1.3.3 等比数列的前n项和（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.等比数列前n项和公式 2.在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个量,已知其中三个量就可利用通项公式 和前n项和公式求出另外两个量. 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和公式 Sn=  Sn=  1.3.3 等比数列的前n项和 1 | 等比数列的前n项和 第1章　数列 1.当公比q>0且q≠1时,设A= ,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是关 于n的指数型函数. 2.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,即Sn是关于n的正比例函数. 2 | 等比数列前n项和的函数特征 第1章　数列 　　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则Sn有如下性质: 1.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N+. 2.当k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列;当q≠-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,… 是等比数列. 3.设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则 =q;若项数为2n+1, 则 =q. 4.当q=1时, = ;当q≠±1时, = . 3 | 等比数列前n项和的性质 第1章　数列 1.等比数列的前n项和可以为0吗? 可以.比如1,-1,1,-1,1,-1的和. 2.数列{an}的前n项和为Sn=an+b(a≠0,a≠1),则数列{an}一定是等比数列吗? 不一定.当q≠1时,等比数列的前n项和为Sn= = - qn.可以发现当b= -1时,数列{an}才为等比数列. 知识辨析 第1章　数列 1.当条件与结论间的联系不明显时,可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解. 2.求等比数列的前n项和时,若公比q未知,则要分q=1和q≠1两种情况,然后根据前 n项和公式的特点选择合适的公式求解. 1 等比数列前n项和公式及其应用 第1章　数列  典例　设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S4=1,S8=17,求Sn. 思路点拨　思路一:设Sn=Aqn-A(A≠0) 由S4=1,S8=17,求出A,q 求出Sn.思路 二:将S4=1,S8=17代入Sn= 中,求出a1,q 求出Sn. 第1章　数列 解析    解法一:设数列{an}的公比为q. 由S4=1,S8=17,知q≠±1, 故设Sn=Aqn-A(A≠0), ∴ 两式相除,化简得q4=16, ∴q=±2. 当q=2时,A= ,Sn= (2n-1); 当q=-2时,A= ,Sn= [(-2)n-1]. 解法二:设数列{an}的首项为a1,公比为q, 由S4=1,S8=17,知q≠±1, 第1章　数列 ∴  两式相除并化简,得q4+1=17, 即q4=16,∴q=±2. 当q=2时,a1= ,Sn= = (2n-1); 当q=-2时,a1=- ,Sn= = [(-2)n-1]. 第1章　数列 1.恰当使用等比数列前n项和的相关性质可以避繁就简,不仅可以使运算简便,还 可以避免对公比q的讨论.解题时把握好等比数列前n项和性质的使用条件,并结 合题设条件寻找使用性质的切入点. 2.利用等比数列前n项和的性质答题技巧 (1)解决等比数列中高次方程问题时,为达到降幂的目的,在解方程组时经常利用 两式相除,以达到整体消元的目的. (2)在遇到奇数项和与偶数项和时,如果总项数为2n,要优先考虑利用S偶=S奇·q,求公 比q. 2 等比数列前n项和的性质及其应用 第1章　数列  典例    (1)已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项 之和为170,则这个数列的项数为 (　    ) A.2　    B.4　    C.8　    D.16 (2)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于      (　    ) A.80　　B.30　　C.26　　D.16 思路点拨    (1)利用 =q直接求解. (2)思路一:由Sn,S3n求出a1,q 求出S4n. 思路二:当q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列 求出S4n. 思路三:易知q≠1,故可由Sn= 推出Sn,S3n,S4n之间的关系 求出S4n. 思路四:令n=1,由S1=2,S3=14,求出q 求出S4n. C B 第1章　数列 解析    (1)设这个等比数列为{an},其项数为2k(k∈N+),公比为q, 则其奇数项之和S奇=a1+a3+…+a2k-1=85, 偶数项之和S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=170,∴q= = =2, ∴等比数列{an}的所有项之和S2k= =22k-1=170+85=255,∴22k=256,解得k= 4,∴这个等比数列的项数为8.故选C. (2)解法一:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q, ∵S3n=14≠3×2=3Sn,∴q≠1. 由已知得,Sn= =2①, S3n= =14②,  ,得q2n+qn-6=0,即(qn+3)(qn-2)=0. 第1章　数列 ∵数列{an}的各项均为正数, ∴qn+3>0,∴qn-2=0,即q= . ∴a1= =2( -1), ∴S4n= = =2×15=30. 解法二:易知q≠-1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,又Sn=2,S3n=14, ∴(S2n-2)2=2×(14-S2n),即 -2S2n-24=0,解得S2n=6或S2n=-4,∵an>0,∴S2n=6. 又∵ = =2,∴S4n-S3n=Sn·23=16, ∴S4n=S3n+16=30. 解法三:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q, 由解法一知,q≠1, 第1章　数列 ∴S4n= =  = +qn· =Sn+qnS3n. 这个式子表示了S4n,Sn,S3n之间的关系, 要求S4n,只需求出qn即可. ∵S3n=(a1+a2+…+an)+(an+1+an+2+…+a2n)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n)=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+q 2n), ∴ =1+qn+q2n=7,∴q2n+qn-6=0, 解得qn=2或qn=-3. ∵an>0,∴qn=2,∴S4n=Sn+qnS3n=2+2×14=30. 