2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

　设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则圆心C(a,b) 到直线l的距离d= ,由 消去y(或x),得到关于x(或y) 的一元二次方程,其判别式为Δ. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 几何法 d<r d=r d>r 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0 2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系 1 | 直线与圆的位置关系 第2章　平面解析几何初步 1.代数法:联立方程后,得出方程组解的个数为0,1,2时,分别对应圆与圆内含或外 离、内切或外切、相交,不仅计算复杂且情况也复杂,因此一般利用几何法进行 分析判断. 2.几何法:通过方程得出两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆心之间的距离d,按下表 中的标准进行判断. 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 d与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 2 | 圆与圆的位置关系 第2章　平面解析几何初步 1.如果直线的方程与圆的方程组成的方程组有解,则直线和圆的位置关系有哪 些? 相交或相切. 2.若直线与圆相交,则相交弦的垂直平分线与圆心什么关系? 过圆心. 3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线方程与圆的方程联立消元后得到的一元 二次方程是否有解? 无解. 4.经过圆内一点(非圆心)的最长弦与最短弦所在直线位置关系如何? 垂直.经过圆内一点(非圆心)的最长弦即为经过该点的直径,最短弦和该条直径垂 直. 知识辨析 第2章　平面解析几何初步 5.若两条直线被同一个圆截得的弦长相等,则这两条直线一定平行吗? 不一定.也可能相交. 6.若两个圆没有公切线,则它们的位置关系如何? 内含. 7.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆的位置关系是什么? 外切或内切. 8.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则这两圆一定相交吗? 不一定. 9.若两圆有公共点,则两圆的圆心距d和两圆的半径r1,r2需满足什么条件? |r1-r2|≤d≤r1+r2.   第2章　平面解析几何初步 　　直线与圆、圆与圆的位置关系的判断主要有几何法和代数法两种方法.几何 法侧重图形的几何性质,较代数法步骤简捷,所以一般选用几何法. 1 直线与圆、圆与圆的位置关系的判断   第2章　平面解析几何初步  典例1　已知圆x2+y2=1与直线y=kx-3k,当k分别为何值时,直线与圆:(1)相交;(2)相 切;(3)相离. 第2章　平面解析几何初步 解析    解法一(代数法):联立  消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0, 则Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2). (1)当直线与圆相交时,Δ>0,即- <k< ; (2)当直线与圆相切时,Δ=0,即k=± ; (3)当直线与圆相离时,Δ<0,即k<- 或k> . 解法二(几何法):圆心(0,0)到直线y=kx-3k的距离d= = . 由题意知,圆的半径r=1. (1)当直线与圆相交时,d<r,即 <1, 第2章　平面解析几何初步 解得- <k< ; (2)当直线与圆相切时,d=r,即 =1,解得k=± ; (3)当直线与圆相离时,d>r,即 >1,解得k<- 或k> . 第2章　平面解析几何初步  典例2　已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0. (1)当圆C1与圆C2外切时,求m的值; (2)当圆C1与圆C2内含时,求m的取值范围. 思路点拨　计算两圆的圆心距,与两圆的半径之差的绝对值、半径之和比较,列 出方程或不等式,求出参数的值或取值范围. 第2章　平面解析几何初步 解析    易得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1(m,-2),半径r1=3;圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,圆心 C2(-1,m),半径r2=2. (1)若圆C1与圆C2外切,则|C1C2|=r1+r2,即 =3+2,整理得m2+3m-10= 0,解得m=2或m=-5. (2)若圆C1与圆C2内含,则|C1C2|<|r1-r2|,即 <|3-2|,整理得m2+3m+2< 0,解得-2<m<-1,即m的取值范围是(-2,-1). 第2章　平面解析几何初步 1.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法 (1)当点P在圆上时,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜 率为- ;若斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0. (2)当点P在圆外时,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半 径r,解出k即可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线). 2.切线长的求法 　　过圆外一点P可作圆的两条切线,我们把点P与切点之间的线段的长称为切 线长.切线长可由勾股定理来计算.如图,从圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r> 0)的切线,则切线长为 . 