1.1 数列的概念（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.如果组成两个数列的数相同,但顺序不同,那么它们是不同的数列. 2.同一个数可以在数列中重复出现. 3.{an}表示一个数列,an表示数列中的第n项. 4.并非所有的数列都能写出它的通项公式. 5.数列的分类: (1)按项的个数分:有穷数列,无穷数列; (2)按数列的变化趋势分:递增数列,递减数列,摆动数列,常数列. 1.1 数列的概念 1 | 数列相关概念的理解 第1章　数列 1.数列是特殊的函数,从函数的观点看: 2.求数列中的项或判断某项是不是数列的项时,①如果已知an=f(n)和n0,则 = f(n0);②判断m是不是{an}的项,只需令m=an,判断此方程是否有正整数解. 定义域 正整数集N+(或它的有限子集{1,2,…,n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应 的一列函数值组成的集合 表示方法 (1)通项公式(解析法); (2)图象法;(3)列表法 2 | 数列与函数的关系 第1章　数列 1.通项公式反映了数列中项与序号之间的关系,而递推公式反映了数列中项与项 之间的关系; 2.求数列的某一项时,可以通过将序号代入通项公式直接求出该项,而对于递推公 式,则必须通过逐项计算求出该项; 3.递推公式可以揭示数列的一些性质,但不容易了解数列的全貌,计算也不方便, 而通项公式可以“把握”整个数列. 3 | 数列的通项公式与递推公式的区别 第1章　数列 1.数列的项和它的项数是否相同? 不相同.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,相当于f(n), 而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n. 2.数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是同一个数列吗? 不是.两个数列中的数虽然相同,但顺序不同,故不是同一个数列. 3.数列an= an= (n∈N+),an= (n∈N+)是同一个数列吗? 是.三个数列都可以写成0,1,0,1,…的形式,数列的通项公式不一定是唯一的. 知识辨析 第1章　数列 1.从下面4个角度观察数列的前几项: (1)各项的符号特征; (2)各项能否拆分; (3)分式的分子、分母的特征; (4)相邻项的变化规律. 2.寻找各项与对应的项的序号之间的规律,一般方法如下: (1)统一项的结构,将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积” “商”,如都化成分数、根式等; 1 求数列的通项公式 第1章　数列 (2)分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分与对应序号间的函数解 析式; (3)当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n或 (-1)n+1来表示; (4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,一般考虑用分段的形式给出,有时也 可以将给出的各项统一化成某种形式. 第1章　数列  典例　根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式: (1) ,2, ,8, ,…; (2) , , , , ,…; (3)2,6,2,6,…; (4)2,3,5,9,17,33,…; (5)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…; (6)2,-6,12,-20,30,-42,…. 思路点拨　先观察各项的特点,注意前后项间的关系,分子与分母的关系,项与序 号的关系,每一项符号的变化规律,然后归纳出通项公式. 第1章　数列 解析    (1)将每一项都统一写成分母为2的分数,即 , , , , ,…,所以它的一个 通项公式是an= . (2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积,即an= . (3)此数列为摆动数列,而2=4-2,6=4+2,中间符号用(-1)n来表示,所以an=4+(-1)n·2或 an=  (4)因为a1=2=1+1,a2=3=2+1,a3=5=22+1,a4=9=23+1,a5=17=24+1,a6=33=25+1,……,所 以an=2n-1+1. (5)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以an=n+ . (6)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,-6×7,…,所以an=(-1 n(n+1). 第1章　数列 1.判断数列单调性的方法 (1)转化为函数,利用函数的性质求解. (2)通过作差法或作商法比较数列中相邻两项的大小关系. 2.求数列中的最大(或最小)项的方法 (1)构造函数,确定函数的单调性,进一步求出数列的最大(或最小)项. (2)利用 (n≥2,n∈N+)求数列中的最大项an;利用 (n≥2,n∈N+)求 数列中的最小项an.当所得解不唯一时,比较各解的大小即可. 2 数列与函数的关系列 第1章　数列  典例　已知数列{an}中,an=n2+λn,n∈N+. (1)当λ=-7时,讨论{an}的单调性; (2)若数列{an}的第7项是最小项,求实数λ的取值范围. 思路点拨    (1)运用作差法比较an+1与an的大小,进而判断单调性,或利用二次函数 的性质求解; (2)通过列出不等式组 从而求出实数λ的取值范围. 第1章　数列 解析    (1)解法一:当λ=-7时,an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6, 所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6. 当1≤n≤3时,an+1-an≤0,{an}单调递减;当n≥4时,an+1-an>0,{an}单调递增. 解法二:当λ=-7时,an=n2-7n= - . 易知函数f(x)= - 图象的对称轴为直线x= , 所以由二次函数的性质可知 当1≤n≤3时,an+1-an≤0,{an}单调递减;当n≥4时,an+1-an>0,{an}单调递增. (2)由题意得 即  解得-15≤λ≤-13,所以实数λ的取值范围是[-15,-13]. 易错警示    在利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意数列的定义域是N+或 其有限子集. 第1章　数列 1.根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列前几项的方法 (1)根据递推公式求数列的前几项,首先要弄清公式中各部分的关系,依次代入计 算即可. (2)若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an= 2an+1+1. (3)若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=  . 3 利用数列的递推关系解决相关数列问题 第1章　数列 2.由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类: ①an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)[f(n)是可以求和的],使用累加法或迭代法; ②an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an[f(n)是可以求积的],使用累乘法或迭代法; ③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决. 第1章　数列  典例    (1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+ - ,则an等于 (　    ) A. 　    B. 　    C. 　    D.  (2)已知数列{an}满足a1=1,an+1= an(n∈N+),则an等于 (　    ) A.n+1　    B.n　     C. 　    D.  B D 第1章　数列 解析    (1)解法一(归纳法):数列的前5项分别为a1=1,a2=1+1- =2- = ,a3= + - = 2- = ,a4= + - =2- = ,a5= + - =2- = ,由此可得数列的一个通项公式为an = . 解法二(迭代法):a2=a1+1- ,a3=a2+ - ,……,an=an-1+ - (n≥2), 则an=a1+1- + - + - +…+ - =2- = (n≥2). 又a1=1也适合上式, 所以an= (n∈N+). 解法三(累加法):an+1-an= - ,a1=1,a2-a1=1- ,a3-a2= - ,a4-a3= - ,……,an-an-1=  - (n≥2),以上各式相加得an=1+1- + - + - +…+ - =2- = (n≥2). 第1章　数列 因为a1=1也适合上式, 所以an= (n∈N+). (2)由题意得 = , 所以an= · ·…· · ·a1 = × ×…× × ×1 = . 第1章　数列 $$