解法四:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,注意到四个选项都是具体的数值, ∴S4n是一个与n无关的定值,不妨令n=1, 第1章　数列 由解法一知,q≠1,则a1=S1=2,S3= =14, 即q2+q-6=0, 解得q=2或q=-3. ∵an>0,∴q=2, ∴S4= =2×15=30. 第1章　数列 1.分组求和法 　　分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成cn=an+bn的形式的数列求和问 题,其中数列{an}与{bn}是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列.其基本的 解题步骤为: (1)准确拆分,根据通项公式的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和. (2)分组求和,分别求出各个数列的和. (3)得出结论,对拆分后每个数列的和进行组合,解决原数列的求和问题. 2.错位相减法 　　利用等比数列求和公式的推导方法,一般可解决形如一个等差数列和一个等 比数列对应项相乘所得数列的求和问题.这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n 项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列. 3 与等比数列有关的数列求和 第1章　数列 　　应用错位相减法的一般步骤:(1)两边同乘公比 q,写出Sn与qSn的表达式;(2)对 乘公比前后的两个式子进行错位相减,注意公比q≠1这一前提,如果不能确定公 比q是不是1,应分两种情况讨论. 第1章　数列  典例　已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n∈N+,且n≥2),a4=81. (1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3; (2)若数列 为等差数列,求实数p的值; (3)求数列{an}的前n项和Sn. 第1章　数列 解析    (1)由an=2an-1+2n-1(n∈N+,且n≥2),得a4=2a3+24-1=81,解得a3=33, 同理,得a2=13,a1=5. (2)∵数列 为等差数列,且 - = = =1- (n ≥2,n∈N+),∴1- 是与n无关的常数, ∴1+p=0,即p=-1. (3)由(2)知,等差数列 的公差为1, ∴ = +(n-1)=n+1, ∴an=(n+1)×2n+1, ∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n+n, 记Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n①, 第1章　数列 则2Tn=2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1②, ①-②,得-Tn=2×2+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1=4+ -(n+1)×2n+1=-n×2n+1, ∴Tn=n×2n+1,∴Sn=n×2n+1+n=n(2n+1+1). 第1章　数列 　　解决等差数列与等比数列综合问题的关键在于用好它们的有关知识,理顺两 个数列间的关系.注意运用等差数列与等比数列的基本量,即a1,d与b1,q来表示数 列中的所有项,还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化. 4 等差数列、等比数列的综合应用问题 第1章　数列  典例　已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N+),数列{bn}是等比数列(n∈N+),a1 =3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若cn= 设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n. 第1章　数列 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q. 由题意得 解得  ∴an=2n+1,bn=2n-1. (2)由(1)知,Sn= =n(n+2),∴cn=  在数列{cn}的前2n项中,所有奇数项的和为1- + - +…+ - , 所有偶数项的和为21+23+25+…+22n-1, ∴T2n= +(21+23+25+…+22n-1) =1- +  = - . 第1章　数列   通过数列在实际问题中的应用发展逻辑推理和数学建模的核心素养 　　数列在实际问题中有广泛的应用,在此类问题中,建立数列模型是关键,在建 立数列模型的过程中发展数学建模的核心素养,然后利用数列的通项公式、前n 项和公式、递推公式等知识求解,在解模过程中发展逻辑推理的核心素养. 素养解读 第1章　数列  例题　从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发 展旅游产业.根据规划,2021年投入资金1 000万元,以后每年投入比上年减少10%. 预测显示,2021年当地旅游业收入为300万元,以后每年收入比上年增加20万元.根 据预测,解答以下问题: (1)从2021年至2030年,该地十年的旅游业收入共计多少万元? (2)从哪一年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入? (参考数据:0.96≈0.531,0.97≈0.478,0.98≈0.430,0.918≈0.150 09,0.919≈0.135 09) 典例呈现 第1章　数列 信息提取　①由投入资金的相关信息可建立等比数列模型;②由旅游业收入的相 关信息可建立等差数列模型. 解题思路    (1)通过构建的等差数列模型,求等差数列的通项和前n项和,代入求值 即可. 以2021年为第1年,设第n年旅游业收入为an万元,则数列{an}是以300为首项,20为 公差的等差数列,设其前n项和为An, 故an=300+20(n-1)=20n+280, An=300n+ ×20=10n2+290n, 所以A10=10×102+290×10=3 900. 因此从2021年至2030年,该地十年的旅游业收入共计3 900万元. (2)通过构建的等比数列模型,求等比数列的通项和前n项和. 以2021年为第1年,设第n年投入资金为bn万元,则数列{bn}是以1 000为首项,0.9为 第1章　数列 公比的等比数列,设其前n项和为Bn, 故bn=1 000·0.9n-1, Bn= =10 000(1-0.9n), 将收入与投入的前n项和作差构造新数列,再结合数列的单调性求解. 则题目转化为求使An>Bn的正整数n的最小值. 设cn=An-Bn,则cn+1-cn=an+1-bn+1=300+20n-1 000·0.9n, 令f(n)=300+20n-1 000·0.9n(n∈N+), 则f(n)为增函数,且f(7)<0,f(8)>0, 故c1>c2>…>c8,c8<c9<c10<…, cn=An-Bn=10n2+290n-10 000(1-0.9n), 又c1=-700<0,c18≈-39.1<0,c19≈470.9>0, 因此该地从2039年起旅游业总收入将首次超过总投入. 第1章　数列   应用数列知识解决实际问题的一般思路 思维升华 第1章　数列 $$