2 与圆有关的切线问题 第2章　平面解析几何初步   3.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论 (1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)·(x0-a)+(y-b) (y0-b)=r2; (3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y 0y+D· +E· +F=0. 第2章　平面解析几何初步  典例    (1)已知圆的方程为x2+y2=13,它与斜率为- 的直线相切,则该切线方程为 2x+3y-13=0或2x+3y+13=0　; (2)过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,其切线长为　 4　   . 第2章　平面解析几何初步 解析    (1)解法一:设所求切线方程为y=- x+b,即2x+3y-3b=0. 因为圆x2+y2=13与直线2x+3y-3b=0相切,所以圆心(0,0)到直线2x+3y-3b=0的距离d = = ,解得b=± . 所以所求圆的切线方程为2x+3y-13=0或2x+3y+13=0. 解法二:设所求切线方程为y=- x+b. 联立  消去y,整理得 x2- x+b2-13=0, 令Δ=0,即 b2-4× ×(b2-13)=0,解得b=± . 所以所求圆的切线方程为2x+3y-13=0或2x+3y+13=0. 第2章　平面解析几何初步 (2)由题意知圆心C的坐标为(3,1),半径为1. 设切点为B,则△ABC为直角三角形, 易得|AC|= = ,|BC|=1, 所以|AB|= = =4, 所以切线长为4. 第2章　平面解析几何初步 1.直线与圆相交时的弦长求法 几何法 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的 关系r2=d2+ 解题 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后, 直接用两点间的距离公式计算弦长 弦长 公式法 设直线l:y=kx+b与圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2), 将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数 的关系得弦长 l= |x1-x2| = ·  3 直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题 第2章　平面解析几何初步 (1)利用根与系数的关系求出中点坐标; (2)设出弦的两个端点的坐标,代入圆的方程,利用作差法求出斜率,此法即为点差 法; (3)利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直. 2.解决与中点弦有关的问题,有下列三种常见方法 第2章　平面解析几何初步  典例1　已知圆x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2),求以A为中点的弦所在直线的方 程. 思路点拨　思路一:根据斜率是否存在分类讨论,结合一元二次方程根与系数的 关系列方程求解. 思路二:根据中点坐标公式,采用“设而不求,整体代换”的策略求解. 思路三:利用圆的几何性质,即弦的中点与圆心的连线和弦所在的直线垂直求解. 第2章　平面解析几何初步 解析    解法一:当斜率存在时,设直线的斜率为k,则过点A的直线方程为y+2=k(x- 4),代入圆的方程,得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0. 因为1+k2≠0,Δ>0,所以可设两个交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则x1+x2= =4×2,解得k=-2. 所以所求直线的方程为2x+y-6=0. 当斜率不存在时,直线x=4不满足题设要求. 综上,所求直线的方程为2x+y-6=0. 解法二:易知直线斜率不存在时,直线x=4不满足题设要求. 设两个交点的坐标分别为B(x1,y1),C(x2,y2),x1≠x2,则x1+x2=8,y1+y2=-4,直线AB的斜率 k= . 把B,C两点的坐标代入圆的方程, 第2章　平面解析几何初步 得  ①-②并整理,得(x1+x2)+(y1+y2) -4+6· =0,即8-4k-4+6k=0,解得k=-2.故所 求直线的方程为2x+y-6=0. 解法三:当斜率不存在时,直线x=4不满足题设要求. 设圆心为M,所求直线的斜率为k. 因为圆心M(2,-3),所以kMA= ,所以k=-2,所以所求直线的方程为2x+y-6=0. 第2章　平面解析几何初步  典例2　已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4. (1)若直线l'过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为2 ,求直线l'的方程; (2)若直线l过点B(1,0)且与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求出 此时直线l的方程. 第2章　平面解析几何初步 解析    圆C的圆心坐标为(3,4),半径R=2. (1)∵直线l'被圆C截得的弦长为2 , ∴由勾股定理得圆心C到直线l'的距离为1. ①当直线l'的斜率不存在时,l':x=2,显然满足; ②当直线l'的斜率存在时,设l':y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0, 由圆心C到直线l'的距离为1,得 =1,解得k=0,故直线l'的方程为y=3. 综上所述,直线l'的方程为x=2或y=3. (2)∵直线与圆相交,∴l的斜率一定存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x-1), 即kx-y-k=0, 则圆心C到直线l的距离d= , ∴△CPQ的面积S= ×d×2 =d = = , 第2章　平面解析几何初步 当d= 时,S取最大值,为2. 