a6=9, 又a2+a6=2a4=10, 所以a2=1,a6=9,或a2=9,a6=1. 当a2=1,a6=9时,a6=a2+4d=1+4d=9, 解得d=2, 所以an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N+; 第1章　数列 当a2=9,a6=1时,a6=a2+4d=9+4d=1, 解得d=-2, 所以an=a4+(n-4)d=-2n+13,n∈N+. 因此,an=2n-3,n∈N+或an=-2n+13,n∈N+. 第1章　数列 $$