1.4 数学归纳法 （课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

 　 　　记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如 下: 　　条件:(1)P(n0)为真;(2)若P(k)(k∈N+,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真.结论:P(n)为 真. (1)第一步验证(或证明)了当n=n0时结论成立,即命题P(n0)为真; (2)第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:若P(k)(k∈N+,k≥n0) 为真,则P(k+1)也为真. 　　只要将这两步交替使用,就有P(n0)为真,P(n0+1)为真,……,P(k)为真,P(k+1)为 真,…….从而完成证明. | 数学归纳法 *1.4 数学归纳法 第1章　数列 1.数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1吗? 不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°时,初始值n0=3. 2.用数学归纳法证明等式时,由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1,等式的项数一定增加了 一项吗? 不一定.如用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1= (a≠1)”时,由n=k(k∈N+,k ≥n0)到n=k+1,等式左边增加了两项. 知识辨析 第1章　数列 　　利用数学归纳法证明与正整数n有关的一些恒等式问题时,关键是看清等式 两边的项,弄清等式两边项的构成规律,进而利用当n=k(k≥n0,k∈N+)时的假设.证 明恒等式的一个重要技巧就是两边“凑”. 1 利用数学归纳法证明等式 第1章　数列  典例　用数学归纳法证明1- + - +…+ - = + +…+ (n∈N+). 思路点拨    (1)验证当n=1时等式成立;(2)由n=k(k∈N+)时等式成立推出n=k+1时等 式也成立. 证明    (1)当n=1时, 等式左边=1- = , 右边= ,等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+)时,等式成立, 即1- + - +…+ -  = + +…+ , 第1章　数列 那么当n=k+1时, 1- + - +…+ - + -  = + +…+ + -  = + +…+ + , 所以当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)知,等式对一切正整数均成立. 第1章　数列 　　证明不等式往往比证明恒等式难度更大,方法更灵活,除了综合法外,作差比 较法、分析法、反证法也是常用的方法,另外恰当地放缩是证明不等式特有的技 巧. 2 利用数学归纳法证明不等式 第1章　数列  典例　用数学归纳法证明: 1+ + +…+ ≤ +n(n∈N+). 思路点拨　分别确定当n=k(k∈N+),n=k+1时不等式的左边的值,找到它们之间的 关系,运用数学归纳法证明. 第1章　数列 证明    (1)当n=1时, 1+ = ,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立, 即1+ + +…+ ≤ +k, 则当n=k+1时, 1+ + +…+ + + +…+  < +k+2k·  = +(k+1), 即当n=k+1时,不等式成立. 由(1)(2)可知, 不等式对任意n∈N+都成立. 第1章　数列 “归纳—猜想—证明”的解题步骤 3 归纳—猜想—证明解决与递推公式有关的数列问题 第1章　数列  典例　已知数列{an}满足a1=a(a>0),an= (n≥2,n∈N+). (1)用a表示a2,a3,a4; (2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明. 思路点拨    (1)利用递推公式求出a2,a3,a4.(2)结合(1)归纳出an的通项公式,再用数 学归纳法证明结论. 第1章　数列 解析    (1)由已知得,a2= = , a3= = = , a4= = = . (2)因为a1=a= , a2= , …… 所以猜想an= . 第1章　数列 下面用数学归纳法证明: ①当n=1时, 因为a1=a= , 所以当n=1时,猜想成立. ②假设当n=k(k∈N+)时,猜想成立, 即ak= , 所以当n=k+1时, ak+1= =  =  第1章　数列 =  = , 所以当n=k+1时,猜想也成立. 根据①②可知,猜想对任意n∈N+都成立. 第1章　数列 $$