由d= = ,得k=1或k=7, ∴直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0. 第2章　平面解析几何初步 利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法 (1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析 几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有: ①关于x,y的一次分式形式常转化为直线的斜率; ②关于x,y的一次式常转化为直线的截距; ③关于x,y的二次式常转化为两点间的距离. (2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决. (3)利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参 数),代入目标函数,利用三角函数知识求最大(小)值. 4 与圆有关的最值问题   第2章　平面解析几何初步  典例　已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上的一点. (1)求4x-3y的最大值和最小值; (2)求 的最大值和最小值; (3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值. 第2章　平面解析几何初步 解析    (1)令4x-3y=m,则 可以看作直线在x轴上的截距,要使m最大(或最小),只需 直线在x轴上的截距最大(或最小).由图1知,当直线4x-3y=m与圆x2+y2=4相切时,m 分别取得最大值和最小值. 由圆心(0,0)到4x-3y-m=0的距离等于圆的半径,得 =2,所以|m|=10,解 得m=±10.故mmax=10,mmin=-10, 即4x-3y的最大值为10,最小值为-10.   图1 第2章　平面解析几何初步 (2)令 =k,则k表示圆x2+y2=4上一点(x,y)与点(-2 ,-2)的连线的斜率. 由图2知,当直线y+2=k(x+2 )与圆x2+y2=4相切时,k分别取得最大值和最小值. 由 =2,得|2 k-2|=2 ,即3k2-2 k+1=k2+1,解得k=0或k= . 故kmax= ,kmin=0, 即 的最大值为 ,最小值为0.   图2 第2章　平面解析几何初步 (3)令(x-4)2+(y+3)2=d,则 表示圆上一点(x,y)与点(4,-3)的距离.如图3,由点(4,-3)到 圆心(0,0)的距离为5可知,( )max=5+2=7,( )min=5-2=3,故dmax=49,dmin=9,即(x-4)2+ (y+3)2的最大值为49,最小值为9.   图3 第2章　平面解析几何初步 1.两圆的公共弦所在直线方程的求法 　　设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + - 4F2>0). 　　联立  　　①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③ 　　设两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③, 因此方程③就是经过两圆交点的直线方程. 　　当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共 弦所在直线的方程. 　　当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线 5 两圆的公共弦问题 第2章　平面解析几何初步 方程. 　　当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程. 　　若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂 直平分线的方程. 2.两圆公共弦长的求法 (1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点的坐标,再利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法:①将两圆的方程作差,求出公共弦所在的直线方程;②求出其中一个圆 的圆心到公共弦的距离;③利用勾股定理求出公共弦长. 3.求经过两圆交点的圆的方程的方法 　　一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆的方 程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),然后由其他条件 求出λ即得圆的方程. 第2章　平面解析几何初步  典例　求圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的 方程及公共弦长. 第2章　平面解析几何初步 解析    联立  两式相减并化简,得x-2y+4=0,即两圆的公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0. 解法一:设两圆相交于A,B两点,则A,B两点的坐标满足方程组   解得 或  所以|AB|= =2 , 即公共弦长为2 . 解法二:由x2+y2-2x+10y-24=0得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径为5 , 则圆心到直线x-2y+4=0的距离为 =3 . 设公共弦长为2l(l>0), 第2章　平面解析几何初步 则50=(3 )2+l2, 所以l= , 故公共弦长为2l=2 . 易错警示    只有在两圆相交的前提下,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0才是圆C1:x2 +y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0)的公 共弦所在直线的方程. 第2章　平面解析几何初步 $$